Kategorie der Module - Category of modules

In der Algebra ist bei einem Ring R die Kategorie der linken Module über R die Kategorie, deren Objekte alle linken Module über R sind und deren Morphismen alle Modulhomomorphismen zwischen linken R- Modulen sind. Wenn beispielsweise R der Ring von ganzen Zahlen Z ist , ist dies dasselbe wie die Kategorie der abelschen Gruppen . Die Kategorie der richtigen Module wird auf ähnliche Weise definiert.

Hinweis: Einige Autoren verwenden den Begriff Modulkategorie für die Kategorie der Module. Dieser Begriff kann mehrdeutig sein, da er sich auch auf eine Kategorie mit einer Aktion der monoidalen Kategorie beziehen kann .

Eigenschaften

Die Kategorien der linken und rechten Module sind abelsche Kategorien . Diese Kategorien haben genug Projektive und genug Injektive . Der Einbettungssatz von Mitchell besagt, dass jede abelsche Kategorie als vollständige Unterkategorie der Kategorie von Modulen entsteht.

Projektive Grenzen und induktive Grenzen existieren in den Kategorien der linken und rechten Module.

Über einen kommutativen Ring ist die Kategorie der Module zusammen mit dem Tensorprodukt der Module ⊗ eine symmetrische monoidale Kategorie .

Kategorie von Vektorräumen

Die Kategorie K - Vect (einige Autoren verwenden Vect K ) enthält alle Vektorräume über einem Feld K als Objekte und K- lineare Karten als Morphismen. Da Vektorräume über K (als Feld) dasselbe sind wie Module über dem Ring K , ist K - Vect ein Sonderfall von R - Mod , der Kategorie der linken R - Module.

Ein Großteil der linearen Algebra betrifft die Beschreibung von K - Vect . Zum Beispiel kann die Dimension Satz für Vektorräume , so dass die Isomorphieklassen in K - Vect entspricht genau die Kardinalzahl , und die K - Vect ist äquivalent zu der Untergruppe von K - Vect denen die Vektorräumen als Objekte haben K n , Dabei ist n eine beliebige Kardinalzahl.

Verallgemeinerungen

Die Kategorie der Garben von Modulen über einen Ringraum hat auch genügend Injektionen (wenn auch nicht immer genug Projektive).

Siehe auch

Verweise

Externe Links