Integrale Domäne - Integral domain

Algebraische Struktur → Ringtheorie Ringtheorie
Grundlegendes Konzept Ringe • Unterringe • Ideal • Quotientenring • Bruchideal • Gesamtquotientenring • Produktring • Freies Produkt assoziativer Algebren • Tensorprodukt von Ringen Ringhomomorphismen • Kernel • Innerer Automorphismus • Frobenius-Endomorphismus Algebraische Strukturen • Modul • Assoziative Algebra • Abgestufter Ring • Involutiver Ring • Kategorie der Ringe • Anfangsruf ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • Klemmring ${\displaystyle 0=\mathbb{Z} _{1}}$ Verwandte Strukturen • Feld • Endlicher Körper • Nicht-assoziativer Ring • Lügenring • Jordan-Ring • Halbring • Halbfeld
Kommutative Algebra Kommutative Ringe • Integrale Domäne • Integral geschlossene Domäne • GCD-Domäne • Eindeutige Faktorisierungsdomäne • Hauptidealer Bereich • Euklidische Domäne • Feld • Endlicher Körper • Kompositionsring • Polynomring • Formaler Potenzreihenring Algebraische Zahlentheorie • Algebraisches Zahlenfeld • Ring von ganzen Zahlen • algebraische Unabhängigkeit • Transzendentale Zahlentheorie • Transzendenzgrad p -adische Zahlentheorie und Dezimalzahlen • Direktes Limit / Inverses Limit • Nullring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Ganzzahlen modulo p n ${\displaystyle \mathbb{Z} /p^{n}\mathbb{Z}}$ • Prüfer p- Ring ${\displaystyle \mathbb{Z} (p^{\infty})}$ • Basis - p- Kreisring ${\displaystyle \mathbb{T}}$ • Basis - p ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • p -adische Rationale ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Basis - p reelle Zahlen ${\displaystyle \mathbb{R}}$ • p -adische ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$ • p -adische Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Q} _{p}}$ • p -adischer Magnet ${\displaystyle \mathbb{T} _{p}}$ Algebraische Geometrie • Affine Vielfalt
Nichtkommutative Algebra Nichtkommutative Ringe • Teilungsring • Halbprimitiver Ring • Einfacher Ring • Kommutator Nichtkommutative algebraische Geometrie Freie Algebra Clifford-Algebra • Geometrische Algebra Operatoralgebra
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In der Mathematik , insbesondere in der abstrakten Algebra , ist ein Integralbereich ein von Null verschiedener kommutativer Ring, in dem das Produkt von zwei beliebigen von Null verschiedenen Elementen von Null verschieden ist. Integrale Domänen sind Verallgemeinerungen des Rings von ganzen Zahlen und bieten eine natürliche Umgebung zum Studium der Teilbarkeit . In einem integrierten Domäne, jedes von Null verschiedenen Element a hat die Kürzbarkeit , das heißt, wenn ein ≠ 0 , eine Gleichung ab = ac impliziert b = c .

"Integraler Bereich" wird fast allgemein wie oben definiert, aber es gibt einige Variationen. Dieser Artikel folgt der Konvention, dass Ringe eine multiplikative Identität haben , die im Allgemeinen mit 1 bezeichnet wird, aber einige Autoren folgen dieser nicht, indem sie nicht verlangen, dass integrale Domänen eine multiplikative Identität haben. Nichtkommutative Integralbereiche werden manchmal zugelassen. Dieser Artikel folgt jedoch der viel üblicheren Konvention, den Begriff "Integralbereich" für den kommutativen Fall zu reservieren und " Bereich " für den allgemeinen Fall einschließlich nichtkommutativer Ringe zu verwenden.

Einige Quellen, insbesondere Lang , verwenden den Begriff „ ganzer Ring“ für den integralen Bereich.

Einige spezifische Arten von Integralbereichen werden mit der folgenden Kette von Klasseneinschlüssen angegeben :

RNGs ⊃ Ringe ⊃ kommutative Ringe ⊃ integral Domänen ⊃ integral geschlossenen Domänen ⊃ GCD Domänen ⊃ Faktorieller Ring ⊃ Hauptideal ⊃ euklidischen Domänen ⊃ Felder ⊃ algebraischabgeschlossenen Feldern

Algebraische Strukturen
Gruppe -ähnlichen Gruppe Halbgruppe  / Monoid Rack und quandle Quasigruppe und Schleife Abelische Gruppe Magma Lügengruppe Gruppentheorie
Ring -ähnlichen Ring Rng Halbring Nahring Kommutativer Ring Integrale Domäne Gebiet Teilungsring Ringtheorie
Lattice -ähnlichen Gitter Halbgitter Komplementäres Gitter Gesamtbestellung Heyting Algebra boolsche Algebra Karte der Gitter Gittertheorie
Modul -wie Modul Gruppe mit Operatoren Vektorraum Lineare Algebra
Algebra- ähnlich Algebra Assoziativ Nicht-assoziativ Kompositionsalgebra Lügenalgebra Bewertet Bialgebra
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Definition

Ein ganzzahliger Bereich ist ein kommutativer Ring ungleich null , in dem das Produkt von zwei beliebigen von null verschiedenen Elementen ungleich null ist. Äquivalent:

• Ein ganzzahliger Bereich ist ein von Null verschiedener kommutativer Ring ohne von Null verschiedene Teiler .
• Ein Integralbereich ist ein kommutativer Ring, in dem das Nullideal {0} ein Primideal ist .
• Integraler Domäne ist ein von Null verschiedenen kommutativen Ring , für die jedes Nicht - Null - Element ist kündbar unter Multiplikation.
• Ein ganzzahliger Bereich ist ein Ring, für den die Menge der Elemente ungleich null bei der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist (weil ein Monoid bei der Multiplikation abgeschlossen sein muss ).
• Ein integraler Domäne ist ein Nicht - Null - kommutativer Ring , in dem für jede Nicht - Null - Element R , das die Funktion bildet jedes Element x des Rings zu dem Produkt xr ist injektiv . Elemente r mit dieser Eigenschaft werden regulär genannt , daher ist es äquivalent zu verlangen, dass jedes Element des Rings ungleich Null regulär ist.
• Ein ganzzahliges Gebiet ist ein Ring, der zu einem Teilring eines Körpers isomorph ist . (Bei einem ganzzahligen Bereich kann man ihn in sein Bruchfeld einbetten .)

Beispiele

• Das archetypische Beispiel ist der Ring aller ganzen Zahlen .${\displaystyle \mathbb{Z}}$
• Jedes Feld ist ein integraler Bereich. Zum Beispiel ist der Körper aller reellen Zahlen ein ganzzahliger Bereich. Umgekehrt ist jeder Artinsche Integralbereich ein Körper. Insbesondere sind alle endlichen Integritätsbereiche sind endliche Felder (allgemeiner, von Wedder des kleinen Satz , Finite - Domänen sind endliche Felder ). Der Ring der ganzen Zahlen liefert ein Beispiel für einen nicht-artinischen unendlichen Integralbereich, der kein Körper ist und unendliche absteigende Folgen von Idealen besitzt, wie zum Beispiel:${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• Ringe von Polynomen sind ganzzahlige Gebiete, wenn die Koeffizienten aus einem ganzzahligen Gebiet stammen. Zum Beispiel ist der Ring aller Polynome in einer Variablen mit ganzzahligen Koeffizienten ein ganzzahliger Bereich; ebenso der Ring aller Polynome in n -Variablen mit komplexen Koeffizienten.${\displaystyle \mathbb{Z} [x]}$${\displaystyle \mathbb{C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

• Das vorherige Beispiel kann weiter ausgenutzt werden, indem man Quotienten von Primidealen nimmt. Zum Beispiel ist der Ring , der einer ebenen elliptischen Kurve entspricht, ein ganzzahliger Bereich. Integralität kann überprüft werden, indem gezeigt wird, dass es sich um ein irreduzibles Polynom handelt .${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$

• Der Ring ist ein ganzzahliger Bereich für jede nicht quadratische ganze Zahl . Wenn , dann ist dieser Ring immer ein Unterring von , andernfalls ist er ein Unterring von${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{C}.}$

• Der Ring der p-adischen ganzen Zahlen ist ein ganzzahliger Bereich.${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$

• Wenn eine zusammenhängende offene Teilmenge der komplexen Ebene ist , dann ist der Ring , der aus allen holomorphen Funktionen besteht, ein ganzzahliges Gebiet. Das gleiche gilt für Ringe analytischer Funktionen auf zusammenhängenden offenen Teilmengen analytischer Mannigfaltigkeiten .${\displaystyle U}$ ${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle {\mathcal{H}}(U)}$

• Ein regulärer lokaler Ring ist ein integraler Bereich. Tatsächlich ist ein regulärer lokaler Ring ein UFD .

Nicht-Beispiele

Die folgenden Ringe sind keine integralen Domänen.

• Der Nullring (der Ring, in dem ).${\displaystyle 0=1}$

• Der Quotientenring, wenn m eine zusammengesetzte Zahl ist . Wählen Sie in der Tat eine geeignete Faktorisierung (d. h. und sind nicht gleich oder ). Dann und , aber .${\displaystyle \mathbb{Z} /m\mathbb{Z}}$${\displaystyle m=xy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$${\displaystyle xy\äquiv 0{\bmod {m}}}$

• Ein Produkt zweier kommutativer Ringe ungleich null. Bei so einem Produkt hat man .${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

• Der Quotientenring für jede . Die Bilder von und sind ungleich null, während ihr Produkt in diesem Ring 0 ist.${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$${\displaystyle n\in\mathbb{Z}}$${\displaystyle x+n}$${\displaystyle xn}$

• Der Ring von n × n Matrizen über jedem von Null verschiedenen Ring, wenn n 2. Wenn und Matrizen sind, so dass das Bild von im Kern von enthalten ist , dann . Dies geschieht zum Beispiel für .${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle MN=0}$${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$

• Der Quotientenring für jeden Körper und alle nicht konstanten Polynome . Die Bilder von f und g in diesem Quotientenring sind Nicht-Null-Elemente, deren Produkt 0 ist. Dieses Argument zeigt äquivalent, dass das kein Primideal ist . Die geometrische Interpretation dieses Ergebnisses ist, dass die Nullstellen von fg eine affine algebraische Menge bilden , die im Allgemeinen nicht irreduzibel (also keine algebraische Varietät ) ist. Der einzige Fall, in dem diese algebraische Menge irreduzibel sein kann, ist, wenn fg eine Potenz eines irreduziblen Polynoms ist , das dieselbe algebraische Menge definiert.${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle (fg)}$

• Der Ring der kontinuierlichen Funktionen auf dem Einheitsintervall . Betrachten Sie die Funktionen

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1 }{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right] \\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Weder noch ist überall Null, sondern ist.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$

• Das Tensorprodukt . Dieser Ring hat zwei nicht-triviale Idempotenten , und . Sie sind orthogonal, was bedeutet , dass , und daher ist keine Domäne. Tatsächlich gibt es einen Isomorphismus , der durch definiert ist . Seine Umkehrung ist definiert durch . Dieses Beispiel zeigt, dass ein Faserprodukt mit irreduziblen affinen Schemata nicht irreduzibel sein muss.${\displaystyle \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}}$${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$${\displaystyle \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}}$${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$

Teilbarkeit, Primelemente und irreduzible Elemente

In diesem Abschnitt ist R ein ganzzahliges Gebiet.

Gegeben Elemente ein und b von R , sagt man , dass ein dividieren b , oder daß a ist ein Teiler von b , oder daß b a mehreren von a , wenn es ein Element vorhanden ist x in R , so daß ax = b .

Die Einheiten von R sind die Elemente, die 1 teilen; dies sind genau die invertierbaren Elemente in R . Einheiten teilen alle anderen Elemente.

Wenn ein Trennlinie b und b teilt ein , dann a und b sind , zugeordnete Elemente oder assoziiert . Äquivalent sind a und b assoziiert, wenn a = ub für eine Einheit u .

Ein irreduzibles Element ist eine Nicht-Null-Einheit, die nicht als Produkt zweier Nicht-Einheiten geschrieben werden kann.

Eine Nicht - Null - Nichteinheit P ist ein Primzahl Element , wenn immer dann, wenn p Teilt ein Produkt ab , dann p dividieren a oder p dividieren b . Äquivalent ist ein Element p genau dann prim, wenn das Hauptideal ( p ) ein von Null verschiedenes Primideal ist.

Beide Begriffe irreduzibler Elemente und Primelemente verallgemeinern die gewöhnliche Definition von Primzahlen im Ring, wenn man die negativen Primzahlen als Primzahlen betrachtet. ${\displaystyle\mathbb{Z},}$

Jedes Primelement ist irreduzibel. Die Umkehrung gilt nicht allgemein: zum Beispiel in dem quadratischen ganzzahligen Ring das Element 3 ist nicht reduzierbar (wenn es nichttriviale berücksichtigt, würden die Faktoren jeder Norm haben müssen 3, aber es gibt keine Norm 3 Elemente , da keine ganzzahligen Lösungen haben) , aber keine Primzahl (da 3 teilt, ohne einen der Faktoren zu teilen). In einer einzigartigen Faktorisierungsdomäne (oder allgemeiner einer GCD-Domäne ) ist ein irreduzibles Element ein Primelement. ${\displaystyle \mathbb{Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$

Während eine eindeutige Faktorisierung nicht gilt , gibt es eine einzigartige Faktorisierung von Idealen . Siehe Lasker-Noether-Theorem . ${\displaystyle \mathbb{Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$

Eigenschaften

• Ein kommutativer Ring R ist genau dann ein Integralgebiet, wenn das Ideal (0) von R ein Primideal ist.
• Wenn R ein kommutativer Ring und P ein Ideal in R ist , dann ist der Quotientenring R/P genau dann ein Integralgebiet, wenn P ein Primideal ist .
• Sei R ein ganzzahliges Gebiet. Dann sind die Polynomringe über R (in beliebig vielen Unbestimmten) ganzzahlige Bereiche. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn R ein Körper ist .
• Die Aufhebungseigenschaft gilt in jedem ganzzahligen Bereich: für beliebige a , b und c in einem ganzzahligen Bereich, wenn a ≠ 0 und ab = ac dann b = c . Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, besteht darin, dass die Funktion x ↦ ax für jedes von Null verschiedene a im Definitionsbereich injektiv ist .
• Die Löschungseigenschaft gilt für Ideale in jedem ganzzahligen Bereich: Wenn xI = xJ , dann ist entweder x null oder I = J .
• Ein ganzzahliges Gebiet ist gleich dem Schnittpunkt seiner Lokalisierungen bei maximalen Idealen.
• Ein induktiver Grenzwert ganzzahliger Gebiete ist ein ganzzahliges Gebiet.
• Wenn ganzzahlige Gebiete über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k sind , dann ist ein ganzzahliges Gebiet. Dies ist eine Folge von Hilberts Nullstellensatz und impliziert in der algebraischen Geometrie die Aussage, dass der Koordinatenring des Produkts zweier affiner algebraischer Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wieder ein ganzzahliges Gebiet ist.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A\otimes_{k}B}$

Feld der Brüche

Der Körper der Brüche K eines ganzzahligen Bereichs R ist die Menge der Brüche a / b mit a und b in R und b ≠ 0 modulo einer entsprechenden Äquivalenzrelation, ausgestattet mit den üblichen Additions- und Multiplikationsoperationen. Es ist "das kleinste Feld, das R enthält  " in dem Sinne, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus R → K gibt, so dass jeder injektive Ringhomomorphismus von R zu einem Feld durch K faktorisiert . Der Körper der Brüche des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen Der Körper der Brüche eines Körpers ist isomorph zum Körper selbst. ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\displaystyle \mathbb{Q}.}$

Algebraische Geometrie

Integrale Gebiete sind durch die Bedingung gekennzeichnet, dass sie reduziert (dh x ² = 0 impliziert x = 0) und irreduzibel (dh es gibt nur ein minimales Primideal ). Die erstere Bedingung stellt sicher, dass das Nullradikal des Rings null ist, so dass der Durchschnitt aller minimalen Primzahlen des Rings null ist. Letztere Bedingung ist, dass der Ring nur eine minimale Primzahl hat. Daraus folgt, dass das eindeutige minimale Primideal eines reduzierten und irreduziblen Rings das Nullideal ist, also sind solche Ringe ganzzahlige Domänen. Die Umkehrung ist klar: Ein ganzzahliger Bereich hat keine von Null verschiedenen nilpotenten Elemente, und das Nullideal ist das eindeutige minimale Primideal.

Dies bedeutet in der algebraischen Geometrie , dass der Koordinatenring einer affinen algebraischen Menge genau dann ein ganzzahliges Gebiet ist, wenn die algebraische Menge eine algebraische Varietät ist .

Allgemeiner gesagt ist ein kommutativer Ring genau dann ein ganzzahliges Gebiet, wenn sein Spektrum ein ganzzahliges affines Schema ist .

Charakteristik und Homomorphismen

Das Merkmal eines ganzzahligen Bereichs ist entweder 0 oder eine Primzahl .

Wenn R ein Integritäts von vorrangigen charakteristisch ist p , dann ist die Frobeniushomomorphismus f ( x ) = x ^p ist injektiv .

Siehe auch

• Dedekind-Hasse-Norm – die zusätzliche Struktur, die benötigt wird, damit ein integraler Bereich Prinzipal ist
• Nullprodukteigenschaft

Anmerkungen

Verweise

• Adamson, Iain T. (1972). Elementare Ringe und Module . Mathematische Texte der Universität. Oliver und Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra, Kapitel 1-3 . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra . New York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. MR  0.214.415 .
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstrakte Algebra (3. Aufl.). New York: Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Hungerford, Thomas W. (2013). Abstrakte Algebra: Eine Einführung (3. Aufl.). Cengage-Lernen. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (2002). Algebra . Abschlusstexte der Mathematik. 211 . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. MR  1.878.556 .
• Sharpe, David (1987). Ringe und Faktorisierung . Cambridge University Press . ISBN 0-521-33718-6.
• Rowen, Louis Halle (1994). Algebra: Gruppen, Ringe und Felder . AK Peters . ISBN 1-56881-028-8.
• Lanski, Charles (2005). Konzepte in der abstrakten Algebra . AMS Buchhandlung. ISBN 0-534-42323-X.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Eine Einführung in Gruppenringe . Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• BL van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

Externe Links

• "Woher kommt der Begriff "Integralbereich"?" .