Diese Ungleichung ist eine Aussage über die Irreversibilität natürlicher Prozesse, insbesondere wenn es um Energiedissipation geht. Es wurde nach dem deutschen Physiker Rudolf Clausius und dem französischen Physiker Pierre Duhem benannt .
Clausius-Duhem-Ungleichung bezüglich der spezifischen Entropie
Die Clausius-Duhem-Ungleichung kann in integraler Form ausgedrückt werden als
In dieser Gleichung ist die Zeit, repräsentiert einen Körper und die Integration wird über das Volumen des Körpers, stellt die Oberfläche des Körpers, ist die Massendichte des Körpers, ist die spezifische Entropie (Entropie pro Einheit Masse), ist die normale Geschwindigkeit , das ist Geschwindigkeit des Partikels im Innern , die Einheit senkrecht zu der Oberfläche ist, der ist , Wärmeflussvektor, ist eine Energiequelle pro Masseneinheit und ist die absolute Temperatur . Alle Variablen sind Funktionen eines materiellen Punktes zu einem Zeitpunkt .
In Differentialform kann die Clausius-Duhem-Ungleichung geschrieben werden als
Dabei ist die zeitliche Ableitung der spezifischen inneren Energie (die innere Energie pro Masseneinheit), die Cauchy-Spannung und der Gradient der Geschwindigkeit. Diese Ungleichung bezieht die Energiebilanz und die Linear- und Drehimpulsbilanz in den Ausdruck für die Clausius-Duhem-Ungleichung ein.
Beweis —
Unter Verwendung der Identität
in der Clausius-Duhem-Ungleichung erhalten wir
wird als Dissipation bezeichnet, die als die Rate der internen Entropieproduktion pro Volumeneinheit mal der absoluten Temperatur definiert ist . Daher wird die Clausius-Duhem-Ungleichung auch als Dissipationsungleichung bezeichnet . In einem realen Material ist die Verlustleistung immer größer als Null.