Kantorraum - Cantor space

In der Mathematik , ein Cantor Raum , benannt nach Georg Cantor ist eine topologische Abstraktion der klassischen Cantor - Menge : ein topologischer Raum ist ein Cantor Raum , wenn es homeomorphic auf die Cantor - Menge . In der Mengenlehre wird der topologische Raum 2 ω "der" Cantorraum genannt.

Beispiele

Das Cantor-Set selbst ist ein Cantor-Raum. Das kanonische Beispiel eines Cantor-Raums ist jedoch das zählbar unendliche topologische Produkt des diskreten 2-Punkt-Raums {0, 1}. Dies wird normalerweise als oder 2 ω geschrieben (wobei 2 die 2-Element-Menge {0,1} mit der diskreten Topologie bezeichnet). Ein Punkt in 2 ω ist eine unendliche Binärfolge, dh eine Folge, die nur die Werte 0 oder 1 annimmt. Bei einer solchen Folge a 0 , a 1 , a 2 , ... kann man sie der reellen Zahl zuordnen

Diese Abbildung ergibt einen Homöomorphismus von 2 ω auf die Cantor-Menge , was zeigt, dass 2 ω tatsächlich ein Cantor-Raum ist.

Cantorräume kommen in der realen Analyse häufig vor . Zum Beispiel existieren sie als Unterräume in jedem perfekten , vollständigen metrischen Raum . (Um dies zu sehen, beachten Sie, dass in einem solchen Raum jede nicht leere perfekte Menge zwei disjunkte nicht leere perfekte Teilmengen mit beliebig kleinem Durchmesser enthält, so dass man die Konstruktion der üblichen Cantor-Menge nachahmen kann .) Auch jede unzählige, Der trennbare , vollständig messbare Raum enthält Cantor-Räume als Unterräume. Dies schließt die meisten gängigen Raumtypen in der realen Analyse ein.

Charakterisierung

Eine topologische Charakterisierung von Cantor-Räumen ergibt sich aus Brouwers Theorem:

Zwei beliebige nicht leere kompakte Hausdorff-Räume ohne isolierte Punkte und mit zählbaren Basen, die aus Clopen-Sets bestehen, sind homöomorph zueinander.

Die topologische Eigenschaft einer Basis, die aus Clopen-Mengen besteht, wird manchmal als "Nulldimensionalität" bezeichnet. Der Satz von Brouwer kann wie folgt angepasst werden:

Ein topologischer Raum ist genau dann ein Cantor-Raum, wenn er nicht leer, perfekt , kompakt , vollständig getrennt und messbar ist .

Dieser Satz entspricht auch (über Stones Repräsentationssatz für Boolesche Algebren ) der Tatsache, dass zwei beliebige zählbare atomlose Boolesche Algebren isomorph sind.

Eigenschaften

Wie aus dem Satz von Brouwer zu erwarten ist, erscheinen Cantor-Räume in verschiedenen Formen. Viele Eigenschaften von Cantor-Räumen können jedoch mit 2 ω ermittelt werden , da sie aufgrund ihrer Konstruktion als Produkt einer Analyse zugänglich sind.

Cantor-Räume haben folgende Eigenschaften:

  • Die Kardinalität eines Cantor-Raums ist die Kardinalität des Kontinuums .
  • Das Produkt von zwei (oder sogar einer endlichen oder zählbaren Anzahl von) Cantor-Räumen ist ein Cantor-Raum. Zusammen mit der Cantor-Funktion kann diese Tatsache verwendet werden, um raumfüllende Kurven zu erstellen .
  • Ein (nicht leerer) topologischer Hausdorff-Raum ist genau dann kompakt messbar, wenn es sich um ein kontinuierliches Bild eines Cantor-Raums handelt.

Lassen C ( X ) bezeichnet den Raum aller reellwertigen, begrenzt stetigen Funktionen auf einem topologischen Raum X . Es sei K ein kompakter metrischer Raum und Δ die Cantor-Menge. Dann hat das Cantor-Set die folgende Eigenschaft:

  • C ( K ) ist isometrisch zu einem geschlossenen Unterraum von C (Δ).

Im Allgemeinen ist diese Isometrie nicht eindeutig und daher im kategorialen Sinne keine universelle Eigenschaft .

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Brouwer, LEJ (1910), "Über die Struktur perfekter Punktmengen" (PDF) , Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen , 12 : 785–794.
  2. ^ NL Carothers, Ein kurzer Kurs über Banach-Raumtheorie , London Mathematical Society Student Texts 64 , (2005) Cambridge University Press. Siehe Kapitel 12
  3. ^ Willard, op.cit. , Siehe Abschnitt 30.7
  4. ^ https://imgur.com/a/UDgthQm
  5. ^ Carothers, op.cit.
  6. ^ RD Anderson, Die algebraische Einfachheit bestimmter Gruppen von Homöomorphismen , American Journal of Mathematics 80 (1958), S. 955-963.