Rasiowa - Sikorski Lemma - Rasiowa–Sikorski lemma

In der axiomatischen Mengenlehre ist das Rasiowa-Sikorski-Lemma (benannt nach Helena Rasiowa und Roman Sikorski ) eine der grundlegendsten Tatsachen, die in der Technik des Forcierens verwendet werden . Im Bereich des zwingt, eine Teilmenge E ein poset ( P , ≤) aufgerufen werden dicht in P , wenn für jeden p ∈ P ist e ∈ E mit e ≤ p . Wenn D eine Familie von dichten Teilmengen sind P , dann ist ein Filter F in P heißt D - generic wenn

F ∩ E ≠ ∅ für alle E ∈ D .

Jetzt können wir das Rasiowa-Sikorski-Lemma angeben :

Sei ( P , ≤) ein poset und p ∈ P . Wenn D eine zählbare Familie dichter Teilmengen von P ist, existiert in P ein D- generisches Filter F, so dass p ∈ F ist .

Beweis des Rasiowa-Sikorski-Lemmas

Der Beweis läuft wie folgt ab: Da D zählbar ist, kann man die dichten Teilmengen von P als D ₁ , D ₂ ,… aufzählen . Nach Annahme gibt es p ∈ P . Dann existiert nach Dichte p ₁ ≤ p mit p ₁ ∈ D ₁ . Wenn man wiederholt, erhält man… ≤ p ₂ ≤ p ₁ ≤ p mit p _i ∈ D _i . Dann ist G = { q ∈ P : ∃ i , q ≥ p _i } ein D- generisches Filter.

Das Rasiowa-Sikorski-Lemma kann als Äquivalent zu einer schwächeren Form von Martins Axiom angesehen werden . Insbesondere entspricht es MA ( ). ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Beispiele

• Für ( P , ≤) = (Func ( X , Y ), ⊇) definiert der durch Einschluss umgekehrt geordnete Poset von Teilfunktionen von X nach Y D _x = { s ∈ P : x ∈ dom ( s )} . Wenn X zählbar ist, ergibt das Lemma Von Rasiowa-Sikorski einen { D _x : x ∈ X } Generischer Filter F und somit eine Funktion F : X → Y .
• Wenn wir uns an die Notation halten, die im Umgang mit D - generischen Filtern verwendet wird , bildet { H ∪ G ₀ : P _ij P _t } einen H - generischen Filter .
• Wenn D unzählbar ist, aber eine Kardinalität aufweist, die streng kleiner als ist und der Poset die zählbare Kettenbedingung hat , können wir stattdessen Martins Axiom verwenden .${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

Siehe auch

• Generischer Filter
• Martins Axiom

Verweise

• Ciesielski, Krzysztof (1997). Mengenlehre für den arbeitenden Mathematiker . Studententexte der London Mathematical Society. 39 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-59441-3. Zbl  0938.03067 .
• Kunen, Kenneth (1980). Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise . Studium der Logik und der Grundlagen der Mathematik. 102 . Nordholland. ISBN 0-444-85401-0. Zbl  0443.03021 .

Externe Links

• Tim Chows Newsgroup-Artikel Forcing for Dummies ist eine gute Einführung in die Konzepte und Ideen, die hinter Forcing stehen. Es behandelt die Hauptideen und lässt technische Details aus