Zeitableitung - Time derivative

Eine Zeitableitung ist eine Ableitung einer Funktion nach der Zeit , die normalerweise als Änderungsrate des Wertes der Funktion interpretiert wird. Die Variable für die Zeit wird normalerweise als geschrieben . ${\displaystyle t}$

Notation

Zur Bezeichnung der Zeitableitung werden verschiedene Notationen verwendet. Neben der normalen ( Leibniz ) Notation,

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

Eine sehr gebräuchliche Kurzschreibweise, die insbesondere in der Physik verwendet wird, ist der „Überpunkt“. IE

${\displaystyle {\dot {x}}}$

(Dies wird Newtonsche Notation genannt )

Es werden auch höhere Zeitableitungen verwendet: Die zweite Ableitung nach der Zeit wird geschrieben als

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

mit der entsprechenden Abkürzung von . ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Als Verallgemeinerung, die Zeitableitung eines Vektors, sagen wir:

${\displaystyle \mathbf{v} =\left[v_{1},\v_{2},\v_{3},\ldots\right]}$

ist definiert als der Vektor, dessen Komponenten die Ableitungen der Komponenten des ursprünglichen Vektors sind. Das ist,

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}}, {\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots\right].}$

Verwendung in der Physik

Zeitableitungen sind ein Schlüsselbegriff der Physik . Für eine sich ändernde Position ist beispielsweise ihre zeitliche Ableitung ihre Geschwindigkeit und ihre zweite Ableitung nach der Zeit ihre Beschleunigung . Manchmal werden auch noch höhere Ableitungen verwendet: Die dritte Ableitung der Position nach der Zeit wird als Ruck bezeichnet . Siehe Bewegungsgraphen und Ableitungen . ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Eine große Anzahl fundamentaler Gleichungen in der Physik beinhalten erste oder zweite zeitliche Ableitungen von Größen. Viele andere fundamentale Größen in der Wissenschaft sind zeitliche Ableitungen voneinander:

• Kraft ist die zeitliche Ableitung des Impulses
• Leistung ist die zeitliche Ableitung der Energie
• elektrischer Strom ist die zeitliche Ableitung der elektrischen Ladung

und so weiter.

Ein häufiges Ereignis in der Physik ist die zeitliche Ableitung eines Vektors , wie etwa Geschwindigkeit oder Verschiebung. Beim Umgang mit einer solchen Ableitung können sowohl die Größe als auch die Orientierung von der Zeit abhängen.

Beispiel: Kreisbewegung

Betrachten Sie beispielsweise ein Partikel, das sich auf einer Kreisbahn bewegt. Seine Position wird durch den Verschiebungsvektor , bezogen auf den Winkel θ , und den radialen Abstand r , wie in der Abbildung definiert, angegeben: ${\displaystyle r=x{\hat{\imath}}+y{\hat{\jmath}}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=r\cos(\theta)\\y&=r\sin(\theta)\end{ausgerichtet}}}$

Für dieses Beispiel nehmen wir an, dass θ = t . Somit ist die Verschiebung (Position) zu jedem Zeitpunkt t gegeben durch

${\displaystyle\mathbf{r}(t)=r\cos(t){\hat{\imath}}}+r\sin(t){\hat {\jmath}}}$

Diese Form zeigt, dass sich die durch r ( t ) beschriebene Bewegung in einem Kreis mit Radius r befindet, da der Betrag von r ( t ) gegeben ist durch

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2 }+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos^{2}(t)+\sin^{2}(t)}}=r}$

unter Verwendung der trigonometrischen Identität sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1 und wobei das übliche euklidische Punktprodukt ist. ${\displaystyle \cdot}$

Mit dieser Form für die Verschiebung wird nun die Geschwindigkeit ermittelt. Die zeitliche Ableitung des Verschiebungsvektors ist der Geschwindigkeitsvektor. Im Allgemeinen ist die Ableitung eines Vektors ein Vektor, der aus Komponenten besteht, von denen jede die Ableitung der entsprechenden Komponente des ursprünglichen Vektors ist. Der Geschwindigkeitsvektor ist in diesem Fall also:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\ ,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos( t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{ausgerichtet}}}$

Somit ist die Geschwindigkeit des Teilchens ungleich Null, obwohl die Größe der Position (dh der Radius der Bahn) konstant ist. Die Geschwindigkeit ist senkrecht zur Verschiebung gerichtet, wie man mit dem Skalarprodukt feststellen kann :

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

Beschleunigung ist dann die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

Die Beschleunigung ist nach innen zur Drehachse gerichtet. Er zeigt entgegengesetzt zum Ortsvektor und senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor. Diese nach innen gerichtete Beschleunigung wird Zentripetalbeschleunigung genannt .

In Differentialgeometrie

In der Differentialgeometrie werden Größen oft in Bezug auf die lokale kovariante Basis ausgedrückt , , wobei i über die Anzahl der Dimensionen reicht. Die auf diese Weise ausgedrückten Komponenten eines Vektors transformieren sich als kontravarianter Tensor , wie im Ausdruck gezeigt , unter Berufung auf die Einsteinsche Summenkonvention . Wenn wir die zeitlichen Ableitungen dieser Komponenten entlang einer Trajektorie berechnen wollen, so dass wir haben , können wir einen neuen Operator definieren, die invariante Ableitung , die weiterhin kontravariante Tensoren liefert: ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf{U}}$${\displaystyle \mathbf{U} =U^{i}\mathbf{e}_{i}}$${\displaystyle\mathbf{U}(t)=U^{i}(t)\mathbf{e}_{i}(t)}$${\displaystyle\delta}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{ausgerichtet}}}$

wobei (mit der j- ten Koordinate) die Komponenten der Geschwindigkeit in der lokalen kovarianten Basis erfasst und die Christoffel-Symbole für das Koordinatensystem sind. Beachten Sie, dass die explizite Abhängigkeit von t in der Notation unterdrückt wurde. Wir können dann schreiben: ${\displaystyle V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}}$${\displaystyle x^{j}}$${\displaystyle \Gamma_{jk}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{ i}\\\ende{ausgerichtet}}}$

ebenso gut wie:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{ \delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{ausgerichtet}}}$

In Bezug auf die kovariante Ableitung , haben wir: ${\displaystyle \nabla _{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned }}}$

Verwendung in der Wirtschaft

In der Ökonomie werden viele theoretische Modelle der Entwicklung verschiedener ökonomischer Variablen in kontinuierlicher Zeit konstruiert und verwenden daher Zeitableitungen. Eine Situation betrifft eine Bestandsvariable und ihre zeitliche Ableitung, eine Flussvariable . Beispiele beinhalten:

• Der Fluss des Nettoanlageinvestitionen ist die zeitliche Ableitung des Kapitalstocks .
• Der Fluss der Lagerinvestitionen ist die zeitliche Ableitung des Lagerbestands .
• Die Wachstumsrate der Geldmenge ist die zeitliche Ableitung der Geldmenge geteilt durch die Geldmenge selbst.

Manchmal kann die zeitliche Ableitung einer Durchflussvariablen in einem Modell erscheinen:

• Die Wachstumsrate des Outputs ist die zeitliche Ableitung des Outputflusses geteilt durch den Output selbst.
• Die Wachstumsrate der Erwerbsbevölkerung ist die zeitliche Ableitung der Erwerbsbevölkerung geteilt durch die Erwerbsbevölkerung selbst.

Und manchmal erscheint eine Zeitableitung einer Variablen, die im Gegensatz zu den obigen Beispielen nicht in Währungseinheiten gemessen wird:

• Die zeitliche Ableitung eines Leitzinssatzes kann auftreten.
• Die Inflationsrate ist die Wachstumsrate des Preisniveaus – d. h. die zeitliche Ableitung des Preisniveaus dividiert durch das Preisniveau selbst.

Siehe auch

• Differentialrechnung
• Notation zur Differenzierung
• Kreisbewegung
• Zentripetalkraft
• Räumliche Ableitung
• Temporäre Rate

Verweise