Tarskis Satz über die Wahl - Tarski's theorem about choice

In Mathematik , Tarskis Theorem beweist von Alfred Tarski  ( 1924 ) heißt es, dass in ZF den Satz „Für jede unendliche Menge , es ist eine bijektive Abbildung zwischen den Sätzen und “ impliziert das Axiom der Wahl . Die entgegengesetzte Richtung war bereits bekannt, daher sind Satz und Axiom der Wahl äquivalent. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ times A}$

Tarski sagte Jan Mycielski  ( 2006 ), als er versuchte, den Satz in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris zu veröffentlichen, weigerten sich Fréchet und Lebesgue , ihn vorzustellen. Fréchet schrieb, dass eine Implikation zwischen zwei bekannten Aussagen kein neues Ergebnis ist. Lebesgue schrieb, dass eine Implikation zwischen zwei falschen Aussagen nicht von Interesse ist.

Beweis

Ziel ist es zu beweisen, dass das Axiom der Wahl durch die Aussage "für jede unendliche Menge : " impliziert wird . Es ist bekannt, dass der Satz der Ordnung dem Axiom der Wahl entspricht; es reicht also zu zeigen, dass die Aussage impliziert, dass für jede Menge eine gute Ordnung existiert . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | A | = | A \ times A |}$${\ displaystyle B}$

Für endliche Mengen ist dies trivial, daher nehmen wir an, dass dies unendlich ist. ${\ displaystyle B}$

Da die Sammlung aller Ordinalzahlen so dass eine existiert surjektivität von zum ordinal ein Satz ist, gibt es einen minimalen Nicht-Null - Ordnungs, ist , so dass es keine surjektivität aus zu . Wir gehen davon aus, ohne Verlust der Allgemeinheit , dass die Mengen und sind disjunkt . Nach der anfänglichen Annahme besteht also eine Bijektion . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle | B \ cup \ beta | = | (B \ cup \ beta) \ times (B \ cup \ beta) |}$ ${\ displaystyle f: B \ cup \ beta \ bis (B \ cup \ beta) \ times (B \ cup \ beta)}$

Für jeden ist das unmöglich , weil wir sonst eine surjektive Funktion von bis definieren könnten . Daher gibt es mindestens eine Ordnungszahl, so dass die Menge nicht leer ist. ${\ displaystyle x \ in B}$${\ displaystyle \ beta \ times \ {x \} \ subseteq f [B]}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ beta}$${\ displaystyle f (\ gamma) \ in \ beta \ times \ {x \}}$${\ displaystyle S_ {x} = \ {\ gamma | f (\ gamma) \ in \ beta \ times \ {x \} \}}$

Wir können eine neue Funktion definieren : . Diese Funktion ist gut definiert, da es sich um einen nicht leeren Satz von Ordnungszahlen handelt und daher ein Minimum aufweist. Für jeden der Sätze und sind disjunkt. Daher können wir für jedes, was wir definieren , eine gute Reihenfolge definieren , da das Bild von , dh eine Menge von Ordnungszahlen ist und daher gut geordnet ist. ${\ displaystyle g (x) = \ min S_ {x}}$${\ displaystyle S_ {x}}$${\ displaystyle x, y \ in B, x \ neq y}$${\ displaystyle S_ {x}}$${\ displaystyle S_ {y}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x, y \ in B}$${\ displaystyle x \ leq y \ iff g (x) \ leq g (y)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g [B]}$

Verweise

• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Äquivalente des Axioms der Wahl II , Nordholland / Elsevier, ISBN 0-444-87708-8
• Mycielski, Jan (2006), "Ein System von Axiomen der Mengenlehre für die Rationalisten" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 53 (2): 209
• Tarski, A. (1924), "Sur quelques Theorems qui äquivalent a l'axiome du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147–154