Quotientenraum (lineare Algebra) - Quotient space (linear algebra)

Dieser Artikel ist über Quotienten von Vektorräumen. Quotienten topologischer Räume finden Sie unter Quotientenraum (Topologie) .

In der linearen Algebra ist der Quotient eines Vektorraums V durch einen Unterraum N ein Vektorraum, der durch "Zusammenfallen" von N auf Null erhalten wird. Der erhaltene Raum wird Quotientenraum genannt und mit V / N bezeichnet (gelesen V mod N oder V durch N ).

Definition

Formal ist der Aufbau wie folgt. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei N ein Unterraum von V . Wir definieren eine Äquivalenzrelation ~ auf V, indem wir sagen, dass x ~ y falls x − y ∈ N gilt . Das heißt, x steht in Beziehung zu y, wenn man das eine aus dem anderen erhalten kann, indem man ein Element von N hinzufügt . Aus dieser Definition kann man ableiten, dass jedes Element von N auf den Nullvektor bezogen ist; genauer gesagt werden alle Vektoren in N in die Äquivalenzklasse des Nullvektors abgebildet.

Die Äquivalenzklasse (oder in diesem Fall die Nebenklasse ) von x wird oft mit . bezeichnet

[ x ] = x + N

da es gegeben ist von

[ X ] = { x + n  : n ∈ N }.

Der Quotientenraum V / N ist dann definiert als V /~, die Menge aller Äquivalenzklassen über V durch ~. Skalarmultiplikation und Addition sind auf den Äquivalenzklassen definiert durch

  • α[ x ] = [α x ] für alle α ∈ K und
  • [ x ] + [ y ] = [ x + y ].

Es ist nicht schwer zu überprüfen, ob diese Operationen wohldefiniert sind (dh sie hängen nicht von der Wahl des Repräsentanten ab ). Diese Operationen verwandeln den Quotientenraum V / N in einen Vektorraum über K, wobei N die Nullklasse [0] ist.

Die Abbildungs dass Associates v ∈ V die Äquivalenzklasse [ V ] wird als die bekannte Quotient Karte .

Alternativ formuliert ist der Quotientenraum die Menge aller affinen Teilmengen, die parallel zu sind .

Beispiele

Sei X = R 2 die kartesische Standardebene und sei Y eine Gerade durch den Ursprung in X . Dann kann der Quotientenraum X / Y mit dem Raum aller Geraden in X identifiziert werden, die parallel zu Y sind . Das heißt, die Elemente der Menge X / Y sind Geraden in X parallel zu Y . Beachten Sie, dass die Punkte entlang einer solchen Linie die Äquivalenzrelation erfüllen, da ihre Differenzvektoren zu Y gehören . Dies bietet eine Möglichkeit, Quotientenräume geometrisch zu visualisieren. (Durch Umparametrisierung dieser Linien kann der Quotientenraum konventioneller als der Raum aller Punkte entlang einer Linie durch den Ursprung dargestellt werden, die nicht parallel zu Y ist . Ebenso kann der Quotientenraum für R 3 durch eine Linie durch den Ursprung wieder als Menge aller koparallelen Geraden dargestellt werden, oder alternativ als Vektorraum bestehend aus einer Ebene, die die Gerade nur im Ursprung schneidet.)

Ein weiteres Beispiel ist der Quotient von R n durch den von den ersten m Standardbasisvektoren aufgespannten Unterraum . Der Raum R n besteht aus allen n- Tupeln reeller Zahlen ( x 1 , …, x n ) . Der mit R m bezeichnete Unterraum besteht aus allen n -Tupeln, so dass die letzten n − m Einträge null sind: ( x 1 , …, x m , 0, 0, …, 0) . Zwei Vektoren von R n sind genau dann in derselben Kongruenzklasse modulo des Unterraums, wenn sie in den letzten n − m Koordinaten identisch sind . Der Quotientenraum R n / R m ist offensichtlich isomorph zu R n − m .

Allgemeiner gesagt, wenn V eine (interne) direkte Summe der Unterräume U und W ist,

dann der Quotient Raum V / U ist natürlich isomorph zu W .

Ein wichtiges Beispiel eines funktionellen Quotientenraum ist ein L p Raum .

Eigenschaften

Es gibt einen natürlichen Epimorphismus von V zum Quotientenraum V / U, der gegeben ist, indem man x an seine Äquivalenzklasse [ x ] schickt . Der Kern (oder Nullraum) dieses Epimorphismus ist der Unterraum U . Diese Beziehung wird sauber durch die kurze exakte Sequenz zusammengefasst

Wenn U ein Unterraum von V ist , heißt die Dimension von V / U die Kodimension von U in V . Da eine Basis von V aus einer Basis A von U und einer Basis B von V / U konstruiert werden kann, indem ein Vertreter jedes Elements von B zu A hinzugefügt wird , ist die Dimension von V die Summe der Dimensionen von U und V / U . Wenn V ist endlich-dimensionale , folgt daraus , dass die Kodimension von U in V die Differenz zwischen den Abmessungen ist , V und U :

Sei T  : V → W ein linearer Operator . Der Kern T , bezeichnet ker ( T ) ist die Menge aller x ∈ V , so daß Tx = 0. Der Kernel ist ein Unterraum von V . Der erste Isomorphismussatz der linearen Algebra besagt, dass der Quotientenraum V /ker( T ) isomorph zum Bild von V in W ist . Eine unmittelbare Folgerung für endlichdimensionale Räume ist der Rang-Null-Satz : Die Dimension von V ist gleich der Dimension des Kerns (der Nichtigkeit von T ) plus der Dimension des Bildes (dem Rang von T ).

Der Kokern eines linearen Operators T  : V → W ist definiert als Quotientenraum W /im( T ).

Quotient eines Banachraums durch einen Unterraum

Wenn X ein Banachraum und M ein abgeschlossener Unterraum von X ist , dann ist der Quotient X / M wieder ein Banachraum. Der Quotientenraum ist bereits durch die Konstruktion des vorigen Abschnitts mit einer Vektorraumstruktur ausgestattet. Wir definieren eine Norm auf X / M durch

Wenn X abgeschlossen ist, dann wird der Quotientenraum X / M ist komplett in Bezug auf die Norm ist , und daher ein Raum Banachschen.

Beispiele

Sei C [0,1] der Banachraum stetiger reellwertiger Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit der sup-Norm . Bezeichne den Unterraum aller Funktionen f ∈ C [0,1] mit f (0) = 0 durch M . Dann wird die Äquivalenzklasse einer Funktion g durch ihren Wert bei 0 bestimmt, und der Quotientenraum C [0,1] /  M ist isomorph zu R .

Wenn X a ist Hilbert - Raum , so wird der Quotientenraum X / M ist isomorph zum orthogonalen Komplement von M .

Verallgemeinerung auf lokal konvexe Räume

Der Quotient eines lokal konvexen Raums durch einen abgeschlossenen Unterraum ist wieder lokal konvex. Angenommen, X sei lokal konvex, so dass die Topologie auf X durch eine Familie von Seminormen { p α  | α ∈  A } wobei A eine Indexmenge ist. Sei M ein abgeschlossener Unterraum und definiere Seminormen q α auf X / M durch

Dann ist X / M ein lokal konvexer Raum, und die Topologie darauf ist die Quotiententopologie .

Wenn darüber hinaus X ist metrisierbar , dann ist so X / M . Wenn X ein Fréchet-Raum ist , dann ist es auch X / M .

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Halmos (1974) S. 33-34 §§ 21-22
  2. ^ Katznelson & Katznelson (2008) S. 9 § 1.2.4
  3. ^ Roman (2005) S. 75-76, Kap. 3
  4. ^ Axler (2015) p. 95, § 3.83
  5. ^ Halmos (1974) p. 34, § 22, Satz 1
  6. ^ Axler (2015) p. 97, § 3.89
  7. ^ Halmos (1974) p. 34, § 22, Satz 2
  8. ^ Dieudonné (1976) p. 65, § 12.14.8
  9. ^ Dieudonné (1976) p. 54, § 12.11.3

Quellen

  • Axler, Sheldon (2015). Lineare Algebra richtig gemacht . Bachelortexte in Mathematik (3. Aufl.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Dieudonné, Jean (1976), Abhandlung über die Analyse , 2 , Academic Press , ISBN 978-0122155024
  • Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Endlichdimensionale Vektorräume . Bachelortexte in Mathematik (2. Aufl.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
  • Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Eine (kurze) Einführung in die Lineare Algebra . Amerikanische Mathematische Gesellschaft . ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Roman, Steven (2005). Fortgeschrittene Lineare Algebra . Graduiertentexte in Mathematik (2. Aufl.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.