Transzendentale Zahlentheorie - Transcendental number theory

Die Transzendentale Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie , der transzendentale Zahlen (Zahlen, die keine Lösungen einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten sind ) sowohl auf qualitative als auch auf quantitative Weise untersucht.

Transzendenz

Hauptartikel: Transzendentale Nummer

Der Grundsatz der Algebra besagt, dass wenn wir ein nicht konstantes Polynom mit rationalen Koeffizienten haben (oder äquivalent durch Löschen von Nennern mit ganzzahligen Koeffizienten), dieses Polynom eine Wurzel in den komplexen Zahlen hat . Das heißt, für jedes nicht konstante Polynom P mit rationalen Koeffizienten gibt es eine komplexe Zahl α, so dass P (α) = 0. Die Transzendenztheorie befasst sich mit der umgekehrten Frage: Gibt es bei einer komplexen Zahl α ein Polynom P mit rationale Koeffizienten, so dass P (α) = 0? Wenn kein solches Polynom existiert, wird die Zahl als transzendental bezeichnet.

Allgemeiner befasst sich die Theorie mit der algebraischen Unabhängigkeit von Zahlen. Eine Menge von Zahlen {α 1 , α 2 ,…, α n } wird über ein Feld K als algebraisch unabhängig bezeichnet, wenn in n Variablen mit Koeffizienten in K kein Polynom P ungleich Null vorhanden ist, so dass P (α 1 , α 2 , …, N n ) = 0. Es ist also wirklich ein Sonderfall der algebraischen Unabhängigkeit, herauszufinden, ob eine gegebene Zahl transzendent ist, wobei n  = 1 und das Feld K das Feld der rationalen Zahlen ist .

Eine verwandte Vorstellung ist, ob es einen Ausdruck in geschlossener Form für eine Zahl gibt, einschließlich Exponentialen und Logarithmen sowie algebraischen Operationen. Es gibt verschiedene Definitionen von "geschlossener Form", und Fragen zur geschlossenen Form können oft auf Fragen zur Transzendenz reduziert werden.

Geschichte

Annäherung durch rationale Zahlen: Liouville an Roth

Die Verwendung des Begriffs transzendental für ein nicht algebraisches Objekt stammt aus dem 17. Jahrhundert, als Gottfried Leibniz bewies, dass die Sinusfunktion keine algebraische Funktion war . Die Frage, ob bestimmte Klassen von Zahlen transzendentalen könnte Daten bis 1748 zurück , als Euler behauptet , dass die Zahl log a b war nicht algebraische für rationale Zahlen a und b vorgesehen b ist nicht von der Form b  =  ein c für einige rationale c .

Eulers Behauptung wurde erst im 20. Jahrhundert bewiesen, aber fast hundert Jahre nach seiner Behauptung gelang es Joseph Liouville , die Existenz von Zahlen zu beweisen, die nicht algebraisch sind, was bis dahin nicht sicher bekannt war. Seine Originalarbeiten zu diesem Thema in den 1840er Jahren skizzierten Argumente unter Verwendung fortgesetzter Brüche , um transzendentale Zahlen zu konstruieren. Später, in den 1850er Jahren, gab er eine notwendige Bedingung für eine algebraische Zahl und damit eine ausreichende Bedingung für eine transzendentale Zahl an. Dieses Transzendenzkriterium war nicht stark genug, um auch notwendig zu sein, und es erkennt tatsächlich nicht, dass die Zahl e transzendent ist. Aber seine Arbeit lieferte eine größere Klasse von transzendentalen Zahlen, die ihm zu Ehren jetzt als Liouville-Zahlen bekannt sind .

Liouvilles Kriterium besagte im Wesentlichen, dass algebraische Zahlen durch rationale Zahlen nicht sehr gut angenähert werden können. Wenn also eine Zahl durch rationale Zahlen sehr gut angenähert werden kann, muss sie transzendent sein. Die genaue Bedeutung von "sehr gut angenähert" in Liouvilles Werk bezieht sich auf einen bestimmten Exponenten. Er zeigte, dass wenn α eine algebraische Zahl vom Grad d  ≥ 2 ist und ε eine Zahl größer als Null ist, dann der Ausdruck

kann durch nur endlich viele rationale Zahlen p / q erfüllt werden . Dies als Kriterium für die Transzendenz zu verwenden, ist nicht trivial, da man prüfen muss, ob es für jedes d  ≥ 2 unendlich viele Lösungen p / q gibt .

Im 20. Jahrhundert reduzierten Arbeiten von Axel Thue , Carl Siegel und Klaus Roth den Exponenten in Liouvilles Werk von d  + ε auf d / 2 + 1 + ε und schließlich 1955 auf 2 + ε. Dieses als Thue-Siegel-Roth-Theorem bekannte Ergebnis ist angeblich das bestmögliche, denn wenn der Exponent 2 + ε durch nur 2 ersetzt wird, ist das Ergebnis nicht mehr wahr. Allerdings Serge Lang mutmaßte eine Verbesserung von Roths Ergebnis; insbesondere vermutete er, dass q 2 + ε im Nenner der rechten Seite auf q 2  log ( q ) 1 + ε reduziert werden könnte .

Roths Arbeit beendete effektiv die von Liouville begonnene Arbeit, und sein Theorem ermöglichte es Mathematikern, die Transzendenz vieler weiterer Zahlen wie der Champernowne-Konstante zu beweisen . Der Satz ist jedoch immer noch nicht stark genug, um alle transzendentalen Zahlen zu erfassen , und viele berühmte Konstanten, einschließlich e und π, sind im obigen Sinne entweder nicht oder nicht sehr gut annähernd bekannt.

Hilfsfunktionen: Hermite to Baker

Glücklicherweise wurden im neunzehnten Jahrhundert andere Methoden entwickelt, um die algebraischen Eigenschaften von e und folglich von π durch Eulers Identität zu behandeln . Diese Arbeit konzentrierte sich auf die Verwendung der sogenannten Hilfsfunktion . Dies sind Funktionen, die an den betrachteten Punkten typischerweise viele Nullen haben. Hier können "viele Nullen" viele verschiedene Nullen bedeuten oder nur eine Null, aber mit einer hohen Multiplizität , oder sogar viele Nullen, alle mit einer hohen Multiplizität. Charles Hermite verwendete Hilfsfunktionen, die die Funktionen e kx für jede natürliche Zahl k approximierten, um die Transzendenz von e im Jahr 1873 zu beweisen . Seine Arbeit wurde in den 1880er Jahren von Ferdinand von Lindemann aufgebaut, um zu beweisen, dass e α für ungleich Null transzendent ist algebraische Zahlen α. Dies bewies insbesondere, dass π transzendent ist, da e π i algebraisch ist, und verneinte damit das Problem der Antike , ob es möglich war, den Kreis zu quadrieren . Karl Weierstrass entwickelte seine Arbeit weiter und bewies schließlich 1885 das Lindemann-Weierstrass-Theorem .

Im Jahr 1900 stellte David Hilbert seine berühmte Sammlung von Problemen . Die siebte davon , und einer der härtesten in Hilberts Einschätzung, fragten nach der Transzendenz von Zahlen der Form a b , wo a und b algebraische sind, ein nicht Null oder Eins, und b ist irrational . In den 1930er Jahren bewiesen Alexander Gelfond und Theodor Schneider , dass alle diese Zahlen tatsächlich transzendent waren, indem sie eine nicht explizite Hilfsfunktion verwendeten, deren Existenz durch Siegels Lemma gewährt wurde . Dieses Ergebnis, das Gelfond-Schneider-Theorem , bewies die Transzendenz von Zahlen wie e π und der Gelfond-Schneider-Konstante .

Das nächste große Ergebnis auf diesem Gebiet war in den 1960er Jahren zu verzeichnen, als Alan Baker Fortschritte bei einem Problem machte, das Gelfond bei linearen Formen in Logarithmen stellte . Gelfond selbst hatte es geschafft, eine nicht triviale Untergrenze für die Menge zu finden

wo alle vier Unbekannten algebraisch sind, wobei die αs weder Null noch Eins sind und die βs irrational sind. Das Finden ähnlicher Untergrenzen für die Summe von drei oder mehr Logarithmen war Gelfond jedoch entgangen. Der Beweis von Bakers Theorem enthielt solche Grenzen und löste damit das Gaußsche Klassennummernproblem für die erste Klassennummer . Diese Arbeit gewann die Baker the Fields-Medaille für ihre Verwendung bei der Lösung diophantinischer Gleichungen . Aus rein transzendentaler Zahlentheorie hatte Baker bewiesen, dass wenn α 1 , ..., α n algebraische Zahlen sind, keine von ihnen Null oder Eins ist und β 1 , ..., β n algebraische Zahlen sind, so dass 1, β 1 , ..., β n sind linear unabhängig von den rationalen Zahlen, dann der Zahl

ist transzendent.

Andere Techniken: Cantor und Zilber

In den 1870er Jahren begann Georg Cantor mit der Entwicklung der Mengenlehre und veröffentlichte 1874 ein Papier, in dem bewiesen wurde, dass die algebraischen Zahlen eins zu eins mit der Menge der natürlichen Zahlen korrespondieren können und dass die Menge der transzendentalen Zahlen dies muss sein unzählbar . Später, im Jahr 1891, verwendete Cantor sein bekannteres diagonales Argument , um das gleiche Ergebnis zu beweisen. Während Cantors Ergebnis oft als rein existenziell und daher für die Konstruktion einer einzelnen transzendentalen Zahl unbrauchbar zitiert wird, geben die Beweise in beiden oben genannten Arbeiten Methoden zur Konstruktion transzendentaler Zahlen an.

Während Cantor die Mengenlehre verwendete, um die Fülle transzendentaler Zahlen zu beweisen, war eine neuere Entwicklung die Verwendung der Modelltheorie bei Versuchen, ein ungelöstes Problem in der transzendentalen Zahlentheorie zu beweisen . Das Problem besteht darin, den Transzendenzgrad des Feldes zu bestimmen

für komplexe Zahlen x 1 , ..., x n , die linear unabhängig von den rationalen Zahlen sind. Stephen Schanuel vermutete, dass die Antwort mindestens n ist , aber kein Beweis bekannt ist. Im Jahr 2004 veröffentlichte Boris Zilber jedoch einen Artikel, in dem modelltheoretische Techniken verwendet wurden, um eine Struktur zu erstellen, die sich sehr ähnlich wie die komplexen Zahlen verhält, die mit den Operationen Addition, Multiplikation und Exponentiation ausgestattet sind. Darüber hinaus gilt in dieser abstrakten Struktur Schanuels Vermutung tatsächlich. Leider ist noch nicht bekannt, dass diese Struktur tatsächlich mit den komplexen Zahlen mit den genannten Operationen identisch ist; Es könnte eine andere abstrakte Struktur geben, die sich den komplexen Zahlen sehr ähnlich verhält, in der Schanuels Vermutung jedoch nicht zutrifft. Zilber lieferte mehrere Kriterien, die beweisen würden, dass die fragliche Struktur C war, konnte jedoch das sogenannte Axiom des starken exponentiellen Verschlusses nicht beweisen. Der einfachste Fall dieses Axioms wurde inzwischen bewiesen, aber ein Beweis, dass es in vollem Umfang gilt, ist erforderlich, um den Beweis der Vermutung zu vervollständigen.

Ansätze

Ein typisches Problem in diesem Bereich der Mathematik besteht darin, herauszufinden, ob eine bestimmte Zahl transzendent ist. Cantor verwendete ein Kardinalitätsargument , um zu zeigen, dass es nur zählbar viele algebraische Zahlen gibt und daher fast alle Zahlen transzendent sind. Transzendentale Zahlen stellen daher den typischen Fall dar; Trotzdem kann es äußerst schwierig sein zu beweisen, dass eine bestimmte Zahl transzendent (oder einfach nur irrational) ist.

Aus diesem Grund arbeitet die Transzendenztheorie häufig auf einen quantitativeren Ansatz hin. Bei einer bestimmten komplexen Zahl α kann man sich also fragen, wie nahe α an einer algebraischen Zahl liegt. Wenn man zum Beispiel annimmt, dass die Zahl α algebraisch ist, kann man dann zeigen, dass sie einen sehr hohen Grad oder ein minimales Polynom mit sehr großen Koeffizienten haben muss? Wenn letztendlich gezeigt werden kann, dass kein endlicher Grad oder keine endliche Größe des Koeffizienten ausreicht, muss die Zahl transzendent sein. Da eine Zahl α genau dann transzendent ist, wenn P (α) ≠ 0 für jedes Nicht-Null-Polynom P mit ganzzahligen Koeffizienten ist, kann dieses Problem angegangen werden, indem versucht wird, untere Grenzen der Form zu finden

wobei die rechte Seite eine positive Funktion ist, die von einem Maß A der Größe der Koeffizienten von P und seinem Grad d abhängt und so, dass diese unteren Grenzen für alle P ≠ 0 gelten. Eine solche Grenze wird als Transzendenzmaß bezeichnet .

Der Fall von d  = 1 ist der der "klassischen" diophantinischen Approximation , bei der nach unteren Grenzen für gefragt wird

.

Die Methoden der Transzendenztheorie und der diophantinischen Approximation haben vieles gemeinsam: Beide verwenden das Hilfsfunktionskonzept .

Wichtige Ergebnisse

Das Gelfond-Schneider-Theorem war der größte Fortschritt in der Transzendenztheorie in der Zeit von 1900 bis 1950. In den 1960er Jahren die Methode des Alan Baker auf lineare Formen in Logarithmen der algebraischen Zahlen reanimiert Transzendenz Theorie, mit Anwendungen in zahlreichen klassischen Problemen und diophantische Gleichungen .

Mahlers Klassifikation

Kurt Mahler teilte 1932 die transzendentalen Zahlen in drei Klassen ein, die S , T und U genannt wurden . Die Definition dieser Klassen stützt sich auf eine Erweiterung der Idee einer Liouville-Zahl (oben zitiert).

Maß für die Irrationalität einer reellen Zahl

Eine Möglichkeit, eine Liouville-Zahl zu definieren, besteht darin, zu berücksichtigen, wie klein eine gegebene reelle Zahl x lineare Polynome bildet qx  -  p | ohne sie genau 0 zu machen. Hier sind p , q ganze Zahlen mit | p |, | q | durch eine positive ganze Zahl begrenzt  H .

Sei m ( x , 1,  H ) der minimale Absolutwert ungleich Null, den diese Polynome annehmen und annehmen:

ω ( x , 1) wird oft als Maß für die Irrationalität einer reellen Zahl  x bezeichnet . Für rationale Zahlen ist ω ( x , 1) = 0 und für irrationale reelle Zahlen mindestens 1. Eine Liouville-Zahl hat ein unendliches Maß an Irrationalität. Roths Theorem besagt, dass irrationale reelle algebraische Zahlen ein Maß für Irrationalität haben 1.

Maß für die Transzendenz einer komplexen Zahl

Als nächstes betrachten wir die Werte von Polynomen bei einer komplexen Zahl x , wenn diese Polynome ganzzahlige Koeffizienten, Grad höchstens n und Höhe höchstens H haben , wobei n , H positive ganze Zahlen sind.

Sei m ( x , n , H ) der minimale Absolutwert ungleich Null, den solche Polynome bei x nehmen und nehmen:

Angenommen, dies ist für eine minimale positive ganze Zahl n unendlich  . Eine komplexe Zahl x wird in diesem Fall als U-Zahl vom Grad  n bezeichnet .

Jetzt können wir definieren

ω ( x ) wird oft als Maß für die Transzendenz von  x bezeichnet . Wenn die ω ( x , n ) begrenzt sind, ist ω ( x ) endlich und x wird als S-Zahl bezeichnet . Wenn ω ( x , n ) endlich, aber unbegrenzt sind, wird x als T-Zahl bezeichnet . x  ist genau dann algebraisch, wenn ω ( x ) = 0 ist.

Die Liouville-Zahlen sind eindeutig eine Teilmenge der U-Zahlen. William LeVeque konstruierte 1953 U-Nummern jeden gewünschten Grades. Die Liouville-Zahlen und damit die U-Zahlen sind unzählige Mengen. Sie sind Maßmengen 0.

T-Zahlen umfassen auch einen Satz von Maß 0. Es dauerte ungefähr 35 Jahre, um ihre Existenz zu zeigen. Wolfgang M. Schmidt zeigte 1968, dass es Beispiele gibt. Doch fast alle komplexen Zahlen sind S - Nummern. Mahler hat bewiesen, dass die Exponentialfunktion alle algebraischen Zahlen ungleich Null an S-Zahlen sendet: Dies zeigt, dass e eine S-Zahl ist und gibt einen Beweis für die Transzendenz von π . Es ist bekannt, dass diese Zahl π keine U-Zahl ist. Viele andere transzendentale Zahlen bleiben nicht klassifiziert.

Zwei Zahlen x , y genannt werden algebraisch abhängig , ob es ein nicht Null ist Polynom P in zwei indeterminates mit ganzzahligen Koeffizienten derart , daß P ( x ,  y ) = 0. Es ist ein leistungsfähiges Theorem , daß zwei komplexe Zahlen , die algebraisch abhängig sind , gehört in die gleiche Mahler-Klasse. Dies ermöglicht die Konstruktion neuer transzendentaler Zahlen, beispielsweise der Summe einer Liouville-Zahl mit e oder  π .

Das Symbol S stand wahrscheinlich für den Namen von Mahlers Lehrer Carl Ludwig Siegel , und T und U sind nur die nächsten beiden Buchstaben.

Koksmas äquivalente Klassifikation

Jurjen Koksma schlug 1939 eine andere Klassifikation vor, die auf der Approximation durch algebraische Zahlen basiert.

Betrachten wir die Näherung einer komplexen Zahl x von algebraischen Zahlen vom Grad ≤  n und Höhe ≤  H . Sei α eine algebraische Zahl dieser endlichen Menge, so dass | x  - α | hat den minimalen positiven Wert. Definieren Sie ω * ( x , H , n ) und ω * ( x , n ) durch:

Wenn für eine kleinste positive ganze Zahl n ω * ( x , n ) unendlich ist, wird x als U * -Nummer vom Grad  n bezeichnet .

Wenn die ω * ( x , n ) begrenzt sind und nicht gegen 0 konvergieren, wird x als S * -Nummer bezeichnet .

Eine Zahl x heißt A * -Nummer, wenn ω * ( x , n ) gegen 0 konvergiert.

Wenn die ω * ( x , n ) sind endlich , aber unbegrenzt, x a genannt T * -Nummer ,

Koksmas und Mahlers Klassifikationen sind insofern gleichwertig, als sie die transzendentalen Zahlen in dieselben Klassen unterteilen. Die A * -Nummern sind die algebraischen Zahlen.

LeVeques Bau

Lassen

Es kann gezeigt werden, dass die n- te Wurzel von λ (eine Liouville-Zahl) eine U-Zahl vom Grad n ist .

Diese Konstruktion kann verbessert werden, um eine unzählige Familie von U-Zahlen des Grades n zu schaffen . Sei Z die Menge, die aus jeder anderen Potenz von 10 in der obigen Reihe für λ besteht. Die Menge aller Teilmengen von Z ist unzählig. Das Löschen einer der Teilmengen von Z aus der Reihe für λ erzeugt unzählige verschiedene Liouville-Zahlen, deren n- te Wurzeln U-Zahlen vom Grad n sind .

Art

Das Supremum der Folge {ω ( x ,  n )} heißt Typ . Fast alle reellen Zahlen sind S-Zahlen vom Typ 1, was für reelle S-Zahlen minimal ist. Fast alle komplexen Zahlen sind S-Zahlen vom Typ 1/2, was ebenfalls minimal ist. Die Behauptungen fast aller Zahlen wurden von Mahler vermutet und 1965 von Vladimir Sprindzhuk bewiesen.

Offene Probleme

Während das Gelfond-Schneider-Theorem bewies, dass eine große Klasse von Zahlen transzendent war, war diese Klasse immer noch zählbar. Viele bekannte mathematische Konstanten sind immer noch nicht als transzendent bekannt, und in einigen Fällen ist nicht einmal bekannt, ob sie rational oder irrational sind. Eine unvollständige Liste finden Sie hier .

Ein Hauptproblem in der Transzendenztheorie besteht darin, zu zeigen, dass ein bestimmter Satz von Zahlen algebraisch unabhängig ist, anstatt nur zu zeigen, dass einzelne Elemente transzendent sind. Während wir also wissen, dass e und π transzendent sind, bedeutet dies nicht, dass e  +  π transzendental ist, noch andere Kombinationen der beiden (außer e π , Gelfonds Konstante , von der bekannt ist, dass sie transzendent ist). Ein weiteres großes Problem ist der Umgang mit Zahlen, die nicht mit der Exponentialfunktion zusammenhängen. Die Hauptergebnisse in der Transzendenztheorie drehen sich in der Regel um e und die Logarithmusfunktion, was bedeutet, dass völlig neue Methoden erforderlich sind, um mit Zahlen umzugehen, die nicht elementar in diesen beiden Objekten ausgedrückt werden können.

Schanuels Vermutung würde das erste dieser Probleme etwas lösen, da es sich um algebraische Unabhängigkeit handelt, und würde tatsächlich bestätigen, dass e + π transzendent ist. Es dreht sich jedoch immer noch um die Exponentialfunktion und würde sich daher nicht unbedingt mit Zahlen wie der Apéry-Konstante oder der Euler-Mascheroni-Konstante befassen . Ein weiteres äußerst schwieriges ungelöstes Problem ist das sogenannte Konstanten- oder Identitätsproblem .

Anmerkungen

Verweise

Weiterführende Literatur