Prinzip der Bivalenz - Principle of bivalence

"Bivalenz" leitet hier weiter. Für andere Verwendungen siehe Bivalent (Begriffsklärung) .

In der Logik besagt das semantische Prinzip (oder Gesetz ) der Bivalenz , dass jeder Aussagesatz, der eine Aussage (einer zu untersuchenden Theorie) ausdrückt , genau einen Wahrheitswert hat , entweder wahr oder falsch . Eine Logik, die dieses Prinzip erfüllt, wird als zweiwertige Logik oder bivalente Logik bezeichnet .

In der formalen Logik wird das Prinzip der Bivalenz zu einer Eigenschaft, die eine Semantik besitzen kann oder nicht. Es ist jedoch nicht dasselbe wie das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte , und eine Semantik kann diesem Gesetz genügen, ohne bivalent zu sein.

Das Prinzip der Bivalenz wird in der philosophischen Logik untersucht , um die Frage zu beantworten, welche natürlichsprachlichen Aussagen einen wohldefinierten Wahrheitswert haben. Sätze, die Ereignisse in der Zukunft vorhersagen, und Sätze, die interpretierbar erscheinen, sind besonders schwierig für Philosophen, die davon ausgehen, dass das Prinzip der Bivalenz für alle deklarativen natürlichsprachlichen Aussagen gilt. Vielwertige Logiken formalisieren Vorstellungen, dass eine realistische Charakterisierung des Konsequenzbegriffs die Zulässigkeit von Prämissen voraussetzt, die aufgrund von Vagheit, zeitlicher oder Quantenunbestimmtheit oder Referenzfehler nicht als klassisch bivalent angesehen werden können. Referenzfehler können auch durch freie Logiken adressiert werden .

Verhältnis zum Gesetz der ausgeschlossenen Mitte

Das Prinzip der Bivalenz hängt mit dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte zusammen, obwohl letzteres ein syntaktischer Ausdruck der Sprache einer Logik der Form "P ¬P" ist. Der Unterschied zwischen dem Prinzip der Bivalenz und dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ist wichtig, weil es Logiken gibt, die das Gesetz bestätigen, aber nicht das Prinzip. Zum Beispiel validiert die dreiwertige Logic of Paradox (LP) das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, aber nicht das Gesetz der Widerspruchsfreiheit ¬(P ¬P), und ihre beabsichtigte Semantik ist nicht bivalent. In der klassischen zweiwertigen Logik gelten sowohl das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte als auch das Gesetz der Widerspruchsfreiheit .

Viele moderne Logikprogrammiersysteme ersetzen das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte durch das Konzept der Negation als Versagen . Der Programmierer möchte möglicherweise das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte hinzufügen, indem er es ausdrücklich als wahr behauptet; es wird jedoch nicht a priori vorausgesetzt .

Klassische Logik

Die beabsichtigte Semantik der klassischen Logik ist bivalent, dies gilt jedoch nicht für jede Semantik der klassischen Logik. In der booleschen Semantik (für die klassische Aussagenlogik ) sind die Wahrheitswerte die Elemente einer beliebigen Booleschen Algebra , "wahr" entspricht dem maximalen Element der Algebra und "falsch" entspricht dem minimalen Element. Zwischenelemente der Algebra entsprechen anderen Wahrheitswerten als "wahr" und "falsch". Das Prinzip der Bivalenz gilt nur, wenn die Boolesche Algebra als Zwei-Elemente-Algebra betrachtet wird , die keine Zwischenelemente hat.

Die Zuweisung einer Booleschen Semantik zur klassischen Prädikatenrechnung erfordert, dass das Modell eine vollständige Boolesche Algebra ist, da der universelle Quantor auf die Infimum- Operation und der existenzielle Quantor auf das Supremum abgebildet wird ; Dies wird als boolesches Modell bezeichnet . Alle endlichen Booleschen Algebren sind vollständig.

Suszkos Abschlussarbeit

Um seine Behauptung zu rechtfertigen, dass wahr und falsch die einzigen logischen Werte sind, bemerkt Roman Suszko (1977), dass jede strukturelle Tarskische vielwertige Aussagenlogik mit einer bivalenten Semantik versehen werden kann.

Kritikpunkte

Zukünftige Kontingente

Hauptartikel: Problem der zukünftigen Kontingente

Ein berühmtes Beispiel ist der Fall einer kontingenten Seeschlacht , der in Aristoteles ' Werk De Interpretatione , Kapitel 9 zu finden ist:

Imagine P bezieht sich auf die Aussage "Morgen wird es eine Seeschlacht geben."

Das Prinzip der Bivalenz besagt hier:

Entweder ist es wahr, dass es morgen eine Seeschlacht geben wird, oder es ist falsch, dass es morgen eine Seeschlacht geben wird.

Aristoteles bestreitet, für solche zukünftigen Kontingente Bivalenz zu akzeptieren; Chrysippus , der stoische Logiker, hat für diese und alle anderen Aussagen die Bivalenz angenommen. Die Kontroverse ist nach wie vor von zentraler Bedeutung sowohl in der Philosophie der Zeit als auch in der Philosophie der Logik .

Eine der frühen Motivationen für das Studium der vielwertigen Logik war genau diese Frage. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts schlug der polnische Formallogiker Jan ukasiewicz drei Wahrheitswerte vor: den wahren, den falschen und den noch unbestimmten . Dieser Ansatz wurde später von Arend Heyting und LEJ Brouwer entwickelt ; siehe ukasiewicz-Logik .

Fragen wie diese wurden auch in verschiedenen Zeitlogiken angesprochen , wo man behaupten kann, dass " egal ob es morgen eine Seeschlacht geben wird oder nicht." (Was wahr ist, wenn "morgen" irgendwann eintritt.)

Vagheit

Rätsel wie das Sorites-Paradoxon und der damit verbundene Kontinuumsfehler haben Zweifel an der Anwendbarkeit der klassischen Logik und des Bivalenzprinzips auf Konzepte aufkommen lassen, deren Anwendung vage sein mag. Fuzzy-Logik und einige andere mehrwertige Logiken wurden als Alternativen vorgeschlagen, die mit vagen Konzepten besser umgehen. Wahrheit (und Falschheit) in der Fuzzy-Logik zum Beispiel gibt es in unterschiedlichem Ausmaß. Betrachten Sie die folgende Aussage beim Sortieren von Äpfeln auf einem Laufband:

Dieser Apfel ist rot.

Bei der Beobachtung ist der Apfel eine unbestimmte Farbe zwischen Gelb und Rot, oder er ist in beiden Farben gesprenkelt. Somit fällt die Farbe weder in die Kategorie "Rot" noch in "Gelb", sondern sind die einzigen Kategorien, die uns beim Sortieren der Äpfel zur Verfügung stehen. Wir könnten sagen, es ist "50% rot". Dies könnte umformuliert werden: Es stimmt zu 50%, dass der Apfel rot ist. Daher ist P zu 50 % wahr und zu 50 % falsch. Überlege nun:

Dieser Apfel ist rot und er ist nicht rot.

Mit anderen Worten, P und nicht-P. Dies verstößt gegen das Gesetz der Widerspruchsfreiheit und damit auch gegen die Bivalenz. Dies ist jedoch nur eine teilweise Ablehnung dieser Gesetze, da P nur teilweise wahr ist. Wenn P 100 % wahr wäre, wäre not-P 100 % falsch, und es besteht kein Widerspruch, da P und not-P nicht mehr gelten.

Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte wird jedoch beibehalten, denn P und nicht-P impliziert P oder nicht-P, da "oder" einschließend ist. Die einzigen beiden Fälle, in denen P und nicht-P falsch sind (wenn P zu 100 % wahr oder falsch ist), sind die gleichen Fälle, die von der zweiwertigen Logik betrachtet werden, und es gelten die gleichen Regeln.

Beispiel für eine 3-wertige Logik, die auf vage (unbestimmte) Fälle angewendet wird : Kleene 1952 (§64, S. 332–340) bietet eine 3-wertige Logik für die Fälle, in denen Algorithmen mit partiellen rekursiven Funktionen möglicherweise keine Werte zurückgeben, sondern enden mit den Umständen "u" = unentschieden. Er lässt "t" = "wahr", "f" = "falsch", "u" = "unentschieden" und entwirft alle propositionalen Verknüpfungen neu. Er stellt fest, dass:

Wir waren intuitionistisch berechtigt, die klassische 2-wertige Logik zu verwenden, als wir die Konnektoren beim Aufbau primitiver und allgemein rekursiver Prädikate verwendeten, da es für jedes allgemeine rekursive Prädikat ein Entscheidungsverfahren gibt; dh das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte wird intuitionistisch bewiesen, dass es auf allgemeine rekursive Prädikate anwendbar ist.

Wenn nun Q(x) ein partiell rekursives Prädikat ist, gibt es ein Entscheidungsverfahren für Q(x) über seinen Definitionsbereich, also das Gesetz des ausgeschlossenen mittleren oder ausgeschlossenen "Dritten" (dh Q(x) ist entweder t oder f) gilt intuitiv auf den Definitionsbereich. Es kann jedoch keinen Algorithmus geben, um bei gegebenem x zu entscheiden, ob Q(x) definiert ist oder nicht. [...] Daher haben wir nur klassisch und nicht intuitiv ein Gesetz der ausgeschlossenen Quarte (das besagt, dass für jedes x Q(x) entweder t, f oder u ist).

Der dritte „Wahrheitswert“ u ist also in unserer Theorie den anderen beiden t und f nicht ebenbürtig. Die Betrachtung ihres Status wird zeigen, dass wir uns auf eine besondere Art von Wahrheitstafel beschränken."

Das Folgende sind seine "starken Tabellen":

~Q QVR R T F du Fragen und Antworten R T F du Q→R R T F du Q=R R T F du
Q T F Q T T T T Q T T F du Q T T F du Q T T F du
F T F T F du F F F F F T T T F F T du
du du du T du du du du F du du T du du du du du du

Kann beispielsweise nicht festgestellt werden, ob ein Apfel rot oder nicht rot ist, dann ist der Wahrheitswert der Aussage Q: „Dieser Apfel ist rot“ „u“. Ebenso ist der Wahrheitswert der Aussage R „Dieser Apfel ist nicht-rot“ „u“. Somit ergibt das UND dieser in die Aussage Q UND R, dh "Dieser Apfel ist rot UND dieser Apfel ist nicht-rot" laut Tabellen "u". Und die Aussage Q ODER R, dh "Dieser Apfel ist rot ODER dieser Apfel ist nicht-rot" ergibt ebenfalls "u".

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Externe Links