Quadratwurzel von 5 - Square root of 5

Quadratwurzel von 5

Rationalität	Irrational
Vertretungen
Dezimal	2.23606 79774 99789 69...
Algebraische Form	${\displaystyle {\sqrt {5}}}$
Fortgesetzter Bruch	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}} }}$
Binär	10.0011 1100 0110 1110 ...
Hexadezimal	2.3C6E F372 FE94 F82C ...

Die Quadratwurzel von 5 ist die positive reelle Zahl , die mit sich selbst multipliziert die Primzahl 5 ergibt . Sie wird genauer die Hauptquadratwurzel von 5 genannt , um sie von der negativen Zahl mit der gleichen Eigenschaft zu unterscheiden. Diese Zahl erscheint im Bruchausdruck für den Goldenen Schnitt . Es kann in Surd- Form bezeichnet werden als:

${\displaystyle {\sqrt {5}}.\,}$

Es ist eine irrationale algebraische Zahl . Die ersten sechzig signifikanten Stellen seiner Dezimalentwicklung sind:

2,23606 79774 99789 69640 91.736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ... (Sequenz A002163 im OEIS ).

die auf 2,236 mit einer Genauigkeit von 99,99% abgerundet werden kann. Die Näherung161/72(≈ 2.23611) für die Quadratwurzel aus fünf verwendet werden. Obwohl er nur einen Nenner von 72 hat, weicht er um weniger als vom korrekten Wert ab1/10.000 (ca. 4,3 × 10 ^–5 ). Ab November 2019 wurde sein numerischer Wert in Dezimalzahlen auf mindestens 2.000.000.000.000 Stellen berechnet.

Beweise für Irrationalität

1 . Dieser Irrationalitätsbeweis für die Quadratwurzel von 5 verwendet Fermats Methode des unendlichen Abstiegs :

Nehmen Sie an, dass √ 5 rational ist, und drücken Sie es in niedrigstmöglichen Termen (dh als vollständig reduzierter Bruch ) aus alsm/nfür natürliche Zahlen m und n . Dann kann √ 5 in niedrigeren Ausdrücken ausgedrückt werden als5 n − 2 m/m − 2 n, was ein Widerspruch ist. (Die beiden Bruchausdrücke sind gleich, weil ihre Gleichsetzung, Kreuzmultiplikation und Aufhebung wie additive Terme 5 n ² = m ² undm/n= √ 5 , was nach der Prämisse wahr ist. Der zweite gebrochene Ausdruck für √ 5 ist niedriger ausgedrückt, da beim Vergleich der Nenner m − 2 n < n da m < 3 n seitm/n< 3 seit √ 5 < 3 . Und sowohl der Zähler als auch der Nenner des zweiten Bruchausdrucks sind positiv, da 2 < √ 5 <5/2 und m/n= √ 5 .)

2 . Dieser Irrationalitätsbeweis ist auch ein Widerspruchsbeweis :

Angenommen, √ 5 =ein/B wo ein/B ist in reduzierter Form.

Also 5 =ein ²/b ²und 5 b ² = ein ² . Wenn b gerade wäre, würde b ² , a ² und a gerade den Bruch bildenein/B nicht in reduzierter Form. Somit ist b ungerade, und nach einem ähnlichen Prozess ist a ungerade.

Sei nun a = 2 m + 1 und b = 2 n + 1 wobei m und n ganze Zahlen sind.

Einsetzen in 5 b ² = a ^{2 erhalten} wir:

${\displaystyle 5(2n+1)^{2}=(2m+1)^{2}}$

was vereinfacht zu:

${\displaystyle 5\left(4n^{2}+4n+1\right)=4m^{2}+4m+1}$

Herstellung:

${\displaystyle 20n^{2}+20n+5=4m^{2}+4m+1}$

Durch Subtraktion von 1 von beiden Seiten erhalten wir:

${\displaystyle 20n^{2}+20n+4=4m^{2}+4m}$

was reduziert auf:

${\displaystyle 5n^{2}+5n+1=m^{2}+m}$

Mit anderen Worten:

${\displaystyle 5n(n+1)+1=m(m+1)}$

Der Ausdruck x ( x + 1) ist gerade für jede ganze Zahl x (da entweder x oder x + 1 gerade ist). Das heißt also, dass 5 × gerade + 1 = gerade oder ungerade = gerade ist . Da es keine ganze Zahl ist , die beide gerade und ungerade ist, haben wir einen Widerspruch erreicht und √ 5 ist also irrational.

Fortgesetzter Bruch

Es kann als Kettenbruch ausgedrückt werden

${\displaystyle [2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{ \cfrac {1}{4+\dots}}}}}}}}.}$(Sequenz A040002 im OEIS )

Die Konvergenten und Semikonvergenten dieses Kettenbruchs lauten wie folgt (die schwarzen Terme sind die Semikonvergenten):

${\displaystyle {\color {red}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {red}{\frac {9}{4}}}, {\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {rot}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}} ,{\color {red}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {red}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {rot}{\frac {2889}{1292}}},\dots}$

Konvergente des Kettenbruchs sind rot gefärbt ; ihre Zähler sind 2, 9, 38, 161, ... (Sequenz A001077 im OEIS ) und ihre Nenner sind 1, 4, 17, 72, ... (Sequenz A001076 im OEIS ).

Jede davon ist die beste rationale Approximation von √ 5 ; mit anderen Worten, es liegt näher an √ 5 als jedes rationale mit einem kleineren Nenner.

Babylonische Methode

Wenn √ 5 mit der babylonischen Methode berechnet wird , beginnend mit r ₀ = 2 und unter Verwendung von r _{n +1} =1/2( r _n +5/r _nein) , ist der n- te Approximant r _n gleich dem2 ^n- ten Konvergenten der konvergenten Folge:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2,0,\quad {\frac {9}{4}}=2,25,\quad {\frac {161}{72}}=2,23611\dots,\quad {\frac {51841}{23184}}=2,2360679779\ldots}$

Verschachtelte Quadraterweiterungen

Die folgenden verschachtelten quadratischen Ausdrücke konvergieren zu : ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=3-10\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\ left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2} \right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}} -\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\cdots\right)^{2}\right)^{2}\right)^{ 2}\rechts)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-5\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20 }}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\cdots\right)^{2}\right)^{2}\right) ^{2}\right)^{2}\end{ausgerichtet}}}$

Beziehung zum Goldenen Schnitt und Fibonacci-Zahlen

Die √ 5/2Diagonale eines halben Quadrats bildet die Grundlage für die geometrische Konstruktion eines goldenen Rechtecks .

Der Goldene Schnitt φ ist das arithmetische Mittel von 1 und √ 5 . Die algebraische Beziehung zwischen √ 5 , dem Goldenen Schnitt und der Konjugierten des Goldenen Schnitts ( Φ =–1/φ= 1 − φ ) wird in den folgenden Formeln ausgedrückt:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+ {\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}}$

(Siehe den Abschnitt unten für ihre geometrische Interpretation als Zerlegung eines √ 5- Rechtecks.)

√ 5 steht dann natürlich im geschlossenen Formausdruck für die Fibonacci-Zahlen , einer Formel, die üblicherweise im Goldenen Schnitt geschrieben wird:

${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi^{n}-(1-\varphi)^{n}}{\sqrt {5}}}.}$

Der Quotient aus √ 5 und φ (oder das Produkt von √ 5 und Φ ) und dessen Kehr, ein interessantes Muster der Kettenbrüche liefern , und sind auf die Verhältnisse zwischen den Fibonacci - Zahlen und den damit verbundenen Lucas Zahlen :

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi}}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}} }{2}}&=1.3819660112501051518\dots \\&=[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[5pt]{\frac {\varphi }{\ sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}&=0.72360679774997896964\ ldots \\&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\ldots].\end{ausgerichtet}}}$

Die Reihe der Konvergenten zu diesen Werten enthält die Reihe der Fibonacci-Zahlen und die Reihe der Lucas-Zahlen als Zähler und Nenner bzw. umgekehrt:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac { 11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}} ,{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\ frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18 }},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots].\end{ausgerichtet}}}$

Geometrie

Conway-Dreieckszerlegung in homothetische kleinere Dreiecke.

Geometrisch , √ 5 entspricht der Diagonalen eines Rechtecks , dessen Seiten mit der Länge 1 und 2 , wie sich aus dem Satz von Pythagoras . Ein solches Rechteck erhält man, indem man ein Quadrat halbiert oder zwei gleiche Quadrate nebeneinander legt. Zusammen mit der algebraischen Beziehung zwischen √ 5 und φ bildet dies die Grundlage für die geometrische Konstruktion eines goldenen Rechtecks aus einem Quadrat und für die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks bei gegebener Seite (da das Seiten-Diagonal-Verhältnis in einem regelmäßigen Fünfeck ist φ ).

Ausbilden einer V - Form rechten Winkel mit den beiden gleichen Quadraten , die eine 1 halbieren: 2 Rechteck kann man sehen , dass sein √ 5 zwischen der Länge eines zu dem Verhältnis entspricht auch Würfelkante und der kürzeste Abstand von einem ihrer Eckpunkte auf die gegenüberliegende wenn der Würfel durchqueren Oberfläche (der kürzeste Abstand , wenn sie durch den Durchqueren Inneren des Würfels entspricht der Länge des Würfels diagonal, die das ist Quadratwurzel von drei mal dem Rand).

Die Zahl √ 5 kann algebraisch und geometrisch auf √ 2 und √ 3 bezogen werden , da es sich um die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten mit den Maßen √ 2 und √ 3 handelt (wieder beweist der Satz des Pythagoras). Rechtwinklige Dreiecke mit solchen Proportionen können innerhalb eines Würfels gefunden werden: die Seiten jedes Dreiecks, die durch den Mittelpunkt eines Würfels, einen seiner Scheitelpunkte und den Mittelpunkt einer Seite definiert werden, die sich auf einer der Seiten befindet, die diesen Scheitelpunkt enthält und ihm gegenüberliegt , stehen im Verhältnis √ 2 : √ 3 : √ 5 . Dies folgt aus den geometrischen Beziehungen zwischen einem Würfel und den Größen √ 2 (Kante-zu-Fläche-Diagonale-Verhältnis oder Abstand zwischen gegenüberliegenden Kanten), √ 3 (Kante-zu-Würfel-Diagonale-Verhältnis) und √ 5 (die Beziehung gerade oben erwähnt).

Ein Rechteck mit den Seitenverhältnissen 1: √ 5 heißt Wurzel-Fünf-Rechteck und gehört zur Reihe der Wurzelrechtecke, einer Untermenge dynamischer Rechtecke , die auf √ 1 (= 1), √ 2 , √ 3 , √ . basieren 4 (= 2), √ 5 … und sukzessive mit der Diagonale des vorherigen Wurzelrechtecks ​​ausgehend von einem Quadrat konstruiert. Ein Wurzel-5-Rechteck ist besonders bemerkenswert, da es in ein Quadrat und zwei gleiche goldene Rechtecke (mit den Abmessungen Φ × 1 ) oder in zwei goldene Rechtecke unterschiedlicher Größe (mit den Abmessungen Φ × 1 und 1 × φ ) aufgeteilt werden kann. Es kann auch als Vereinigung zweier gleicher goldener Rechtecke (der Dimensionen 1 × φ ) zerlegt werden, deren Schnittmenge ein Quadrat bildet. All dies kann zwischen als geometrische Interpretation der algebraischen Beziehungen ersichtlich √ 5 , φ und Φ oben erwähnt. Das Wurzel-5-Rechteck kann aus einem 1:2-Rechteck (dem Wurzel-4-Rechteck) oder direkt aus einem Quadrat in ähnlicher Weise wie das in der Abbildung gezeigte goldene Rechteck konstruiert werden, jedoch mit Verlängerung des Längenbogens√ 5/2 zu beiden Seiten.

Trigonometrie

Wie √ 2 und √ 3 kommt die Quadratwurzel von 5 ausführlich in den Formeln für exakte trigonometrische Konstanten vor , einschließlich in den Sinus- und Kosinuswerten jedes Winkels, dessen Gradmaß durch 3, aber nicht durch 15 teilbar ist. Die einfachsten davon sind

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5} }-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10} }=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1 }},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5 +{\sqrt {5}})}}\,.\end{ausgerichtet}}}$

Daher ist die Berechnung ihres Wertes für die Erstellung trigonometrischer Tabellen wichtig . Da √ 5 geometrisch mit halbquadratischen Rechtecken und mit Fünfecken verknüpft ist, taucht es auch häufig in Formeln für die geometrischen Eigenschaften von daraus abgeleiteten Figuren auf, etwa in der Formel für das Volumen eines Dodekaeders .

Diophantine Näherungen

Der Satz von Hurwitz in diophantischen Näherungen besagt, dass jede irrationale Zahl x durch unendlich viele rationale Zahlen approximiert werden kann m/nin den niedrigsten Begriffen so, dass

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

und dass √ 5 am besten möglich ist, in dem Sinne, dass es für jede größere Konstante als √ 5 einige irrationale Zahlen x gibt, für die nur endlich viele solcher Näherungen existieren.

Eng damit verbunden ist der Satz von drei beliebigen aufeinanderfolgenden Konvergenten p _ich/q _ich, p _{ich +1}/q _{ich +1}, p _{ich +2}/q _{ich +2}, einer Zahl α , gilt mindestens eine der drei Ungleichungen:

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left |\alpha -{p_{i+1}\over q_{i+1}}\right|<{1\over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad\ links|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

Und das √ 5 im Nenner ist die bestmögliche Schranke, da die Konvergenten des Goldenen Schnitts die Differenz auf der linken Seite beliebig nahe am Wert auf der rechten Seite machen. Insbesondere kann man keine engere Schranke erhalten, wenn man Folgen von vier oder mehr aufeinanderfolgenden Konvergenten betrachtet.

Algebra

Der Ring z [ √ -5 ] enthalten Zahlen der Form a + b √ -5 , wobei a und b sind ganze Zahlen und √ -5 ist , um die imaginäre Zahl i √ 5 . Dieser Ring ist ein häufig zitiertes Beispiel für einen integralen Bereich , der kein eindeutiger Faktorisierungsbereich ist . Die Zahl 6 hat zwei inäquivalente Faktorisierungen innerhalb dieses Rings:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

Der Körper ℚ[ √ −5 ] ist wie jeder andere quadratische Körper eine abelsche Erweiterung der rationalen Zahlen. Der Satz von Kronecker-Weber garantiert daher, dass die Quadratwurzel aus fünf als rationale Linearkombination von Einheitswurzeln geschrieben werden kann :

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{{\frac {2\pi }{5}}i}-e^{{\frac {4\pi }{5}}i}-e^{ {\frac {6\pi }{5}}i}+e^{{\frac {8\pi }{5}}i}.\,}$

Identitäten von Ramanujan

Die Quadratwurzel von 5 kommt in verschiedenen Identitäten vor, die Srinivasa Ramanujan entdeckt hat , die Kettenbrüche beinhalten .

Zum Beispiel dieser Fall des Rogers-Ramanujan Kettenbruchs :

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi}}{1+{\cfrac {e^ {-6\pi}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left( {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt { 5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({{\sqrt { 5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}} -\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int_{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{ 1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2} }{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots}}}}}}}}}}}}}}.}$

Siehe auch

• Goldener Schnitt
• Quadratwurzel
• Quadratwurzel von 2
• Quadratwurzel von 3

Verweise