Leibniz-Notation - Leibniz's notation

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716), deutscher Philosoph, Mathematiker und Namensgeber dieser weit verbreiteten mathematischen Notation in der Infinitesimalrechnung.

In Kalkül , Leibniz - Notation , benannt zu Ehren des 17. Jahrhunderts deutsche Philosoph und Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz , nutzt die Symbole dx und dy unendlich klein (oder repräsentieren unendlich ) Schritten von x und y jeweils nur als Δ x und Δ y repräsentieren endliche Inkremente von x bzw. y .

Betrachten Sie y als Funktion einer Variablen x oder y = f ( x ) . Ist dies der Fall, dann ist die Ableitung von y nach x , die später als Grenzwert angesehen wurde

${\displaystyle \lim _{\Updelta x\rightarrow 0}{\frac {\Updelta y}{\Updelta x}}=\lim_{\Updelta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Updelta x )-f(x)}{\Delta x}},}$

war nach Leibniz der Quotient aus einem infinitesimalen Inkrement von y durch ein infinitesimales Inkrement von x , oder

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

wobei die rechte Seite die Notation von Joseph-Louis Lagrange für die Ableitung von f bei x ist . Die infinitesimalen Inkremente werden Differentiale genannt . Damit verbunden ist das Integral, in dem die infinitesimalen Inkremente aufsummiert werden (zB um Längen, Flächen und Volumina als Summen von Kleinststücken zu berechnen), für das Leibniz auch eine eng verwandte Notation mit denselben Differentialen lieferte, deren Effizienz sich als entscheidend erwies die Entwicklung der kontinentaleuropäischen Mathematik.

Leibniz' Konzept der Infinitesimalen, das lange Zeit als zu ungenau galt, um als Grundlage der Infinitesimalrechnung verwendet zu werden, wurde schließlich durch rigorose Konzepte ersetzt, die von Weierstrass und anderen im 19. Jahrhundert entwickelt wurden. Folglich wurde die Quotientennotation von Leibniz umgedeutet, um für die Grenze der modernen Definition zu stehen. In vielen Fällen schien das Symbol jedoch wie ein tatsächlicher Quotient zu wirken, und seine Nützlichkeit hielt es selbst angesichts mehrerer konkurrierender Notationen populär. Im 20. Jahrhundert wurden mehrere verschiedene Formalismen entwickelt, die den Begriffen von Infinitesimalen und Infinitesimal-Verschiebungen eine strenge Bedeutung geben können, einschließlich der nicht standardmäßigen Analyse , des Tangentialraums , der O-Notation und anderer.

Die Ableitungen und Integrale der Infinitesimalrechnung lassen sich in die moderne Theorie der Differentialformen packen , in der die Ableitung tatsächlich ein Verhältnis zweier Differentiale ist und sich das Integral ebenfalls exakt nach Leibniz-Notation verhält. Dies erfordert jedoch, dass Ableitung und Integral zunächst auf andere Weise definiert werden, und drückt damit die Konsistenz und rechnerische Effizienz der Leibniz-Notation aus, anstatt sie neu zu begründen.

Geschichte

Der Newton-Leibniz-Ansatz zur Infinitesimalrechnung wurde im 17. Jahrhundert eingeführt. Während Newton gearbeitet fluxions und Fluenten, Leibniz seinen Ansatz auf Verallgemeinerungen von Summen und Differenzen. Leibniz war der erste, der das Zeichen verwendet. Er orientierte sich an dem lateinischen Wort summa („Summe“), das er ſumma mit dem damals in Deutschland gebräuchlichen länglichen s schrieb . Differenzen als die umgekehrte Operation der Summation betrachtend, benutzte er das Symbol d , den ersten Buchstaben der lateinischen differentia , um diese umgekehrte Operation anzuzeigen. Leibniz war wählerisch in der Notation; Jahre damit verbringen, zu experimentieren, sich anzupassen, abzulehnen und mit anderen Mathematikern darüber zu korrespondieren. Notationen, die er für das Differential von y verwendete, reichten nacheinander von ω , l und${\displaystyle \textstyle \int}$ ja/dbis er sich schließlich für dy entschieden hat . Sein integrales Zeichen erschien erstmals öffentlich in dem Artikel "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (Über eine verborgene Geometrie und Analyse von Unteilbaren und Unendlichen), der im Juni 1686 in Acta Eruditorum veröffentlicht wurde, aber er hatte es in privaten Manuskripten auf spätestens seit 1675. Leibniz verwendete dx erstmals in dem Artikel " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", der 1684 auch in Acta Eruditorum veröffentlicht wurde. Während das Symboldx/dyin Privathandschriften von 1675 auftaucht, erscheint es in dieser Form in keinem der oben genannten veröffentlichten Werke. Leibniz verwendete jedoch im Druck Formen wie dy ad dx und dy  : dx .

Englische Mathematiker waren bis 1803 von Newtons Punktnotation belastet, als Robert Woodhouse eine Beschreibung der kontinentalen Notation veröffentlichte. Später förderte die Analytical Society an der Cambridge University die Übernahme der Leibniz-Notation.

Ende des 19. Jahrhunderts nahmen die Anhänger von Weierstrass die Leibnizsche Notation für Ableitungen und Integrale nicht mehr wörtlich. Das heißt, Mathematiker waren der Meinung, dass das Konzept der Infinitesimalen in seiner Entwicklung logische Widersprüche enthielt. Eine Reihe von Mathematikern des 19. Jahrhunderts (Weierstrass und andere) fanden logisch rigorose Wege, um Ableitungen und Integrale ohne Infinitesimale unter Verwendung von Grenzen wie oben gezeigt zu behandeln, während Cauchy sowohl Infinitesimalen als auch Grenzen ausnutzte (siehe Cours d'Analyse ). Dennoch ist die Notation von Leibniz noch allgemein gebräuchlich. Obwohl die Notation nicht wörtlich genommen werden muss, ist sie normalerweise einfacher als Alternativen, wenn die Technik der Trennung von Variablen bei der Lösung von Differentialgleichungen verwendet wird. Bei physischen Anwendungen, kann man beispielsweise bezüglich f ( x ) , wie in Metern pro Sekunde gemessen wird , und d x in Sekunden, so daß f ( x ) d x in Metern, und so der Wert des bestimmten Integrals ist. Damit steht die Leibniz-Notation im Einklang mit der Dimensionsanalyse .

Leibniz-Notation zur Differenzierung

Angenommen, eine abhängige Variable y repräsentiert eine Funktion f einer unabhängigen Variablen x , d. h.

${\displaystyle y=f(x).}$

Dann kann die Ableitung der Funktion f in der Leibnizschen Notation für die Differentiation geschrieben werden als

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ oder }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ oder }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr)}}{dx}}.}$

Der Leibniz-Ausdruck, manchmal auch dy / dx geschrieben , ist eine von mehreren Notationen, die für Ableitungen und abgeleitete Funktionen verwendet werden. Eine gängige Alternative ist die Notation von Lagrange

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

Eine andere Alternative ist die Newtonsche Notation , die häufig für Ableitungen nach der Zeit verwendet wird (wie Geschwindigkeit ), bei der ein Punkt über der abhängigen Variablen (in diesem Fall x ) platziert werden muss:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

Die " Prime "-Notation von Lagrange ist besonders nützlich bei Diskussionen über abgeleitete Funktionen und hat den Vorteil, dass sie den Wert der abgeleiteten Funktion auf natürliche Weise bei einem bestimmten Wert angeben kann. Die Leibniz-Notation hat jedoch andere Tugenden, die sie im Laufe der Jahre populär gemacht haben.

In seiner modernen Interpretation ist der Ausdruck dy/dxsollte nicht als Division zweier Größen dx und dy gelesen werden (wie Leibniz es sich vorgestellt hatte); vielmehr sollte der gesamte Ausdruck als ein einzelnes Symbol angesehen werden, das eine Abkürzung für ist

${\displaystyle \lim _{\Updelta x\to 0}{\frac {\Updelta y}{\Updelta x}}}$

(beachte Δ vs. d , wobei Δ eine endliche Differenz anzeigt).

Der Ausdruck kann auch als Anwendung des Differentialoperators d/dx(wieder ein einzelnes Symbol) zu y , betrachtet als Funktion von x . Dieser Operator wird in der Eulerschen Notation D geschrieben . Leibniz hat diese Form nicht verwendet, aber seine Verwendung des Symbols d entspricht ziemlich genau diesem modernen Konzept.

Obwohl die Notation keine Division impliziert, ist die Divisions-ähnliche Notation nützlich, da sich der Ableitungsoperator in vielen Situationen wie eine Division verhält, wodurch einige Ergebnisse über Ableitungen leicht zu erhalten und zu merken sind. Diese Notation verdankt ihre Langlebigkeit der Tatsache, dass sie den Kern der geometrischen und mechanischen Anwendungen der Infinitesimalrechnung zu erreichen scheint.

Leibniz-Notation für höhere Ableitungen

Falls y = f ( x ) , ist die n- te Ableitung von f in der Leibniz-Notation gegeben durch

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Diese Notation für die zweite Ableitung erhält man mitd/dx als Operator auf folgende Weise,

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \Recht).}$

Eine dritte Ableitung, die geschrieben werden könnte als

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,}$

kann bezogen werden bei

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y }{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\rechts)\rechts).}$

In ähnlicher Weise können die höheren Derivate induktiv erhalten werden.

Während es mit sorgfältig gewählten Definitionen möglich ist, dy/dxals Quotient von Differentialen sollte dies bei den Formen höherer Ordnung nicht geschehen.

Diese Notation wurde jedoch von Leibniz nicht verwendet. Im Druck verwendete er weder mehrstufige Notation noch numerische Exponenten (vor 1695). Um zum Beispiel x ³ zu schreiben , würde er xxx schreiben , wie es zu seiner Zeit üblich war. Das Quadrat eines Differentials, wie es beispielsweise in einer Bogenlängenformel erscheinen könnte , wurde als dxdx geschrieben . Leibniz benutzte jedoch seine d- Notation, wie wir heute Operatoren verwenden würden, nämlich eine zweite Ableitung als ddy und eine dritte Ableitung als dddy zu schreiben . Im Jahr 1695 begann Leibniz zu schreiben d ² ⋅ x und d ³ ⋅ x für ddx und dddx jeweils, aber l'Hôpital in seinem Lehrbuch über Kalkül etwa zur gleichen Zeit geschrieben, verwendete Leibniz Urformen.

Verwendung in verschiedenen Formeln

Ein Grund dafür, dass Leibniz' Notationen in der Infinitesimalrechnung so lange Bestand haben, liegt darin, dass sie das einfache Abrufen der geeigneten Formeln für die Differentiation und Integration ermöglichen. Zum Beispiel die Kettenregel – angenommen, dass die Funktion g bei x differenzierbar ist und y = f ( u ) bei u = g ( x ) differenzierbar ist . Dann ist die zusammengesetzte Funktion y = f ( g ( x )) an x differenzierbar und ihre Ableitung kann in Leibniz-Notation ausgedrückt werden als:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Dies kann verallgemeinert werden, um die Zusammensetzungen mehrerer geeignet definierter und verwandter Funktionen zu behandeln, u ₁ , u ₂ , ..., u _n und würde ausgedrückt als:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

Die Integration durch Substitutionsformel kann auch ausgedrückt werden durch

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

wobei x als Funktion einer neuen Variablen u gedacht wird und die Funktion y links durch x ausgedrückt wird, während sie rechts durch u ausgedrückt wird .

Wenn y = f ( x ) wobei f eine differenzierbare Funktion ist , die invertierbar ist , kann die Ableitung der inversen Funktion, wenn sie existiert, gegeben werden durch

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

wobei die Klammern hinzugefügt werden, um die Tatsache hervorzuheben, dass die Ableitung kein Bruch ist.

Beim Lösen von Differentialgleichungen kann man sich jedoch leicht dy s und dx s als trennbar vorstellen. Eine der einfachsten Arten von Differentialgleichungen ist

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

wobei M und N stetige Funktionen sind. Das (implizite) Lösen einer solchen Gleichung kann durchgeführt werden, indem die Gleichung in ihrer Differentialform untersucht wird.

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

und integrieren, um zu erhalten

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

Wenn möglich, eine Differentialgleichung in diese Form umzuschreiben und das obige Argument anzuwenden, ist als Methode der Trennung von Variablen zum Lösen solcher Gleichungen bekannt.

In jedem dieser Fälle scheint sich die Leibniz-Notation für eine Ableitung wie ein Bruch zu verhalten, obwohl sie in ihrer modernen Interpretation keine ist.

Moderne Rechtfertigung von Infinitesimals

In den 1960er Jahren, aufbauend auf frühere Arbeiten von Edwin Hewitt und Jerzy Łoś , Abraham Robinson entwickelte mathematische Erklärungen für infinitesimals Leibniz , die von heutigen Standards der Strenge akzeptabel waren, und entwickelte Nicht - Standard - Analyse auf der Grundlage dieser Ideen. Robinsons Methoden werden nur von einer Minderheit der Mathematiker verwendet. Jerome Keisler schrieb ein Lehrbuch der Infinitesimalrechnung, Elementary calculus: an infinitesimal approach , basierend auf Robinsons Ansatz.

Aus Sicht der modernen infinitesimalen Theorie ist Δ x ein infinitesimales x -Inkrement, Δ y ist das entsprechende y -Inkrement und die Ableitung ist der Standardteil des infinitesimalen Verhältnisses:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg)}}$.

Dann setzt man , , so daß per Definition ist das Verhältnis von Dy durch dx . ${\displaystyle dx=\Delta x}$${\displaystyle dy=f'(x)dx}$${\displaystyle f'(x)}$

In ähnlicher Weise betrachten die meisten Mathematiker jetzt ein Integral

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

als Grenze

${\displaystyle \lim_{\Updelta x\rightarrow 0}\sum_{i}f(x_{i})\,\Updelta x,}$

wobei Δ x ein Intervall ist, das x _{i enthält} , betrachtete Leibniz es als die Summe (das Integralzeichen bezeichnete für ihn die Summe) von unendlich vielen infinitesimalen Größen f ( x )  dx . Aus der Sicht der Nichtstandardanalyse ist es richtig, das Integral als den Standardteil einer solchen unendlichen Summe zu betrachten.

Der Kompromiss, der erforderlich ist, um die Genauigkeit dieser Konzepte zu erreichen, besteht darin, dass die Menge der reellen Zahlen auf die Menge der hyperrealen Zahlen erweitert werden muss .

Andere Notationen von Leibniz

Leibniz experimentierte mit vielen verschiedenen Notationen in verschiedenen Bereichen der Mathematik. Er war der Meinung, dass eine gute Notation von grundlegender Bedeutung für das Streben nach Mathematik ist. In einem Brief an l'Hôpital 1693 sagt er:

Eines der Geheimnisse der Analyse besteht in der Charakteristik, das heißt in der Kunst des geschickten Einsatzes der verfügbaren Zeichen, und Sie werden, Herr, an der kleinen Einschließung [über die Determinanten] bemerken, dass Vieta und Descartes nicht alle Mysterien gekannt haben .

Im Laufe der Zeit verfeinerte er seine Kriterien für eine gute Notation und erkannte den Wert der "Annahme von Symboliken, die wie gewöhnliche Schrift in einer Zeile aufgestellt werden konnten, ohne die Abstände zwischen den Zeilen zu erweitern, um Platz für Symbole mit weitläufigen Teilen zu schaffen". In seinen frühen Werken verwendete er beispielsweise häufig ein Vinculum , um die Gruppierung von Symbolen anzuzeigen, aber später führte er die Idee ein, zu diesem Zweck Klammerpaare zu verwenden, um so die Setzer zu besänftigen, die die Abstände zwischen den Zeilen auf einer Seite nicht mehr vergrößern mussten und die Seiten attraktiver aussehen zu lassen.

Viele der über 200 von Leibniz eingeführten neuen Symbole sind noch heute in Gebrauch. Neben den bereits erwähnten Differentialen dx , dy und dem Integralzeichen ( ∫ ) führte er auch den Doppelpunkt (:) für die Division, den Punkt (⋅) für die Multiplikation, die geometrischen Zeichen für ähnlich (~) und Kongruenz (≅) ein, die Verwendung des Gleichheitszeichens (=) von Recorde für Proportionen (ersetzt die ::- Notation von Oughtred ) und die Doppel-Suffix-Notation für Determinanten.

Siehe auch

• Newtons Notation
• Leibniz-Newton-Kalkül-Kontroverse

Anmerkungen

Verweise

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2010), Infinitesimalrechnung / Frühe Transzendentalen / Einzelvariable , Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
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• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber und Schmidt, ISBN 0-87150-341-7