Wiener-Khinchin-Theorem - Wiener–Khinchin theorem

In der angewandten Mathematik besagt das Wiener-Khinchin-Theorem , auch bekannt als Wiener-Khintchine-Theorem und manchmal als Wiener-Khinchin-Einstein-Theorem oder Khinchin-Kolmogorov-Theorem , dass die Autokorrelationsfunktion eines stationären Zufallsprozesses mit weitem Sinn hat eine spektrale Zerlegung, die durch das Leistungsspektrum dieses Prozesses gegeben ist.

Geschichte

Norbert Wiener hat diesen Satz 1930 für den Fall einer deterministischen Funktion bewiesen ; Aleksandr Khinchin formulierte später ein analoges Ergebnis für stationäre stochastische Prozesse und veröffentlichte dieses probabilistische Analogon 1934. Albert Einstein erklärte die Idee 1914 ohne Beweise in einem kurzen zweiseitigen Memo.

Der Fall eines zeitkontinuierlichen Prozesses

Für die kontinuierliche Zeit besagt das Wiener-Khinchin-Theorem, dass if ein stochastischer Prozess mit weitem Sinn ist, dessen Autokorrelationsfunktion (manchmal als Autokovarianz bezeichnet ) als statistischer Erwartungswert definiert wird (das Sternchen bezeichnet ein komplexes Konjugat , und natürlich kann es weggelassen werden, wenn der zufällige Prozess ist reellwertig), existiert und ist bei jeder Verzögerung endlich , dann existiert eine monotone Funktion im Frequenzbereich, so dass ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle r_ {xx} (\ tau) = \ operatorname {E} {\ big [} x (t) ^ {*} x (t- \ tau) {\ big]}}$${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle F (f)}$${\ displaystyle - \ infty <f <\ infty}$

${\ displaystyle r_ {xx} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi i \ tau f} dF (f),}$

wobei das Integral ein Riemann-Stieltjes-Integral ist . Dies ist eine Art spektrale Zerlegung der Autokorrelationsfunktion. F wird als Leistungsspektralverteilungsfunktion bezeichnet und ist eine statistische Verteilungsfunktion. Es wird manchmal als integriertes Spektrum bezeichnet.

Die Fourier-Transformation von existiert im Allgemeinen nicht, da stochastische Zufallsfunktionen im Allgemeinen weder quadratintegrierbar noch absolut integrierbar sind . Es wird auch nicht angenommen, dass es absolut integrierbar ist, so dass es auch keine Fourier-Transformation haben muss. ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle r_ {xx}}$

Wenn es aber absolut kontinuierlich ist , zum Beispiel wenn der Prozess rein unbestimmt ist, dann ist er fast überall differenzierbar . In diesem Fall kann man die spektrale Leistungsdichte von definieren , indem man die gemittelte Ableitung von nimmt . Da die linken und rechten Ableitungen von überall existieren, können wir sie überall platzieren (wobei wir erhalten, dass F das Integral seiner gemittelten Ableitung ist), und der Satz vereinfacht sich zu ${\ displaystyle F (f)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle S (f)}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle S (f) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} {\ big (} F (f +) \ varepsilon) -F (f) {\ big)} + \ lim _ {\ varepsilon \ uparrow 0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} {\ big (} F (f + \ varepsilon) -F (f ) {\ big)} \ right)}$

${\ displaystyle r_ {xx} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (f) e ^ {2 \ pi i \ tau f} \, df.}$

Wenn man nun annimmt, dass r und S die notwendigen Bedingungen erfüllen, damit die Fourier-Inversion gültig ist, sagt das Wiener-Khinchin-Theorem einfach, dass r und S ein Fourier-Transformationspaar sind, und

${\ displaystyle S (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} r_ {xx} (\ tau) e ^ {- 2 \ pi if \ tau} \, d \ tau.}$

Der Fall eines zeitdiskreten Prozesses

Für den zeitdiskrete Fall wird die spektrale Leistungsdichte der Funktion mit diskreten Werten ist , ${\ displaystyle x [n]}$

${\ displaystyle S (f) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} r_ {xx} [k] e ^ {- i (2 \ pi f) k},}$

wo

${\ displaystyle r_ {xx} [k] = \ operatorname {E} {\ big [} x [n] ^ {*} x [nk] {\ big]}}$

ist die diskrete Autokorrelationsfunktion von , sofern diese absolut integrierbar ist. Da es sich um eine abgetastete und zeitdiskrete Sequenz handelt, ist die spektrale Dichte im Frequenzbereich periodisch. Dies ist auf das Problem des Aliasing zurückzuführen : Der Beitrag einer Frequenz, die höher als die Nyquist-Frequenz ist, scheint gleich dem ihres Alias ​​zwischen 0 und 1 zu sein. Aus diesem Grund ist der Funktionsbereich normalerweise auf 0 und 1 beschränkt 1 oder zwischen –0,5 und 0,5. ${\ displaystyle x [n]}$${\ displaystyle S}$

Anwendung

Der Satz ist nützlich für die Analyse linearer zeitinvarianter Systeme (LTI-Systeme), wenn die Ein- und Ausgänge nicht quadratintegrierbar sind und ihre Fourier-Transformationen daher nicht existieren. Eine Konsequenz ist, dass die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion des Ausgangs eines LTI-Systems gleich dem Produkt der Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion des Eingangs des Systems multipliziert mit der quadratischen Größe der Fourier-Transformation der Systemimpulsantwort ist . Dies funktioniert auch dann, wenn die Fourier-Transformationen der Eingangs- und Ausgangssignale nicht vorhanden sind, da diese Signale nicht quadratintegrierbar sind, sodass die Systemeingänge und -ausgänge nicht direkt durch die Fourier-Transformation der Impulsantwort in Beziehung gesetzt werden können.

Da die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion eines Signals das Leistungsspektrum des Signals ist, entspricht diese Folgerung der Aussage, dass das Leistungsspektrum des Ausgangs gleich dem Leistungsspektrum des Eingangs mal der Energieübertragungsfunktion ist .

Diese Folgerung wird in der parametrischen Methode zur Leistungsspektrumschätzung verwendet.

Abweichungen in der Terminologie

In vielen Lehrbüchern und in weiten Teilen der Fachliteratur wird stillschweigend angenommen, dass die Fourier-Inversion der Autokorrelationsfunktion und der spektralen Leistungsdichte gültig ist, und der Wiener-Khinchin-Satz wird sehr einfach ausgedrückt, als ob die Fourier-Transformation von Die Autokorrelationsfunktion war gleich der spektralen Leistungsdichte und ignorierte alle Fragen der Konvergenz (Einstein ist ein Beispiel). Der Satz (wie hier angegeben) wurde jedoch von Norbert Wiener und Aleksandr Khinchin auf die Abtastfunktionen (Signale) von stationären Zufallsprozessen mit weitem Sinn angewendet , Signale, deren Fourier-Transformationen nicht existieren. Der Sinn von Wieners Beitrag bestand darin, die spektrale Zerlegung der Autokorrelationsfunktion einer Abtastfunktion eines stationären Zufallsprozesses mit weitem Sinn zu verstehen, selbst wenn die Integrale für die Fourier-Transformation und die Fourier-Inversion keinen Sinn ergeben.

Eine weitere Komplikation besteht darin, dass die diskrete Fourier-Transformation für digitale Sequenzen endlicher Länge immer existiert, was bedeutet, dass der Satz blind angewendet werden kann, um Autokorrelationen numerischer Sequenzen zu berechnen. Wie bereits erwähnt, ist die Beziehung dieser diskreten Abtastdaten zu einem mathematischen Modell häufig irreführend, und verwandte Fehler können sich als Divergenz zeigen, wenn die Sequenzlänge geändert wird.

Einige Autoren bezeichnen als Autokovarianzfunktion. Sie normalisieren es dann, indem sie durch dividieren , um das zu erhalten, was sie als Autokorrelationsfunktion bezeichnen. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R (0)}$

Verweise

Weiterführende Literatur

• Brockwell, Peter A.; Davis, Richard J. (2002). Einführung in Zeitreihen und Prognosen (2. Aufl.). New York: Springer-Verlag. ISBN   038721657X .
• Chatfield, C. (1989). Die Analyse von Zeitreihen - Eine Einführung (4. Aufl.). London: Chapman und Hall. ISBN   0412318202 .
• Fuller, Wayne (1996). Einführung in statistische Zeitreihen . Wiley-Reihe in Wahrscheinlichkeit und Statistik (2. Aufl.). New York: Wiley. ISBN   0471552399 .
• Wiener, Norbert (1949). "Extrapolation, Interpolation und Glättung stationärer Zeitreihen". Cambridge, Massachusetts: Technology Press und Johns Hopkins Univ. Drücken Sie. Zitierjournal benötigt |journal= ( Hilfe ) (Ein klassifiziertes Dokument, das 1943 für das Kriegsministerium geschrieben wurde).
• Yaglom, AM (1962). Eine Einführung in die Theorie der stationären Zufallsfunktionen . Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.