Quasinorm - Quasinorm

In der linearen Algebra , der Funktionsanalyse und verwandten Bereichen der Mathematik ähnelt ein Quasinorm einer Norm insofern , als es die Normaxiome erfüllt, außer dass die Dreiecksungleichung durch ersetzt wird

${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq K (\ | x \ | + \ | y \ |)}$

für einige K > 0 .

Verwandte konzepte

Definition : Ein Quasinorm auf einem Vektorraum X ist eine reelle Karte p auf X , die die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Nicht-Negativität : p ≥ 0 ;
2. Absolute Homogenität : p ( sx ) = | s | p ( x ) für alle x ∈ X und alle Skalare s ;
3. es existiert ein k ≥ 1, so dass p ( x + y ) ≤ k [ p ( x ) + p ( y )] für alle x , y ∈ X ist .

Wenn p ein quasinorm auf ist X dann p induziert eine Vektor - Topologie auf X , deren Umgebungsbasis am Ursprung durch die Sätze gegeben:

{ x ∈ X  : p ( x ) <1 / n  }

as n liegt über den positiven ganzen Zahlen. Ein topologischer Vektorraum (TVS) mit einer solchen Topologie wird als quasinormierter Raum bezeichnet .

Jedes quasinormierte Fernsehgerät ist pseudometrisierbar .

Ein Vektorraum mit einem zugeordneten Quasinorm wird als quasinormierter Vektorraum bezeichnet .

Ein vollständiger quasinormierter Raum wird als Quasi-Banach-Raum bezeichnet .

Ein quasinormierter Raum wird als quasinormierte Algebra bezeichnet, wenn der Vektorraum A eine Algebra ist und eine Konstante K > 0 vorliegt, so dass ${\ displaystyle (A, \ | \ cdot \ |)}$

${\ displaystyle \ | xy \ | \ leq K \ | x \ | \ cdot \ | y \ |}$

für alle . ${\ displaystyle x, y \ in A}$

Eine vollständige quasinormierte Algebra wird als Quasi-Banach-Algebra bezeichnet .

Charakterisierungen

Ein topologischer Vektorraum (TVS) ist genau dann ein quasinormierter Raum, wenn er eine begrenzte Nachbarschaft des Ursprungs hat.

Siehe auch

• Messbare TVS
• Seminorm
• Topologischer Vektorraum  - Vektorraum mit dem Begriff der Nähe

Verweise

• Aull, Charles E.; Robert Lowen (2001). Handbuch zur Geschichte der allgemeinen Topologie . Springer . ISBN 0-7923-6970-X.
• Conway, John B. (1990). Ein Kurs in Funktionsanalyse . Springer . ISBN 0-387-97245-5.
• Nikolʹskiĭ, Nikolaĭ Kapitonovich (1992). Funktionsanalyse I: Lineare Funktionsanalyse . Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. 19 . Springer . ISBN 3-540-50584-9.
• Swartz, Charles (1992). Eine Einführung in die Funktionsanalyse . CRC Drücken Sie . ISBN 0-8247-8643-2.
• Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen . Mineola, New York: ISBN von Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .