Notation zur Unterscheidung - Notation for differentiation

Teil einer Artikelserie über
Infinitesimalrechnung
Fundamentalsatz Leibniz-Integralregel Grenzen der Funktionen Kontinuität Mittelwertsatz Der Satz von Rolle
Differential Definitionen Ableitung  ( Verallgemeinerungen ) Differential unendlich klein einer Funktion gesamt Konzepte Unterscheidungsnotation Zweite Ableitung Implizite Differenzierung Logarithmische Differenzierung Verwandte Tarife Taylors Theorem Regeln und Identitäten Summe Produkt Kette Leistung Quotient Die Regel von L'Hôpital Invers Allgemeine Leibniz Die Formel von Faà di Bruno Reynolds
Integral Listen von Integralen Integrale Transformation Definitionen Stammfunktion Integral  ( ungeeignet ) Riemann-Integral Lebesgue-Integration Konturintegration Integral von Umkehrfunktionen Integration durch Teile Scheiben Zylindrische Schalen Substitution  ( trigonometrisch , Weierstrass , Euler ) Eulersche Formel Partialbrüche Reihenfolge ändern Reduktionsformeln Unter dem Integralzeichen differenzieren Risch-Algorithmus
Serie Geometrisch  ( arithmetisch-geometrisch ) Harmonisch Abwechselnd Leistung Binomial Taylor Konvergenztests Summandgrenze (Term-Test) Verhältnis Wurzel Integral Direkter Vergleich Grenzwertvergleich Abwechselnde Serien Cauchy-Kondensation Dirichlet Abel
Vektor Gradient Abweichungen Locken Laplace Richtungsableitung Identitäten Sätze Gradient Grüne Stokes' Abweichungen generalisierte Stokes
Multivariabel Formalismen Matrix Tensor Außen Geometrisch Definitionen Partielle Ableitung Mehrfachintegral Linienintegral Flächenintegral Volumenintegral Jacobi Hessisch
Spezialisiert Bruchteil Malliavin Stochastisch Variationen
Sonstig Vorkalkulation Geschichte Glossar Liste der Themen Integration Biene Analyse
v T e

In der Differentialrechnung gibt es keine einheitliche Schreibweise für die Differenzierung . Stattdessen wurden von verschiedenen Mathematikern verschiedene Notationen für die Ableitung einer Funktion oder Variable vorgeschlagen. Die Nützlichkeit jeder Notation variiert mit dem Kontext, und es ist manchmal von Vorteil, mehr als eine Notation in einem bestimmten Kontext zu verwenden. Die gebräuchlichsten Notationen für die Differentiation (und ihre entgegengesetzte Operation, die Antidifferenzierung oder unbestimmte Integration ) sind unten aufgeführt.

Leibniz-Notation

Die von Gottfried Leibniz verwendete Originalnotation wird in der gesamten Mathematik verwendet. Sie tritt besonders häufig auf, wenn die Gleichung y = f ( x ) als funktionaler Zusammenhang zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen y und x betrachtet wird . Die Notation von Leibniz macht diese Beziehung explizit, indem sie die Ableitung schreibt als

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$

Die Funktion, deren Wert bei x die Ableitung von f bei x ist, wird also geschrieben

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ oder }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ oder }}{\frac {d}{ dx}}f(x).}$

Höhere Ableitungen werden geschrieben als

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{ 4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Dies ist ein suggestives Notationsmittel, das aus formalen Manipulationen von Symbolen stammt, wie z.

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2} y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Logisch gesprochen sind diese Gleichungen keine Theoreme . Stattdessen sind sie einfach Definitionen der Notation. Tatsächlich ergibt die obige Auswertung mit der Quotientenregel und der Verwendung von dd zur Unterscheidung von d ² in der obigen Notation

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {ddy}{dx^{2}}}-{\frac {dy }{dx}}{\frac {ddx}{dx^{2}}}.}$

Der Wert der Ableitung von y an einem Punkt x = a kann unter Verwendung der Leibniz-Notation auf zwei Arten ausgedrückt werden:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ oder }}{\frac {dy}{dx}}(a)}$.

Die Notation von Leibniz erlaubt es, die Differenzierungsvariable (im Nenner) anzugeben. Dies ist besonders hilfreich bei der Betrachtung partieller Ableitungen . Es macht auch die Kettenregel leicht zu merken und zu erkennen:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Die Notation von Leibniz für die Unterscheidung erfordert nicht, Symbolen wie dx oder dy allein eine Bedeutung zuzuweisen, und einige Autoren versuchen nicht, diesen Symbolen eine Bedeutung zuzuordnen. Leibniz behandelte diese Symbole als Infinitesimals . Spätere Autoren haben ihnen andere Bedeutungen zugewiesen, wie zum Beispiel Infinitesimals in der Nicht-Standard-Analyse oder äußere Ableitungen .

Einige Autoren und Zeitschriften setzen das Differentialsymbol d in lateinischer Schrift statt in Kursivschrift : d x . Der wissenschaftliche Styleguide nach ISO/IEC 80000 empfiehlt diesen Stil.

Leibniz-Notation für Antidifferenzierung

Leibniz führte das Integralzeichen ∫ in Analyseos tetragonisticae pars secunda und Methodi tangentium inversae exempla (beide ab 1675) ein. Es ist jetzt das Standardsymbol für die Integration .

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\ ,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right) dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\Unterklammer {\int\dots\int} _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x) \,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{ausgerichtet}}}$

Lagranges Notation

Eine der gebräuchlichsten modernen Notationen zur Differenzierung ist nach Joseph Louis Lagrange benannt , obwohl sie tatsächlich von Euler erfunden und von ersterem nur populär gemacht wurde. In Lagrange-Notation, ein Apostroph bezeichnet ein Derivat. Wenn f eine Funktion ist, dann wird ihre bei x ausgewertete Ableitung geschrieben

${\displaystyle f'(x)}$.

Es erschien erstmals 1749 in gedruckter Form.

Höhere Ableitungen werden durch zusätzliche Striche gekennzeichnet, wie bei der zweiten Ableitung und der dritten Ableitung . Die Verwendung von wiederholten Anführungszeichen wird schließlich unhandlich. Einige Autoren fahren fort, indem sie römische Ziffern verwenden , normalerweise in Kleinbuchstaben, wie in ${\displaystyle f''(x)}$${\displaystyle f'''(x)}$

${\displaystyle f^{\mathrm {iv}}(x),f^{\mathrm{v}}(x),f^{\mathrm{vi}}(x),\ldots,}$

um Ableitungen vierter, fünfter, sechster und höherer Ordnung zu bezeichnen. Andere Autoren verwenden arabische Ziffern in Klammern, wie in

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

Diese Notation ermöglicht es auch, die n- te Ableitung zu beschreiben , wobei n eine Variable ist. Das ist geschrieben

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Zu den Unicode-Zeichen im Zusammenhang mit der Notation von Lagrange gehören

• U+2032 ◌′ PRIME (Derivat)
• U+2033 ◌″ DOUBLE PRIME (doppelte Ableitung)
• U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIME (dritte Ableitung)
• U+2057 ◌⁗ VIERTEL PRIME (vierte Ableitung)

Wenn es zwei unabhängige Variablen für eine Funktion f ( x ,  y ) gibt, kann die folgende Konvention befolgt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime}&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime}&={\frac {df}{dy} }=f_{y}\\f^{\prime \prime}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f_{xx}\\f_{\prime}^ {\prime}&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime}&={\frac {d^ {2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\end{ausgerichtet}}}$

Lagrangesche Notation für Antidifferenzierung

Bei der Stammfunktion folgte Lagrange der Notation von Leibniz:

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.}$

Da jedoch die Integration die Umkehroperation der Differentiation ist, erstreckt sich die Lagrangesche Notation für Ableitungen höherer Ordnung auch auf Integrale. Wiederholte Integrale von f können geschrieben werden als

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$für das erste Integral (dies wird leicht mit der Umkehrfunktion verwechselt ),${\displaystyle f^{-1}(x)}$

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$ für das zweite Integral,

${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$ für das dritte Integral und

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$für das n- te Integral.

Eulersche Notation

Leonhard Eulers Notation verwendet einen von Louis François Antoine Arbogast vorgeschlagenen Differentialoperator , der als D ( D-Operator ) oder D̃ ( Newton-Leibniz-Operator ) bezeichnet wird. Bei Anwendung auf eine Funktion f ( x ) ist sie definiert durch

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

Höhere Ableitungen werden als "Potenzen" von D notiert (wobei die hochgestellten Zeichen die iterierte Zusammensetzung von D bezeichnen ), wie in

${\displaystyle D^{2}f}$ für die zweite Ableitung,

${\displaystyle D^{3}f}$ für die dritte Ableitung und

${\displaystyle D^{n}f}$für die n- te Ableitung.

Die Eulersche Notation lässt die Variable, nach der differenziert wird, implizit. Diese Variable kann jedoch auch explizit notiert werden. Wenn f eine Funktion einer Variablen x ist, geschieht dies durch Schreiben

${\displaystyle D_{x}f}$ für die erste Ableitung,

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$ für die zweite Ableitung,

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$ für die dritte Ableitung und

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$für die n- te Ableitung.

Wenn f eine Funktion von mehreren Variablen ist, ist es üblich , ein „zu verwenden ∂ “ und nicht als D . Wie oben bezeichnen die Indizes die Ableitungen, die genommen werden. Zum Beispiel sind die zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f ( x , y ) :

${\displaystyle \partial_{xx}f={\frac {\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}},}$

${\displaystyle \partial_{xy}f={\frac {\partial^{2}f}{\partial y\partial x}},}$

${\displaystyle \partial_{yx}f={\frac {\partial^{2}f}{\partial x\partial y}},}$

${\displaystyle \partial_{yy}f={\frac {\partial^{2}f}{\partial y^{2}}}.}$

Siehe § Partielle Derivate .

Die Eulersche Notation ist nützlich zum Aufstellen und Lösen von linearen Differentialgleichungen , da sie die Darstellung der Differentialgleichung vereinfacht, was das Erkennen der wesentlichen Elemente des Problems erleichtern kann.

Eulersche Notation für Antidifferenzierung

Die Eulersche Notation kann für die Antidifferenzierung genauso verwendet werden wie die Lagrange-Notation wie folgt:

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$ für eine erste Stammfunktion,

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$ für eine zweite Stammfunktion und

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$für eine n- te Stammfunktion.

Newtons Notation

Newtons Notation für Differentiation (auch Punktnotation oder manchmal grob gesagt Flyspeck-Notation für Differentiation genannt) platziert einen Punkt über der abhängigen Variablen. Das heißt, wenn y eine Funktion ist , t , so ist die Ableitung von y in Bezug auf t ist

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Höhere Ableitungen werden mit mehreren Punkten dargestellt, wie in

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Newton hat diese Idee ziemlich weit erweitert:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\ left({\frac{dy}{dt}}\right)={\frac{d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr)}={\frac {d} {dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr)}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset { ...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\äquiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3 }y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y }}={\ddot {\ddot {y}}}\äquiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\ rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...} {y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}}\äquiv {\frac {d^{5}y} {dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\, 6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{ 6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\ Punkt {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{ 7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\ Punkt {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}} \equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^ {(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\äquiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t} ^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{ausgerichtet}}}$

Zu den Unicode-Zeichen, die sich auf die Newton-Notation beziehen, gehören:

• U + 0307 ◌ COMBINING Punkt über (Derivat)
• U+0308 ◌̈ KOMBINIERENDE DIAERESE (doppelte Ableitung)
• U+20DB ◌⃛ KOMBINIEREN VON DREI PUNKT OBEN (dritte Ableitung) ← ersetzt durch "kombinierende Diaerese" + "kombinierender Punkt oben".
• U+20DC ◌⃜ KOMBINIEREN VON VIER OBEN STEHENDEN PUNKTEN (vierte Ableitung) ← ersetzt durch "kombinierende Diaerese" zweimal.
• U + 030D ◌ COMBINING VERTICAL Linie oberhalb (integral)
• U + 030E ◌ KOMBINATION VON DOPPEL VERTICAL Linie oberhalb (zweites Integral)
• U+25AD ▭ WEISSES RECHTECK (integriert)
• U+20DE ◌⃞ KOMBINIERENDES EINSCHLIESSENDES QUADRAT (integriert)
• U+1DE0 ◌ᷠ KOMBINIERENDER LATEINISCHER KLEINER BUCHSTABE N ( n- te Ableitung)

Die Newton-Schreibweise wird im Allgemeinen verwendet, wenn die unabhängige Variable die Zeit bezeichnet . Wenn der Ort y eine Funktion von t ist , dann bezeichnet die Geschwindigkeit und die Beschleunigung . Diese Notation ist in der Physik und der mathematischen Physik beliebt . Es kommt auch in Bereichen der Mathematik vor, die mit der Physik verbunden sind, wie zum Beispiel Differentialgleichungen . Es ist nur für erste und zweite Ableitungen beliebt, aber in Anwendungen sind dies normalerweise die einzigen Ableitungen, die erforderlich sind. ${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Bei der Ableitung einer abhängigen Variablen y = f ( x ) gibt es eine alternative Schreibweise:

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}: {\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr)}=Dy=f'(x)=y'.}$

Newton entwickelte die folgenden partiellen Differentialoperatoren unter Verwendung von Seitenpunkten auf einem gekrümmten X ( ). Definitionen von Whiteside sind unten:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\ partiell f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal{X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}= yf_{y}\,,\\\Doppelpunkt \!{\mathcal{X}}\,{\text{ oder }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal{X}}\right) \ &=\ x^{2}{\frac {\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal { X}}\colon \,{\text{ oder }}\,\left({\mathcal{X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy {\frac {\partial^{2}f}{\partial x\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{ausgerichtet}}}$

Newtonsche Notation für Integration

Newton entwickelt viele verschiedene Schreibweisen für die Integration in seine Quadratura curvarum (1704) und später arbeitet : Er schrieb einen kleinen senkrechten Strich oder prime über die abhängige Variable ( y ), ein prefixing Rechteck ( ▭ y ) oder die Einzäunung des Begriffs in eine Rechteck ( y ) , um das zu bezeichnen , fließend oder Zeitintegral ( absement ).

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}y&=\Box {\dot{y}}\equiv\int {\dot{y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t} ^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\ Kasten y\equiv\int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{ausgerichtet}}}$

Um mehrere Integrale zu bezeichnen, verwendet Newton zwei kleine vertikale Striche oder Primzahlen ( y̎ ) oder eine Kombination der vorherigen Symbole ▭ y̍  y̍ , um das zweite Zeitintegral (Absität) zu bezeichnen.

${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y} }\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Zeitintegrale höherer Ordnung waren wie folgt:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int { \overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\ {\overset {\,\prime\prime\prime\prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime\prime\prime }{y}}\equiv\int {\overset {\, \prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv\ int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y= S(t)+C_{n}\end{ausgerichtet}}}$

Diese mathematische Notation hat sich aufgrund von Druckschwierigkeiten und der Kontroverse um Leibniz-Newton-Kalküle nicht durchgesetzt .

Teilderivate

Wenn spezifischere Arten der Differenzierung erforderlich sind, wie bei der multivariaten Analysis oder der Tensoranalyse , sind andere Notationen üblich.

Für eine Funktion f einer unabhängigen Variablen x können wir die Ableitung mithilfe von Indizes der unabhängigen Variablen ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2} }}.\end{ausgerichtet}}}$

Diese Art der Notation ist besonders nützlich, um partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen zu bilden.

Partielle Ableitungen werden im Allgemeinen von gewöhnlichen Ableitungen dadurch unterschieden, dass der Differentialoperator d durch ein „ ∂ “-Symbol ersetzt wird. Zum Beispiel können wir die partielle Ableitung von f ( x ,  y ,  z ) nach x , aber nicht nach y oder z auf verschiedene Weise angeben :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial_{x}f.}$

Was macht diese Unterscheidung wichtig ist , dass ein nicht-Teilderivat wie kann , je nach Kontext, als eine Änderungsrate der interpretiert werden , um relativ wenn alle Variablen gleichzeitig variieren dürfen, während bei einer partiellen Derivat, wie es ist ausdrücklich dass nur eine Variable variieren sollte. ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Andere Notationen finden sich in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften; siehe zB die Maxwell-Beziehungen der Thermodynamik . Das Symbol ist die Ableitung der Temperatur T nach dem Volumen V bei konstanter Entropie (tiefgestellter Index) S , während die Ableitung der Temperatur nach dem Volumen bei konstantem Druck P ist . Dies wird in Situationen erforderlich, in denen die Anzahl der Variablen die Freiheitsgrade überschreitet, so dass ausgewählt werden muss, welche anderen Variablen fest gehalten werden sollen. ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$

Partielle Ableitungen höherer Ordnung in Bezug auf eine Variable werden ausgedrückt als

${\displaystyle {\frac {\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},}$

${\displaystyle {\frac {\partial^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},}$

und so weiter. Gemischte partielle Ableitungen können ausgedrückt werden als

${\displaystyle {\frac {\partial^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.}$

Im letzten Fall werden die Variablen in umgekehrter Reihenfolge zwischen den beiden Notationen geschrieben, wie folgt erklärt:

${\displaystyle (f_{x})_{y}=f_{xy},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f }{\partial y\partial x}}.}$

Die sogenannte Multiindex-Notation wird in Situationen verwendet, in denen die obige Notation umständlich oder nicht ausreichend ausdrucksstark wird. Wenn wir Funktionen auf betrachten , definieren wir einen Multiindex als eine geordnete Liste von nicht negativen ganzen Zahlen: . Wir definieren dann für die Notation ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =(\alpha_{1},..,\alpha_{n}),\\alpha_{i}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}$${\displaystyle f:\mathbb{R} ^{n}\to X}$

${\displaystyle \partial^{\alpha}f={\frac {\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}}\cdots {\ frac {\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}}f}$

Auf diese Weise können manche Ergebnisse (wie die Leibniz-Regel ), die sonst mühsam zu schreiben sind, prägnant ausgedrückt werden – einige Beispiele finden sich im Artikel über Multiindizes .

Notation in der Vektorrechnung

Die Vektorrechnung befasst sich mit der Differenzierung und Integration von Vektor- oder Skalarfeldern . Mehrere Notationen, die für den Fall des dreidimensionalen euklidischen Raums spezifisch sind, sind üblich.

Nehmen Sie an, dass ( x , y , z ) ein gegebenes kartesisches Koordinatensystem ist , dass A ein Vektorfeld mit Komponenten und das ein Skalarfeld ist . ${\displaystyle \mathbf{A} =(\mathbf{A}_{x},\mathbf{A}_{y},\mathbf{A}_{z})}$${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$

Der von William Rowan Hamilton eingeführte Differentialoperator , geschrieben ∇ und del oder nabla genannt, ist symbolisch in Form eines Vektors definiert,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}} \rechts)\!,}$

wobei die Terminologie symbolisch widerspiegelt, dass der Operator ∇ auch als gewöhnlicher Vektor behandelt wird.

• Gradient : Der Gradientdes Skalarfeldein Vektor ist, der symbolisch durch die ausgedrückt wird die Multiplikation von ∇ und Skalarfeld,${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle\varphi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y }},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{ \partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

• Divergenz : Die Divergenzdes Vektorfeldes A ist ein Skalar, der symbolisch durch das Skalarprodukt von ∇ und dem Vektor A ausgedrückt wird,${\displaystyle \mathrm{div}\,\mathbf{A}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{ \partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

• Laplace : The Laplaciandes Skalarfeldein Skalar ist, der symbolisch durch die skalare Multiplikation von ∇ ausgedrückt wird ² und dem Skalarfeld φ ,${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$${\displaystyle\varphi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\& =\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{ausgerichtet}}}$

• Rotation : Die Rotation, or, des Vektorfeldes A ist ein Vektor, der symbolisch durch das Kreuzprodukt von ∇ und dem Vektor A ausgedrückt wird,${\displaystyle\mathrm{locke}\,\mathbf{A}}$${\displaystyle\mathrm{rot}\,\mathbf{A}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over { \partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{ y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\ mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf{A} \end{ausgerichtet}}}$

Viele symbolische Operationen von Ableitungen können auf einfache Weise durch den Gradientenoperator in kartesischen Koordinaten verallgemeinert werden. Zum Beispiel hat die Produktregel mit einer Variablen ein direktes Analogon in der Multiplikation von Skalarfeldern durch Anwendung des Gradientenoperators, wie in

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi\psi)=(\nabla\phi)\psi +\phi (\nabla\psi).}$

Viele andere Regeln aus der Einzelvariablenrechnung haben Vektorrechnungsanaloga für den Gradienten, die Divergenz, die Krümmung und den Laplace-Operator.

Für exotischere Raumtypen wurden weitere Notationen entwickelt. Für Berechnungen im Minkowski-Raum wird der d'Alembert-Operator , auch d'Alembert-Operator , Wellenoperator oder Box-Operator genannt, als dargestellt , oder als wenn er nicht in Konflikt mit dem Symbol für den Laplace-Operator steht. ${\displaystyle \Box}$${\displaystyle \Delta}$

Siehe auch

• Analytische Gesellschaft
• Ableitung  – Operation in der Infinitesimalrechnung
• Hessische Matrix  – (Mathematische) Matrix der zweiten Ableitungen
• Jacobi-Matrix
• Liste mathematischer Symbole nach Fachgebiet  – Wikipedia-Liste mathematischer Symbole nach Fachgebiet geordnet

Verweise

Externe Links

• Earlyiest Uses of Symbols of Calculus , gepflegt von Jeff Miller ( Archiviert 2020-07-26 ⁽ Datumskonflikt ⁾ an der Wayback Machine ).