Stress-Energie-Impuls-Pseudotensor - Stress–energy–momentum pseudotensor

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist ein Spannungs-Energie-Impuls-Pseudotensor wie der Landau-Lifshitz-Pseudotensor eine Erweiterung des nicht-gravitativen Spannungs-Energie-Tensors , der die Energie-Impuls der Schwerkraft einbezieht. Es erlaubt die Definition von Energie-Impuls eines Systems gravitativer Materie. Insbesondere erlaubt es, dass die Gesamtheit der Materie plus der Gravitationsenergie-Impuls im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie einen erhaltenen Strom bildet , so dass die gesamte Energie-Impuls-Überquerung der Hyperfläche (3-dimensionale Grenze) jedes kompakten Raum-Zeit- Hypervolumens ( 4-dimensionale Untermannigfaltigkeit) verschwindet.

Einige Leute (wie Erwin Schrödinger ) haben dieser Ableitung mit der Begründung widersprochen, dass Pseudotensoren ungeeignete Objekte in der Allgemeinen Relativitätstheorie sind, aber das Erhaltungssatz erfordert nur die Verwendung der 4- Divergenz eines Pseudotensors, der in diesem Fall ein Tensor ist (die auch verschwindet). Außerdem sind die meisten Pseudotensoren Abschnitte von Strahlbündeln , die heute in der Allgemeinen Relativitätstheorie als vollkommen gültige Objekte anerkannt werden.

Landau-Lifshitz Pseudotensor

Die Verwendung des Landau-Lifshitz-Pseudotensors , eines Spannungs-Energie-Impuls- Pseudotensors für kombinierte Materie (einschließlich Photonen und Neutrinos) plus Gravitation, ermöglicht eine Erweiterung der Energie-Impuls-Erhaltungssätze auf die allgemeine Relativitätstheorie . Die Subtraktion des Materiespannungs -Energie-Impuls-Tensors vom kombinierten Pseudotensor ergibt den Gravitationsspannungs-Energie-Impuls-Pseudotensor.

Anforderungen

Landau und Lifshitz wurden bei ihrer Suche nach einem Pseudotensor für den Impuls der Gravitationsenergie von vier Anforderungen geleitet : ${\displaystyle t_{LL}^{\mu\nu}\,}$

1. dass es vollständig aus dem metrischen Tensor konstruiert ist , um einen rein geometrischen oder gravitativen Ursprung zu haben.
2. dass es indexsymmetrisch ist, dh (um den Drehimpuls zu erhalten )${\displaystyle t_{LL}^{\mu\nu}=t_{LL}^{\nu\mu}\,}$
3. dass, wenn er zum Spannungs-Energie-Tensor der Materie addiert wird , seine totale 4- Divergenz verschwindet (dies ist für jeden erhaltenen Strom erforderlich ), so dass wir einen erhaltenen Ausdruck für den gesamten Spannungs-Energie-Impuls haben.${\displaystyle T^{\mu\nu}\,}$
4. dass es lokal in einem Trägheitsbezugssystem verschwindet (was erfordert, dass es nur Ableitungen erster Ordnung und keine Ableitungen zweiter oder höherer Ordnung der Metrik enthält). Dies liegt daran, dass das Äquivalenzprinzip erfordert, dass das Gravitationskraftfeld, die Christoffel-Symbole , in einigen Frames lokal verschwinden. Ist die Gravitationsenergie eine Funktion ihres Kraftfeldes, wie es bei anderen Kräften üblich ist, dann sollte auch der zugehörige Gravitationspseudotensor lokal verschwinden.

Definition

Landau & Lifshitz hat gezeigt, dass es eine einzigartige Konstruktion gibt, die diese Anforderungen erfüllt, nämlich

${\displaystyle t_{LL}^{\mu\nu}=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu\nu}+{\frac {c^{4 }}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^ {\nu\beta}\right)\right)_{,\alpha\beta}}$

wo:

• G ^μν ist der Einstein-Tensor (der aus der Metrik konstruiert wird)
• g ^μν ist die Umkehrung des metrischen Tensors
• g = det( g _μν ) ist die Determinante des metrischen Tensors. g < 0 , daher sein Aussehen als.${\displaystyle -g}$
• ${\textstyle {}_{,\alpha\beta}={\frac{\partial^{2}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\beta}}}\,}$sind partielle Ableitungen , keine kovarianten Ableitungen .
• G ist Newtons Gravitationskonstante .

Überprüfung

Wenn wir die 4 Anforderungsbedingungen untersuchen, können wir sehen, dass die ersten 3 relativ einfach zu demonstrieren sind:

1. Da der Einstein-Tensor, , selbst aus der Metrik konstruiert ist, ist also${\displaystyle G^{\mu\nu}\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu\nu}}$
2. Da der Einstein-Tensor, , symmetrisch ist, ist dies auch der Fall, da die zusätzlichen Terme bei Betrachtung symmetrisch sind.${\displaystyle G^{\mu\nu}\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu\nu}}$
3. Der Landau-Lifshitz-Pseudotensor ist so konstruiert, dass seine totale 4- Divergenz verschwindet , wenn er zum Spannungs-Energie-Tensor der Materie addiert wird : . Dies folgt aus der Aufhebung des Einstein-Tensors, , mit dem Spannungs-Energie-Tensor , durch die Einstein-Feldgleichungen ; der verbleibende Term verschwindet algebraisch aufgrund der Kommutativität partieller Ableitungen, die über antisymmetrische Indizes angewendet werden.${\displaystyle T^{\mu\nu}\,}$${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu\nu}+t_{LL}^{\mu\nu}\right)\right)_{,\mu}= 0}$${\displaystyle G^{\mu\nu}\,}$${\displaystyle T^{\mu\nu}\,}$
4. Der Landau-Lifshitz-Pseudotensor scheint Terme der zweiten Ableitung in der Metrik zu enthalten, aber tatsächlich heben sich die expliziten Terme der zweiten Ableitung im Pseudotensor mit den impliziten Termen der zweiten Ableitung auf, die im Einstein-Tensor enthalten sind , . Dies wird deutlicher, wenn der Pseudotensor direkt durch den metrischen Tensor oder die Levi-Civita-Verbindung ausgedrückt wird ; nur die Terme der ersten Ableitung in der Metrik überleben und diese verschwinden, wenn der Rahmen an einem beliebigen gewählten Punkt lokal träge ist. Als Ergebnis verschwindet der gesamte Pseudotensor lokal (wiederum an jedem beliebigen Punkt) , was die Delokalisierung von Gravitationsenergie und Impuls demonstriert.${\displaystyle G^{\mu\nu}\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu\nu}=0}$

Kosmologische Konstante

Bei der Formulierung des Landau-Lifshitz-Pseudotensors wurde allgemein angenommen, dass die kosmologische Konstante , , Null ist. Heutzutage machen wir diese Annahme nicht , und der Ausdruck muss um einen Begriff ergänzt werden, was Folgendes ergibt: ${\displaystyle \Lambda\,}$${\displaystyle \Lambda\,}$

${\displaystyle t_{LL}^{\mu\nu}=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu\nu}+\Lambda g^{ \mu\nu}\right)+{\frac{c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu\ nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right)\right)_{,\alpha\beta}}$

Dies ist aus Gründen der Konsistenz mit den Einsteinschen Feldgleichungen notwendig .

Metrische und affine Verbindungsversionen

Landau & Lifshitz bieten auch zwei äquivalente, aber längere Ausdrücke für den Landau-Lifshitz-Pseudotensor:

• Metrische Tensorversion :

  ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}(-g)\left(t_{LL}^{\mu\nu}+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu\nu}}{8 \pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha}\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha\beta}\right)_{,\beta}-\left({\sqrt {-g}} g^{\mu\alpha}\right)_{,\alpha}\left({\sqrt {-g}}g^{\nu\beta}\right)_{,\beta}+{}\\ &{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}-g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}\right) \left(2g_{\sigma\rho}g_{\lambda\omega}-g_{\rho\lambda}g_{\sigma\omega}\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\ Sigma \omega}\right)_{,\alpha}\left({\sqrt {-g}}g^{\rho\lambda}\right)_{,\beta}-{}\\&\left( g^{\mu\alpha}g_{\beta\sigma}\left({\sqrt {-g}}g^{\nu\sigma}\right)_{,\rho}\left({\sqrt { -g}}g^{\beta\rho}\right)_{,\alpha}+g^{\nu\alpha}g_{\beta\sigma}\left({\sqrt {-g}}g^ {\mu\sigma}\right)_{,\rho}\left({\sqrt {-g}}g^{\beta\rho}\right)_{,\alpha}\right)+{}\ \&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu\nu}g_{\alpha\beta}\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha\sig ma }\right)_{,\rho}\left({\sqrt {-g}}g^{\rho\beta}\right)_{,\sigma}+g_{\alpha \beta}g^{ \sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu\alpha}\right)_{,\sigma}\left({\sqrt {-g}}g^{\nu\ beta }\right)_{,\rho }\right]\end{ausgerichtet}}}$

• Affine Verbindungsvariante :

  ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}t_{LL}^{\mu\nu}+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu\nu}}{8\pi G}}={ \frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma_{\alpha\beta}^{\sigma}\Gamma_{\sigma\rho}^ {\rho}-\Gamma_{\alpha\rho}^{\sigma}\Gamma_{\beta\sigma}^{\rho}-\Gamma_{\alpha\sigma}^{\sigma}\Gamma _{\beta\rho}^{\rho}\right)\left(g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}-g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma_{\alpha\rho}^{\nu}\Gamma_{\beta\sigma}^{\rho}+\Gamma_{\beta\sigma }^{\nu}\Gamma_{\alpha\rho}^{\rho}-\Gamma_{\sigma\rho}^{\nu}\Gamma_{\alpha\beta}^{\rho}- \Gamma_{\alpha\beta}^{\nu}\Gamma_{\sigma\rho}^{\rho}\right)g^{\mu\alpha}g^{\beta\sigma}+\\ &\left(\Gamma_{\alpha\rho}^{\mu}\Gamma_{\beta\sigma}^{\rho}+\Gamma_{\beta\sigma}^{\mu}\Gamma_ {\alpha\rho}^{\rho}-\Gamma_{\sigma\rho}^{\mu}\Gamma_{\alpha\beta}^{\rho}-\Gamma_{\alpha\beta} ^{\mu}\Gamma_{\sigma\rho}^{\rho}\right)g^{\nu\alpha}g^{\beta\sigma}+\\&\left.\ links(\Gamma_{\alpha\sigma}^{\mu}\Gamma_{\beta\rho}^{\nu}-\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}\Gamma_{\ Sigma \rho}^{\nu}\right)g^{\alpha\beta}g^{\sigma\rho}\right]\end{ausgerichtet}}}$

Diese Definition von Energie-Impuls ist nicht nur unter Lorentz-Transformationen, sondern auch unter allgemeinen Koordinatentransformationen kovariant anwendbar.

Einstein Pseudotensor

Dieser Pseudotensor wurde ursprünglich von Albert Einstein entwickelt .

Paul Dirac zeigte, dass der gemischte Einstein-Pseudotensor

${\displaystyle {t_{\mu}}^{\nu}={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{ \alpha\beta}{\sqrt{-g}}\right)_{,\mu}\left(\Gamma_{\alpha\beta}^{\nu}-\delta_{\beta}^{\ nu}\Gamma_{\alpha\sigma}^{\sigma}\right)-\delta_{\mu}^{\nu}g^{\alpha\beta}\left(\Gamma_{\alpha\ Beta}^{\sigma}\Gamma_{\sigma\rho}^{\rho}-\Gamma_{\alpha\sigma}^{\rho}\Gamma_{\beta\rho}^{\sigma} \right){\sqrt {-g}}\right)}$

erfüllt ein Erhaltungsgesetz

${\displaystyle \left(\left({T_{\mu}}^{\nu}+{t_{\mu}}^{\nu}\right){\sqrt {-g}}\right)_{ ,\nu}=0.}$

Offensichtlich wird dieser Pseudotensor für Gravitationsspannungs-Energie ausschließlich aus dem metrischen Tensor und seinen ersten Ableitungen konstruiert. Folglich verschwindet es auf jeden Fall, wenn das Koordinatensystem so gewählt wird, dass die ersten Ableitungen der Metrik verschwinden, weil jeder Term im Pseudotensor in den ersten Ableitungen der Metrik quadratisch ist. Sie ist jedoch nicht symmetrisch und eignet sich daher nicht als Grundlage für die Bestimmung des Drehimpulses.

Siehe auch

• Bel-Robinson-Tensor
• Cooperstocks Energielokalisierungshypothese
• Gravitationswelle

Anmerkungen

Verweise

• Nichtlineare Störungen und Erhaltungssätze auf gekrümmten Hintergründen in GR und anderen metrischen Theorien von AN Petrov
• lantonov.blogspot.com/2012/02/landau-lifshitz-pseudotensor.html