Verschluss (Topologie) - Closure (topology)

In der Mathematik , die Schließung einer Untergruppe S von Punkten in einem topologischen Raum besteht aus allen Punkten in S zusammen mit allen Grenzpunkten von S . Der Abschluss von S kann äquivalent als Vereinigung von S und seinem Rand sowie als Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die S enthalten, definiert werden . Intuitiv kann man sich den Abschluss als alle Punkte vorstellen, die entweder in S oder "in der Nähe" von S liegen . Ein Punkt, der im Abschluss von S liegt, ist ein Abschlusspunkt von S . Der Begriff der Geschlossenheit ist in vielerlei Hinsicht doppelt mit dem Begriff des Inneren verbunden .

Definitionen

Verschlusspunkt

Für eine Teilmenge eines euklidischen Raum , ist ein Punkt der Schließung , wenn jede offene Kugel an zentriert einen Punkt enthält (dieser Punkt kann selbst). ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Diese Definition verallgemeinert auf jede Teilmenge eines metrischen Raums Vollständig ausgedrückt, denn ein metrischer Raum mit Metrik ist ein Abschlusspunkt dafür, ob für jeden eine solche existiert , dass der Abstand (wiederum zulässig) ist. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, dass dies ein Abschlusspunkt ist, wenn der Abstand${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle d(x,s)<r}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0.}$

Diese Definition verallgemeinert auf topologische Räume, indem sie "offene Kugel" oder "Kugel" durch " Nachbarschaft " ersetzt. Sei eine Teilmenge eines topologischen Raums Dann ist ein Abschlusspunkt oder ein Haftpunkt von wenn jede Umgebung von einen Punkt von enthält Beachten Sie, dass diese Definition nicht davon abhängt, ob Umgebungen offen sein müssen. ${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Grenzpunkt

Die Definition eines Abschlusspunktes ist eng mit der Definition eines Grenzpunktes verbunden . Der Unterschied zwischen den beiden Definitionen ist subtil, aber wichtig – nämlich in der Definition des Grenzpunktes muss jede Umgebung des fraglichen Punktes einen anderen Punkt der Menge als sich selbst enthalten . Die Menge aller Grenzpunkte einer Menge heißt abgeleitete Menge von${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Somit ist jeder Grenzpunkt ein Abschlusspunkt, aber nicht jeder Abschlusspunkt ist ein Grenzpunkt. Ein Abschlusspunkt, der kein Grenzpunkt ist, ist ein isolierter Punkt . Mit anderen Worten, ein Punkt ist ein isolierter Punkt, wenn er ein Element von ist und wenn eine Umgebung davon keine anderen Punkte als er selbst enthält. ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Für eine gegebene Menge und einen gegebenen Punkt ist genau dann ein Abschlusspunkt, wenn ein Element von oder ein Grenzpunkt von (oder beides) ist. ${\displaystyle S}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

Schließung eines Sets

Der Abschluss einer Teilmenge eines topologischen Raums, bezeichnet mit oder möglicherweise durch (wenn verstanden wird), wobei, wenn beide und aus dem Kontext klar sind, dann auch mit oder bezeichnet werden kann (darüber hinaus wird es manchmal mit großgeschrieben ) kann mit jedem von . definiert werden die folgenden äquivalenten Definitionen: ${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau),}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau)}S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$${\displaystyle S{}^{-}}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle \operatorname {Cl}}$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ist die Menge aller Abschlusspunkte von${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ist die Menge mit all ihren Grenzpunkten .${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen mit${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ist die kleinste abgeschlossene Menge mit ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ist die Vereinigung von und ihre Grenze${\displaystyle S}$ ${\displaystyle\partial(S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ist die Menge aller, für die es ein Netz (bewertet) gibt , das gegen in . konvergiert${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau).}$

Der Abschluss einer Menge hat die folgenden Eigenschaften.

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ist eine geschlossene Obermenge von${\displaystyle S}$
• Die Menge ist genau dann geschlossen, wenn${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• Wenn dann eine Teilmenge von ist${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle \operatorname {cl} S}$${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• Wenn eine abgeschlossene Menge ist, dann enthält genau dann, wenn enthält${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

Manchmal wird die zweite oder dritte Eigenschaft oben als Definition des topologischen Abschlusses genommen, die auch bei anderen Arten von Abschlüssen Sinn macht (siehe unten).

In einem erstzählbaren Raum (wie einem metrischen Raum ) ist die Menge aller Grenzwerte aller konvergenten Folgen von Punkten in Für einen allgemeinen topologischen Raum bleibt diese Aussage wahr, wenn man "Folge" durch " Netz " oder " Filter " ersetzt ". ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$${\displaystyle S.}$

Beachten Sie, dass diese Eigenschaften auch erfüllt sind, wenn "close", "superset", "intersection", "contains/contained", "smallest" und "closed" durch "interior", "subset", "union", "contained" ersetzt werden in“, „größte“ und „öffnen“. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie unten unter Verschlussoperator .

Beispiele

Betrachten Sie eine Kugel in 3 Dimensionen. Implizit gibt es zwei interessante Bereiche, die durch diese Sphäre geschaffen werden; die Kugel selbst und ihr Inneres (die als offene 3-Kugel bezeichnet wird). Es ist nützlich, zwischen dem Inneren des 3-Balls und der Oberfläche unterscheiden zu können, also unterscheiden wir zwischen dem offenen 3-Ball und dem geschlossenen 3-Ball – dem Abschluss des 3-Balls. Der Abschluss des offenen 3-Balls ist der offene 3-Ball plus die Oberfläche.

Im topologischen Raum :

• In jedem Raum, ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing .}$
• In jedem Raum ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

Giving und die (metrische) Standardtopologie : ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{C}}$

• Wenn der euklidische Raum der reellen Zahlen ist , dann${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1].}$
• Wenn der euklidische Raum ist, dann ist der Abschluss der Menge der rationalen Zahlen der ganze Raum Wir sagen, dass ist dicht in${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$
• Ist die komplexe Ebene dann${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb{C} =\mathbb{R}^{2},}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z |\geq 1\}.}$
• Wenn eine endliche Teilmenge eines euklidischen Raums ist, dann (Für einen allgemeinen topologischen Raum ist diese Eigenschaft äquivalent zum T ₁ -Axiom .)${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

Auf die Menge der reellen Zahlen kann man statt der Standardtopologie auch andere Topologien setzen.

• Wenn mit der Topologie der unteren Grenze ausgestattet ist , dann${\displaystyle X=\mathbb{R}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Betrachtet man die diskrete Topologie, in der jede Menge abgeschlossen (offen) ist, dann${\displaystyle X=\mathbb{R}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Betrachtet man die triviale Topologie, in der die einzigen abgeschlossenen (offenen) Mengen die leere Menge und sich selbst sind, dann${\displaystyle X=\mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

Diese Beispiele zeigen, dass der Abschluss einer Menge von der Topologie des zugrunde liegenden Raums abhängt. Die letzten beiden Beispiele sind Sonderfälle der folgenden.

• Da in jedem diskreten Raum jede Menge abgeschlossen (und auch offen) ist, ist jede Menge gleich ihrer Abgeschlossenheit.
• Da die einzigen abgeschlossenen Mengen in jedem indiskreten Raum die leere Menge und sich selbst sind, gilt, dass der Abschluss der leeren Menge die leere Menge ist, und für jede nichtleere Teilmenge von Mit anderen Worten, jede nichtleere Teilmenge einer indiskreten der raum ist dicht .${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

Der Abschluss einer Menge hängt auch davon ab, in welchem ​​Raum wir den Abschluss einnehmen. Zum Beispiel ist if die Menge der rationalen Zahlen mit der üblichen relativen Topologie, die durch den euklidischen Raum induziert wird und if dann ist sowohl geschlossen als auch offen in weil weder noch ihr Komplement enthalten kann , was die untere Schranke von wäre , aber nicht in weil irrational ist. Hat also keinen wohldefinierten Abschluss, da Randelemente nicht in . Wenn wir jedoch stattdessen die Menge der reellen Zahlen definieren und das Intervall auf die gleiche Weise definieren, dann ist der Abschluss dieses Intervalls wohldefiniert und wäre die Menge aller reellen Zahlen größer oder gleich . ${\displaystyle X}$${\displaystyle\mathbb{R},}$${\displaystyle S=\{q\in\mathbb{Q} :q^{2}>2,q>0\},}$${\displaystyle S}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Verschluss-Operator

Ein Abschlussoperator auf einer Menge ist eine Abbildung der Potenzmenge von in sich selbst, die die Kuratowski-Abschlussaxiome erfüllt . Bei einem gegebenen topologischen Raum induziert der topologische Abschluss eine Funktion , die definiert wird, indem eine Teilmenge dorthin gesendet wird , wo die Notation oder stattdessen verwendet werden kann. Umgekehrt, wenn ein Abschlussoperator auf einer Menge ist, dann wird ein topologischer Raum erhalten, indem die abgeschlossenen Mengen als genau diejenigen Teilmengen definiert werden , die erfüllen (also bilden Komplemente dieser Teilmengen die offenen Mengen der Topologie). ${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal{P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S^{-}}$${\displaystyle\mathbb{c}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle\mathbb{c} (S)=S}$${\displaystyle X}$

Der Verschlussoperator ist dual zum inneren Operator, der in dem Sinne mit bezeichnet wird, dass ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

und auch

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Daher lassen sich die abstrakte Theorie der Abschlussoperatoren und die Kuratowski-Abschlussaxiome leicht in die Sprache der inneren Operatoren übersetzen, indem man Mengen durch ihre Komplemente in ersetzt${\displaystyle X.}$

Im Allgemeinen pendelt der Abschlussoperator nicht mit Kreuzungen. In einem vollständigen metrischen Raum gilt jedoch folgendes Ergebnis:

Fakten zu Schließungen

Eine Teilmenge wird geschlossen in , wenn und nur wenn insbesondere: ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• Der Abschluss der leeren Menge ist die leere Menge;
• Die Schließung an sich ist${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Der Abschluss einer Schnittmenge von Mengen ist immer eine Teilmenge der (muss aber nicht gleich) der Schnittmenge der Abschlüsse der Mengen.
• In einer Vereinigung von endlich vielen Sätzen, die Schließung der Union und die Vereinigung der Verschlüsse gleich sind; die Vereinigung von Nullmengen ist die leere Menge, und daher enthält diese Aussage die frühere Aussage über den Abschluss der leeren Menge als Sonderfall.
• Der Abschluss der Vereinigung unendlich vieler Mengen muss nicht gleich der Vereinigung der Abschlüsse sein, aber er ist immer eine Obermenge der Vereinigung der Abschlüsse.

Wenn und wenn ein Unterraum von ist (d.h. er ist mit der Unterraumtopologie ausgestattet , die ihn induziert), dann und der Abschluss von berechnet in ist gleich dem Schnitt von und dem Abschluss von berechnet in : ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$

Insbesondere ist dicht in genau dann, wenn eine Teilmenge von${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$

Wenn aber nicht unbedingt eine Teilmenge von nur dann ${\displaystyle S,T\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$

ist im Allgemeinen garantiert, wobei diese Eingrenzung streng sein könnte (betrachten Sie zum Beispiel die übliche Topologie und ), obwohl wenn eine offene Teilmenge von ist, gilt die Gleichheit (unabhängig von der Beziehung zwischen und ). Folglich gilt, wenn eine offene Abdeckung von und wenn eine Teilmenge ist, dann: ${\displaystyle X=\mathbb{R}}$${\displaystyle T=(-\infty,0],}$${\displaystyle S=(0,\infty)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$

denn für alle (wobei jede mit der durch sie induzierten Unterraumtopologie ausgestattet ist ). Diese Gleichheit ist besonders nützlich, wenn es sich um eine Mannigfaltigkeit handelt und die Mengen in der offenen Abdeckung Domänen von Koordinatenkarten sind . Mit Worten, dieses Ergebnis zeigt, dass der Abschluss jeder Teilmenge "lokal" in den Mengen jeder offenen Abdeckung von berechnet und dann miteinander vereinigt werden kann. Auf diese Weise kann dieses Ergebnis als Analogon der bekannten Tatsache gesehen werden , dass eine Teilmenge geschlossen wird , wenn und nur wenn sie „ vor Ort geschlossen in “, das heißt , wenn jeder ist offen Abdeckung der dann geschlossen in , wenn und nur wenn für alle geschlossen ist${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\cap U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

Kategoriale Interpretation

Man kann den Abschlussoperator elegant in Form von universellen Pfeilen wie folgt definieren.

Die Potenzmenge einer Menge kann als Kategorie partieller Ordnung realisiert werden, in der die Objekte Teilmengen und die Morphismen Inklusionskarten sind, wann immer eine Teilmenge von ist Außerdem ist eine Topologie auf eine Unterkategorie von mit Inklusionsfunktor Die Menge abgeschlossener Teilmengen, die ein festes enthalten Teilmenge kann mit dem Komma identifiziert werden Kategorie Diese Kategorie — auch eine Teilordnung — hat dann ein Anfangsobjekt Somit gibt es einen universellen Pfeil von nach durch die Inklusion${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\nach B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle I:T\to P.}$${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle ich,}$${\displaystyle A\to\operatorname {cl} A.}$

Da jede abgeschlossene Menge, die enthält, einer offenen Menge entspricht, die in enthalten ist , können wir die Kategorie in ähnlicher Weise als die Menge der offenen Teilmengen interpretieren, die in mit dem Terminalobjekt das Innere von . enthalten ist${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$${\displaystyle A.}$

Alle Eigenschaften des Verschlusses lassen sich aus dieser Definition und einigen Eigenschaften der obigen Kategorien ableiten. Darüber hinaus präzisiert diese Definition die Analogie zwischen dem topologischen Abschluss und anderen Arten von Abschluss (zum Beispiel algebraischer Abschluss ), da alle Beispiele für universelle Pfeile sind .

Siehe auch

• Adhärenter Punkt  – Ein Punkt, der zum Abschluss einer bestimmten Teilmenge eines topologischen Raums gehört.
• Schließalgebra
• Abgeleitete Menge (Mathematik)
• Innenraum (Topologie)
• Grenzpunkt  – Ein Punkt x in einem topologischen Raum, dessen Umgebungen alle einen anderen Punkt in einer gegebenen Teilmenge enthalten, der sich von x . unterscheidet

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

• Baker, Crump W. (1991), Einführung in die Topologie , Wm. C. Brown-Verlag, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Prinzipien der Topologie , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2. Aufl.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topologie , Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topologie , I , Akademische Presse
• Pervin, William J. (1965), Grundlagen der allgemeinen Topologie , Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topologie , Allyn und Bacon
• Zălinescu, Constantin (30. Juli 2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorräumen . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1.921.556 . OCLC  285163112 .

Externe Links

• "Schließung einer Menge" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]