Monomorphismus - Monomorphism

Im Kontext der abstrakten Algebra oder der universellen Algebra ist ein Monomorphismus ein injektiver Homomorphismus . Ein Monomorphismus von X nach Y wird oft mit der Notation bezeichnet . ${\ displaystyle X \ hookrightarrow Y}$

In der allgemeineren Umgebung der Kategorietheorie ist ein Monomorphismus (auch als monischer Morphismus oder Mono bezeichnet ) ein linksauslöschender Morphismus . Das heißt, ein Pfeil f  : X → Y, so dass für alle Objekte Z und alle Morphismen g ₁ , g ₂ : Z → X ,

${\ displaystyle f \ circ g_ {1} = f \ circ g_ {2} \ impliziert g_ {1} = g_ {2}.}$

Monomorphismen sind eine kategorische Verallgemeinerung von Injektionsfunktionen (auch "Eins-zu-Eins-Funktionen" genannt); In einigen Kategorien stimmen die Begriffe überein, aber Monomorphismen sind allgemeiner, wie in den folgenden Beispielen .

Das kategoriale Dual eines Monomorphismus ist ein Epimorphismus , dh ein Monomorphismus in einer Kategorie C ist ein Epimorphismus in der dualen Kategorie C ^op . Jeder Abschnitt ist ein Monomorphismus, und jeder Rückzug ist ein Epimorphismus.

Verhältnis zur Invertierbarkeit

Linksinvertierbare Morphismen sind notwendigerweise monisch: Wenn l eine linke Inverse für f ist (was bedeutet, dass l ein Morphismus ist und ), dann ist f monisch, as ${\ displaystyle l \ circ f = \ operatorname {id} _ {X}}$

${\ displaystyle f \ circ g_ {1} = f \ circ g_ {2} \ Rightarrow l \ circ f \ circ g_ {1} = l \ circ f \ circ g_ {2} \ Rightarrow g_ {1} = g_ { 2}.}$

Ein linksinvertierbarer Morphismus wird als geteiltes Mono oder Abschnitt bezeichnet .

Ein Monomorphismus muss jedoch nicht invertierbar bleiben. Wenn beispielsweise in der Kategorie Gruppe aller Gruppen und Gruppenhomomorphismen unter ihnen H eine Untergruppe von G ist, ist der Einschluss f  : H → G immer ein Monomorphismus; aber f hat genau dann eine Linksumkehrung in der Kategorie, wenn H ein normales Komplement in G hat .

Ein Morphismus f  : X → Y ist genau dann monisch, wenn die induzierte Karte f _∗  : Hom ( Z , X ) → Hom ( Z , Y ) , definiert durch f _∗ ( h ) = f ∘ h, für alle Morphismen h  : Z. → X ist für alle Objekte Z injektiv .

Beispiele

Jeder Morphismus in einer konkreten Kategorie, dessen zugrunde liegende Funktion injektiv ist, ist ein Monomorphismus; Mit anderen Worten, wenn Morphismen tatsächlich Funktionen zwischen Mengen sind, dann ist jeder Morphismus, der eine Eins-zu-Eins-Funktion ist, notwendigerweise ein Monomorphismus im kategorischen Sinne. In der Kategorie der Mengen gilt auch das Gegenteil, so dass die Monomorphismen genau die injizierenden Morphismen sind. Das Umgekehrte gilt auch für die meisten natürlich vorkommenden Kategorien von Algebren, da auf einem Generator ein freies Objekt vorhanden ist . Dies gilt insbesondere für die Kategorien aller Gruppen, aller Ringe und für jede abelsche Kategorie .

Es ist jedoch im Allgemeinen nicht wahr, dass alle Monomorphismen in anderen Kategorien injektiv sein müssen; Das heißt, es gibt Einstellungen, in denen die Morphismen Funktionen zwischen Mengen sind, aber man kann eine Funktion haben, die nicht injektiv ist und dennoch ein Monomorphismus im kategorischen Sinne ist. Zum Beispiel gibt es in der Kategorie Div von teilbaren (abelschen) Gruppen und Gruppenhomomorphismen zwischen ihnen Monomorphismen, die nicht injektiv sind: Betrachten Sie zum Beispiel die Quotientenkarte q  : Q → Q / Z , wobei Q die zu addierenden Rationalen sind. Z die ganzen Zahlen (auch als addierte Gruppe betrachtet) und Q / Z ist die entsprechende Quotientengruppe . Dies ist keine injektive Zuordnung, da beispielsweise jede Ganzzahl auf 0 abgebildet wird. Trotzdem handelt es sich um einen Monomorphismus in dieser Kategorie. Dies folgt aus der Implikation q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 , die wir nun beweisen werden. Wenn h  : G → Q , wobei G einig teilbaren - Gruppe ist, und q ∘ h = 0 , dann h ( x ) ∈ Z , ∀ x ∈ G . Befestigen Sie nun einige x ∈ G . Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir annehmen, dass h ( x ) ≥ 0 ist (andernfalls wählen Sie stattdessen - x ). Wenn man dann n = h ( x ) + 1 lässt , da G eine teilbare Gruppe ist, existiert etwas y ∈ G, so dass x = ny , also h ( x ) = n h ( y ) . Daraus und 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n folgt daraus

${\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {h (x)} {h (x) +1}} = h (y) <1}$

Da h ( y ) ∈ Z folgt, daß h ( y ) = 0 , und somit h ( x ) = 0 = h (- x ), ∀ x ∈ G . Dies besagt, dass h = 0 ist , wie gewünscht.

Um von dieser Implikation zu der Tatsache zu gelangen, dass q ein Monomorphismus ist, nehmen wir an, dass q ∘ f = q ∘ g für einige Morphismen f , g  : G → Q ist , wobei G eine teilbare Gruppe ist. Dann ist q ∘ ( f - g ) = 0 , wobei ( f - g ): x ↦ f ( x ) - g ( x ) . (Da ( f - g ) (0) = 0 und ( f - g ) ( x + y ) = ( f - g ) ( x ) + ( f - g ) ( y ) , folgt ( f - g ) ∈ Hom ( G , Q ) ). Aus der gerade bewiesenen Implikation ergibt sich: q ∘ ( f - g ) = 0 ⇒ f - g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) = g ( x ) ⇔ f = g . Daher ist q , wie behauptet, ein Monomorphismus.

Eigenschaften

• In einem Topos ist jedes Mono ein Equalizer, und jede Karte, die sowohl monisch als auch episch ist, ist ein Isomorphismus .
• Jeder Isomorphismus ist monisch.

Verwandte konzepte

Es gibt auch nützliche Konzepte für regulären Monomorphismus , extremen Monomorphismus , unmittelbaren Monomorphismus , starken Monomorphismus und gespaltenen Monomorphismus .

• Ein Monomorphismus wird als regelmäßig bezeichnet, wenn er ein Ausgleich für ein Paar paralleler Morphismen ist.
• Ein Monomorphismus wird als extrem bezeichnet, wenn in jeder Darstellung , in der es sich um einen Epimorphismus handelt, der Morphismus automatisch ein Isomorphismus ist . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu = \ varphi \ circ \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$
• Ein Monomorphismus gilt als unmittelbar, wenn in jeder Darstellung , in der es sich um einen Monomorphismus und einen Epimorphismus handelt, der Morphismus automatisch ein Isomorphismus ist . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu = \ mu '\ circ \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mu '}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$
• 
  Ein Monomorphismus gilt als stark, wenn für irgendeinen Epimorphismus und irgendwelche Morphismen und solche, dass es einen Morphismus gibt , der und . ${\ displaystyle \ mu: C \ bis D}$${\ displaystyle \ varepsilon: A \ bis B}$${\ displaystyle \ alpha: A \ bis C}$${\ displaystyle \ beta: B \ bis D}$${\ displaystyle \ beta \ circ \ varepsilon = \ mu \ circ \ alpha}$${\ displaystyle \ delta: B \ bis C}$${\ displaystyle \ delta \ circ \ varepsilon = \ alpha}$${\ displaystyle \ mu \ circ \ delta = \ beta}$
• Ein Monomorphismus wird als gespalten bezeichnet, wenn ein solcher Morphismus existiert (in diesem Fall wird er als linksseitige Umkehrung für bezeichnet ). ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon \ circ \ mu = 1}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mu}$

Terminologie

Die Begleitbegriffe Monomorphismus und Epimorphismus wurden ursprünglich von Nicolas Bourbaki eingeführt ; Bourbaki verwendet Monomorphismus als Abkürzung für eine Injektionsfunktion. Frühe Kategorietheoretiker glaubten, dass die korrekte Verallgemeinerung der Injektivität auf den Kontext von Kategorien die oben angegebene Aufhebungseigenschaft war. Dies gilt zwar nicht genau für monische Karten, ist jedoch sehr nahe beieinander, so dass dies im Gegensatz zu Epimorphismen kaum Probleme verursacht hat. Saunders Mac Lane versuchte zu unterscheiden, was er Monomorphismen nannte , die Karten in einer konkreten Kategorie waren, deren zugrunde liegende Karten von Mengen injektiv waren, und monische Karten , die Monomorphismen im kategorischen Sinne des Wortes sind. Diese Unterscheidung wurde nie allgemein verwendet.

Ein anderer Name für Monomorphismus ist Erweiterung , obwohl dies auch andere Verwendungszwecke hat.

Siehe auch

• Einbetten
• Knotenzerlegung
• Unterobjekt

Anmerkungen

Verweise

• Bergman, George (2015). Eine Einladung zur allgemeinen Algebra und zu universellen Konstruktionen . Springer. ISBN   978-3-319-11478-1 .
• Borceux, Francis (1994). Handbuch der kategorialen Algebra. Band 1: Grundlegende Kategorietheorie . Cambridge University Press. ISBN   978-0521061193 .
• "Monomorphism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Van Oosten, Jaap (1995). "Grundlegende Kategorietheorie" (PDF) . Brics Vorlesungsreihe . BRICS, Institut für Informatik, Universität Aarhus. ISSN   1395-2048 .
• Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Grundlagen der Kategorietheorie . Nauka. ISBN   5-02-014427-4 .

Externe Links

• Monomorphismus in nLab
• Starker Monomorphismus in nLab