Martins Axiom - Martin's axiom

Auf dem mathematischen Gebiet der Mengenlehre ist das von Donald A. Martin und Robert M. Solovay eingeführte Martin-Axiom eine Aussage, die von den üblichen Axiomen der ZFC-Mengentheorie unabhängig ist . Es wird durch die Kontinuumshypothese impliziert , aber es stimmt mit ZFC und der Negation der Kontinuumshypothese überein. Informell heißt es, dass sich alle Kardinäle kleiner als die Kardinalität des Kontinuums , , ungefähr so ​​verhalten wie . Die Intuition dahinter lässt sich anhand des Beweises des Rasiowa-Sikorski-Lemmas verstehen . Es ist ein Prinzip, das verwendet wird, um bestimmte Zwangsargumente zu kontrollieren .

Stellungnahme

Für jede Kardinalzahl 𝛋 definieren wir eine Aussage, bezeichnet mit MA(𝛋):

Für jeden Teilauftrag P die Befriedigung zählbare Kettenbedingung (im Folgende ccc) und jede Familie D von dichten Sätzen in P , so dass | D | ≤ 𝛋, gibt es einen Filter F auf P, so dass F ∩ d für jedes d in D nicht leer ist .

Da es sich um einen Satz von ZFC handelt, der versagt, wird Martins Axiom wie folgt formuliert:

Martins Axiom (MA): Für jedes 𝛋 < gilt MA(𝛋).

In diesem Fall (für die Anwendung von ccc) ist eine Antikette eine Teilmenge A von P, so dass zwei beliebige Elemente von A inkompatibel sind (zwei Elemente werden als kompatibel bezeichnet, wenn es ein gemeinsames Element unter beiden in der Teilordnung gibt ). Dies unterscheidet sich beispielsweise von dem Begriff der Antikette im Kontext von Bäumen .

stimmt einfach. Dies ist als Rasiowa-Sikorski-Lemma bekannt .

ist falsch: [0, 1] ist ein kompakter Hausdorff-Raum , der separierbar ist und somit ccc. Es hat keine isolierten Punkte , daher sind die Punkte darin nirgendwo dicht, aber es ist die Vereinigung vieler Punkte. (Siehe die Bedingung, die der folgenden entspricht .)

Äquivalente Formen von MA(𝛋)

Die folgenden Aussagen sind äquivalent zu MA(𝛋):

  • Wenn X ein kompakter topologischer Hausdorff- Raum ist , der die ccc erfüllt, dann ist X nicht die Vereinigung von 𝛋 oder weniger nirgendwo dichten Teilmengen.
  • Wenn P ein nicht-leerer nach oben gerichteter ccc-Poset und Y eine Familie von kofinalen Teilmengen von P mit |Y| . ist ≤ 𝛋 dann gibt es eine nach oben gerichtete Menge A, so dass A auf jedes Element von Y trifft .
  • Sei A eine von Null verschiedene ccc Boolesche Algebra und F eine Familie von Teilmengen von A mit |F| ≤ 𝛋. Dann gibt es einen booleschen Homomorphismus φ: A → Z /2 Z so dass für jedes X in F entweder ein a in X mit φ( a ) = 1 oder eine obere Schranke b für X mit φ( b ) = . existiert 0.

Folgen

Martins Axiom hat eine Reihe weiterer interessanter kombinatorischer , analytischer und topologischer Konsequenzen:

  • Die Vereinigung von 𝛋 oder weniger Nullmengen in einem atomlosen σ-endlichen Borel-Maß auf einem polnischen Raum ist null. Insbesondere die Vereinigung von 𝛋 oder weniger Teilmengen von R des Lebesgue-Maß 0 hat auch das Lebesgue-Maß 0.
  • Ein kompakter Hausdorff-Raum X mit |X| < 2 𝛋 ist sequentiell kompakt , dh jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
  • Kein nicht-hauptsächlicher Ultrafilter auf N hat eine Kardinalitätsbasis < .
  • Äquivalent für jedes x in β N \ N gilt 𝜒( x ) ≥ 𝛋, wobei 𝜒 der Charakter von x ist , also 𝜒(β N ) ≥ 𝛋.
  • impliziert, dass ein Produkt von ccc topologischen Räumen ccc ist (dies wiederum impliziert, dass es keine Suslin-Linien gibt ).
  • MA + ¬CH impliziert, dass es eine Whitehead-Gruppe gibt, die nicht frei ist; Shelah nutzte dies, um zu zeigen, dass das Whitehead-Problem unabhängig von ZFC ist.

Weitere Entwicklung

Verweise

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