Nullmenge - Null set

In der mathematischen Analyse ist eine Nullmenge eine messbare Menge , die das Maß Null hat . Diese kann als eine Menge charakterisiert werden, die durch eine abzählbare Vereinigung von Intervallen beliebig kleiner Gesamtlänge abgedeckt werden kann . ${\displaystyle N\subset \mathbb{R}}$

Der Begriff der Nullmenge sollte nicht mit der leeren Menge im Sinne der Mengenlehre verwechselt werden . Obwohl die leere Menge das Lebesgue-Maß Null hat, gibt es auch nicht-leere Mengen, die null sind. Zum Beispiel hat jede nicht leere zählbare Menge von reellen Zahlen das Lebesgue-Maß null und ist daher null.

Allgemeiner gesagt, auf einem gegebenen Maßraum ist eine Nullmenge eine Menge, so dass . ${\displaystyle M=(X,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle S\Teilmenge X}$${\displaystyle \mu(S)=0}$

Beispiel

Jede endliche oder abzählbar unendliche Teilmenge der reellen Zahlen ist eine Nullmenge. Zum Beispiel sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen beide abzählbar unendlich und daher Nullmengen, wenn sie als Teilmengen der reellen Zahlen betrachtet werden.

Die Cantor-Menge ist ein Beispiel für eine unzählbare Nullmenge.

Definition

Angenommen, es ist eine Teilmenge der reellen Geraden mit ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$

wo die U _n sind Intervalle und | U | die Länge von U ist , dann ist A eine Nullmenge, auch bekannt als eine Menge von Nullinhalten.

In der Terminologie der mathematischen Analyse erfordert diese Definition, dass es eine Folge von offenen Hüllen von A gibt, für die die Begrenzung der Längen der Hüllen null ist.

Eigenschaften

Die leere Menge ist immer eine Nullmenge. Allgemeiner gesagt ist jede abzählbare Vereinigung von Nullmengen null. Jede messbare Teilmenge einer Nullmenge ist selbst eine Nullmenge. Zusammen zeigen diese Tatsachen, dass die m- Null-Mengen von X ein Sigma-Ideal auf X bilden . In ähnlicher Weise bilden die messbaren m- Null-Mengen ein Sigma-Ideal der Sigma-Algebra der messbaren Mengen. Somit können Nullmengen als vernachlässigbare Mengen interpretiert werden , was einen Begriff von fast überall definiert .

Lebesgue-Maßnahme

Das Lebesgue-Maß ist die Standardmethode, um Teilmengen des euklidischen Raums eine Länge , Fläche oder ein Volumen zuzuweisen .

Eine Teilmenge N von hat ein Null-Lebesgue-Maß und wird genau dann als Nullmenge betrachtet, wenn: ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

Jede gegebene positive Zahl ε , gibt es eine Sequenz { I _n } von Intervallen in derart , dass N in der Vereinigung der enthaltenen { I _n } und die Gesamtlänge der Union weniger als ε .${\displaystyle \mathbb{R}}$

Diese Bedingung kann verallgemeinert werden , indem n - Würfel anstelle von Intervallen verwendet werden. Tatsächlich kann die Idee auf jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit sinnvoll gemacht werden , auch wenn dort kein Lebesgue-Maß vorhanden ist. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Zum Beispiel:

• In Bezug auf sind alle Singleton-Mengen null, und daher sind alle zählbaren Mengen null. Insbesondere die Menge Q der rationalen Zahlen ist eine Nullmenge, obwohl sie dicht in .${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Die Standardkonstruktion der Cantor-Menge ist ein Beispiel für eine null- abzählbare Menge in ; es sind jedoch auch andere Konstruktionen möglich, die dem Cantor-Set ein beliebiges Maß zuordnen.${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Alle Teilmengen, deren Dimension kleiner als n ist, haben ein Null-Lebesgue-Maß in . Gerade Linien oder Kreise sind zum Beispiel Nullmengen in .${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$
• Lemma von Sard : Die Menge der kritischen Werte einer glatten Funktion hat das Maß Null.

Wenn λ das Lebesgue-Maß für und π das Lebesgue-Maß für ist , dann das Produktmaß . In Bezug auf Nullmengen wurde die folgende Äquivalenz als Satz von Fubini bezeichnet : ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi}$

• Für und${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$
  $${\displaystyle \pi(A)=0\iff\lambda\left(\left\{x:\lambda\left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

  

Verwendet

Nullmengen spielen eine Schlüsselrolle bei der Definition des Lebesgue-Integrals : Wenn die Funktionen f und g außer auf einer Nullmenge gleich sind, dann ist f genau dann integrierbar, wenn g gleich ist und ihre Integrale gleich sind. Dies motiviert die formale Definition von L ^p Räumen als Sätze von Äquivalenzklassen von Funktionen , die nur auf Nullmengen abweichen.

Ein Maß, bei dem alle Teilmengen von Nullmengen messbar sind, ist vollständig . Jedes nicht vollständige Maß kann vervollständigt werden, um ein vollständiges Maß zu bilden, indem behauptet wird, dass Teilmengen von Nullmengen das Maß Null haben. Die Lebesgue-Maßnahme ist ein Beispiel für eine vollständige Maßnahme; in einigen Konstruktionen wird es als Abschluss einer nicht abgeschlossenen Borel-Maßnahme definiert .

Eine Teilmenge der Cantor-Menge, die nicht Borel-messbar ist

Die Borel-Maßnahme ist noch nicht abgeschlossen. Eine einfache Konstruktion besteht darin, mit der Standard- Cantor-Menge K zu beginnen , die abgeschlossen ist, also Borel-messbar, und die das Maß Null hat, und eine Teilmenge F von K zu finden, die nicht Borel-messbar ist. (Da das Lebesgue-Maß vollständig ist, ist dieses F natürlich Lebesgue-messbar.)

Zunächst müssen wir wissen, dass jede Menge positiver Maße eine nicht messbare Teilmenge enthält. Sei f die Cantor-Funktion , eine stetige Funktion, die auf K ^c lokal konstant ist und auf [0, 1] monoton wachsend ist, mit f (0) = 0 und f (1) = 1 . Offensichtlich ist f ( K ^c ) abzählbar, da es einen Punkt pro Komponente von K ^{c enthält} . Daher hat f ( K ^c ) das Maß Null, also hat f ( K ) das Maß Eins. Wir brauchen eine streng monotone Funktion , also betrachte g ( x ) = f ( x ) + x . Da g ( x ) streng monoton und stetig ist, handelt es sich um einen Homöomorphismus . Außerdem hat g ( K ) Maß eins. Sei E ⊂ g ( K ) nicht messbar und sei F = g ⁻¹ ( E ) . Da g injektiv ist, haben wir die F ⊂ K , und so F ist eine Nullmenge. Wäre es jedoch Borel-messbar, dann wäre g ( F ) auch Borel-messbar (hier nutzen wir die Tatsache, dass das Urbild einer Borel-Menge durch eine stetige Funktion messbar ist; g ( F ) = ( g ⁻¹ ) ⁻¹ ( F ) ist das Urbild von F durch die stetige Funktion h = g ⁻¹ .) Daher ist F eine null, aber nicht Borel messbare Menge.

Haare null

In einem trennbaren Banachraumes ( X , +) , die Gruppenoperation bewegt sich jede Teilmenge A ⊂ X auf die übersetzt A + x für beliebige x ∈ X . Wenn es ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf dem σ-Algebra der Borel Teilmengen von X , so dass für alle x , μ ( A + x ) = 0 ist , dann A ist eine Haar Nullmenge .

Der Begriff bezieht sich auf die Null-Invarianz der Maße von translatorischen Einheiten und verbindet ihn mit der vollständigen Invarianz, die mit Haar-Maß gefunden wurde .

Einige algebraische Eigenschaften topologischer Gruppen wurden mit der Größe von Teilmengen und Haar-Nullmengen in Verbindung gebracht. Haar-Nullmengen wurden in polnischen Gruppen verwendet, um zu zeigen, dass A ⁻¹ A eine offene Umgebung des Identitätselements enthält , wenn A keine magere Menge ist . Diese Eigenschaft ist nach Hugo Steinhaus benannt, da sie die Schlussfolgerung des Steinhaus-Theorems ist .

Siehe auch

• Cantor-Funktion
• Messen (Mathematik)
• Leeres Set
• Nichts

Verweise

Weiterlesen

• Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Messen, Integral und Wahrscheinlichkeit . Springer. P. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
• Jones, Frank (1993). Lebesgue-Integration in euklidischen Räumen . Jones & Bartlett. P. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
• Oxtoby, John C. (1971). Maß und Kategorie . Springer-Verlag. P. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.