Fast überall - Almost everywhere

Ein einfaches Beispielmaß weist einem Teilbereich des Rechtecks den Bruchteil des geometrischen Bereichs zu, den es einnimmt. Dann hat die Grenze des Rechtecks ​​das Maß 0, während das Innere das Maß 1 hat. Fast jeder Punkt des Rechtecks ​​ist ein innerer Punkt , aber das Innere hat eine nicht leere Ergänzung .

In der Maßtheorie (ein Zweig der mathematischen Analyse ) gilt eine Eigenschaft fast überall, wenn im technischen Sinne die Menge, für die die Eigenschaft gilt, nahezu alle Möglichkeiten einnimmt. Der Begriff "fast überall" ist ein Begleitbegriff zum Konzept des Maßes Null und entspricht dem Begriff " fast sicher" in der Wahrscheinlichkeitstheorie .

Insbesondere gilt eine Eigenschaft fast überall, wenn sie für alle Elemente in einer Menge gilt, mit Ausnahme einer Teilmenge von Maß Null, oder äquivalent, wenn die Menge von Elementen, für die die Eigenschaft gilt, vollständig ist . In Fällen, in denen die Kennzahl nicht vollständig ist , ist es ausreichend, dass die Menge in einer Menge von Kennzahl Null enthalten ist. Bei der Erörterung von Mengen reeller Zahlen wird normalerweise das Lebesgue-Maß angenommen, sofern nicht anders angegeben.

Der Begriff wird fast überall mit ae abgekürzt ; In der älteren Literatur wird pp verwendet, um für die äquivalente französische Phrase presque partout zu stehen .

Eine Menge mit vollem Maß ist eine Menge, deren Komplement vom Maß Null ist. In der Wahrscheinlichkeitstheorie beziehen sich die Begriffe fast sicher , fast sicher und beziehen sich fast immer auf Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1, die nicht unbedingt alle Ergebnisse enthalten. Dies sind genau die Mengen des vollständigen Maßes in einem Wahrscheinlichkeitsraum.

Anstatt zu sagen, dass eine Eigenschaft fast überall gilt, wird gelegentlich gesagt, dass die Eigenschaft für fast alle Elemente gilt (obwohl der Begriff fast alle auch andere Bedeutungen haben kann).

Definition

Wenn es sich um einen Messraum handelt , soll eine Eigenschaft fast überall darin enthalten sein, wenn eine Menge mit existiert , und alle haben die Eigenschaft . Weit verbreitet ist auch die gleiche Sache auszudrücken , ist , dass „fast erfüllt jeden Punkt zu sagen “, oder dass „für fast jeden , hält“. ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle N \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ mu (N) = 0}$${\ displaystyle x \ in X \ setminus N}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P \,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P (x)}$

Es ist nicht erforderlich, dass die Menge das Maß 0 hat. es darf nicht dazu gehören . Nach der obigen Definition ist es ausreichend, in einer Menge enthalten zu sein , die messbar ist und das Maß 0 hat. ${\ displaystyle \ {x \ in X: \ neg P (x) \}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ {x \ in X: \ neg P (x) \}}$${\ displaystyle N}$

Eigenschaften

• Wenn Eigentum fast überall hält und Eigentum impliziert , dann hält Eigentum fast überall. Dies folgt aus der Monotonie der Maßnahmen. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$
• Wenn es sich um eine endliche oder zählbare Folge von Eigenschaften handelt, von denen jede fast überall gilt, dann gilt ihre Konjunktion fast überall. Dies ergibt sich aus der zählbaren Subadditivität von Maßnahmen. ${\ displaystyle (P_ {n})}$${\ displaystyle \ forall nP_ {n}}$
• Wenn es sich dagegen um eine unzählige Familie von Eigenschaften handelt, von denen jede fast überall gilt, dann gilt ihre Konjunktion nicht unbedingt fast überall. Wenn zum Beispiel das Lebesgue-Maß aktiviert ist und die Eigenschaft ist, nicht gleich zu sein (dh genau dann wahr zu sein, wenn ), dann gilt jedes fast überall, aber die Konjunktion gilt nirgendwo. ${\ displaystyle (P_ {x}) _ {x \ in \ mathbf {R}}}$${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle X = \ mathbf {R}}$${\ displaystyle P_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P_ {x} (y)}$${\ displaystyle y \ neq x}$${\ displaystyle P_ {x}}$${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$

Infolge der ersten beiden Eigenschaften ist es oft möglich, über "fast jeden Punkt" eines Messraums zu argumentieren, als wäre es eher ein gewöhnlicher Punkt als eine Abstraktion. Dies geschieht oft implizit in informellen mathematischen Argumenten. Aufgrund des dritten Punktes muss man jedoch mit dieser Argumentationsweise vorsichtig sein: Die universelle Quantifizierung über unzählige Familien von Aussagen gilt für gewöhnliche Punkte, aber nicht für "fast jeden Punkt".

Beispiele

Definition mit Ultrafiltern

Außerhalb des Kontextes der realen Analyse wird der Begriff einer Eigenschaft, die fast überall wahr ist, manchmal als Ultrafilter definiert . Ein Ultrafilter auf einer Menge X ist eine maximale Sammlung F von Teilmengen von X, so dass:

1. Wenn U ∈ F und U ⊆ V, dann ist V ∈ F.
2. Der Schnittpunkt zweier beliebiger Mengen in F liegt in F.
3. Der leere Satz ist nicht in F.

Eine Eigenschaft P von Punkten in X gilt fast überall, relativ zu einem Ultrafilter F , wenn die Menge der Punkte, für die P gilt, in F liegt .

Beispielsweise definiert eine Konstruktion des hyperrealen Zahlensystems eine hyperreale Zahl als eine Äquivalenzklasse von Sequenzen, die fast überall gleich sind, wie durch einen Ultrafilter definiert.

Die Definition von fast überall in Bezug auf Ultrafilter ist eng mit der Definition in Bezug auf Maße verbunden, da jeder Ultrafilter ein endlich additives Maß definiert, das nur die Werte 0 und 1 annimmt, wobei eine Menge genau dann Maß 1 hat, wenn es enthalten ist im Ultrafilter.

Siehe auch

• Dirichlet-Funktion , eine Funktion, die fast überall gleich 0 ist.

Verweise

Literaturverzeichnis

• Billingsley, Patrick (1995). Wahrscheinlichkeit und Maß (3. Aufl.). New York: John Wiley & Sons. ISBN   0-471-00710-2 .