Domänenfärbung - Domain coloring

Bereichsfärbungsdiagramm der Funktion f ( x ) = ( x ² − 1) ( x − 2 − i ) ²/x ² + 2 + 2 i, indem Sie die unten beschriebene strukturierte Farbfunktion verwenden.

In der komplexen Analyse ist die Domänenfärbung oder ein Farbraddiagramm eine Technik zur Visualisierung komplexer Funktionen, indem jedem Punkt der komplexen Ebene eine Farbe zugewiesen wird . Durch die Zuordnung von Punkten auf der komplexen Ebene zu unterschiedlichen Farben und Helligkeiten ermöglicht die Domänenfärbung die einfache Darstellung und das Verständnis einer vierdimensionalen komplexen Funktion. Dies gibt Einblick in die Fließfähigkeit komplexer Funktionen und zeigt natürliche geometrische Erweiterungen reeller Funktionen .

Es werden viele verschiedene Farbfunktionen verwendet. Eine übliche Praxis ist es, die darstellen komplexes Argument (auch bekannt als „Phase“ oder „Winkel“) mit einem Farbton nach dem Farbrad und die Größe durch andere Mittel, wie beispielsweise Helligkeit oder Sättigung .

Motivation

Ein Graph einer reellen Funktion kann in zwei Dimensionen gezeichnet werden, da es zwei dargestellte Variablen gibt und . Komplexe Zahlen werden jedoch durch zwei Variablen und damit zwei Dimensionen dargestellt; Dies bedeutet, dass die Darstellung einer komplexen Funktion (genauer gesagt einer komplexwertigen Funktion einer komplexen Variablen ) die Visualisierung von vier Dimensionen erfordert. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist mit einer Riemann-Oberfläche , aber eine andere Methode ist die Domänenfärbung. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}}$

Methode

HL-Plot von z , gemäß dem im Text beschriebenen einfachen Farbfunktionsbeispiel (links), und der Graph der komplexen Funktion z ³  − 1 (rechts) mit derselben Farbfunktion, der die drei Nullstellen sowie den negativen Realwert zeigt Zahlen als Cyan-Strahlen beginnend bei den Nullen.

Die Darstellung einer vierdimensionalen komplexen Abbildung mit nur zwei Variablen ist unerwünscht, da Methoden wie Projektionen zu einem Informationsverlust führen können. Es ist jedoch möglich, Variablen hinzuzufügen, die den vierdimensionalen Prozess beibehalten, ohne dass eine Visualisierung von vier Dimensionen erforderlich ist. In diesem Fall sind die beiden hinzugefügten Variablen visuelle Eingaben wie Farbe und Helligkeit, da es sich natürlich um zwei Variablen handelt, die vom menschlichen Auge leicht verarbeitet und unterschieden werden können. Diese Zuordnung wird als "Farbfunktion" bezeichnet. Es werden viele verschiedene Farbfunktionen verwendet. Eine übliche Praxis ist es, die darstellen komplexes Argument (auch bekannt als „Phase“ oder „Winkel“) mit einem Farbton nach dem Farbrad und die Größe durch andere Mittel, wie beispielsweise Helligkeit oder Sättigung .

Einfache Farbfunktion

Das folgende Beispiel färbt den Ursprung in Schwarz, 1 in Rot , −1 in Cyan und einen Punkt im Unendlichen in Weiß:

${\displaystyle {\begin{cases}H&=\arg z,\\L&=\ell (|z|)\\S&=100\%.\end{cases}}}$

Es gibt eine Reihe von Auswahlmöglichkeiten für die Funktion . Eine wünschenswerte Eigenschaft ist , dass die Inverse einer Funktion genau so hell ist wie die ursprüngliche Funktion dunkel ist (und umgekehrt). Mögliche Auswahlmöglichkeiten umfassen ${\displaystyle \ell:[0,\infty)\to [0,1)}$${\displaystyle \ell (1/r)=1-\ell (r)}$

• ${\displaystyle \ell_{1}(r)={\frac{2}{\pi}}\arctan(r)}$ und
• ${\displaystyle \ell_{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}}$(mit einigen Parametern ). Bei entspricht dies der stereographischen Projektion auf die Riemannsche Kugel .${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a=2}$

Eine weit verbreitete Wahl, die diese Eigenschaft nicht hat, ist die Funktion (mit einigen Parametern ), die für und sehr ähnlich ist . ${\displaystyle \ell_{3}(r)=1-a^{|r|}}$${\displaystyle 0<a<1}$${\displaystyle a=1/2}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle \ell_{1}}$

Dieser Ansatz verwendet das HSL- Farbmodell (Farbton, Sättigung, Helligkeit). Die Sättigung ist immer auf das Maximum von 100 % eingestellt. Die leuchtenden Farben des Regenbogens rotieren kontinuierlich auf dem komplexen Einheitskreis, daher sind die sechsten Einheitswurzeln (beginnend mit 1): Rot, Gelb, Grün, Cyan, Blau und Magenta. Die Größe wird nach Intensität über eine streng monotone kontinuierliche Funktion kodiert .

Da der HSL-Farbraum nicht wahrnehmungsmäßig einheitlich ist, kann man bei Gelb, Cyan und Magenta Streifen wahrgenommener Helligkeit sehen (obwohl ihre absoluten Werte denen von Rot, Grün und Blau entsprechen) und einen Lichthof um L =1/2. Die Verwendung des Lab-Farbraums korrigiert dies, wodurch die Bilder genauer, aber auch düsterer/pastellfarbener werden.

Diskontinuierlicher Farbwechsel

Viele Farbgraphen haben Diskontinuitäten, bei denen sich Helligkeit und Farbe nicht gleichmäßig ändern, sondern sich plötzlich ändern, selbst wenn die Funktion selbst noch glatt ist. Dies geschieht aus einer Vielzahl von Gründen, z. B. um mehr Details anzuzeigen oder bestimmte Aspekte einer Funktion hervorzuheben.

Größenwachstum

Eine diskontinuierliche Farbfunktion. Im Graphen tritt jede Diskontinuität auf, wenn für ganze Zahlen n .${\displaystyle |z|=2^{n}}$

Im Gegensatz zu dem endlichen Bereich des Arguments kann die Größe einer komplexen Zahl von reichen 0 bis ∞ . Daher können in Funktionen mit großen Größenbereichen Größenänderungen manchmal schwer zu unterscheiden sein, wenn auch eine sehr große Änderung im Diagramm abgebildet wird. Dies kann mit einer unstetigen Farbfunktion behoben werden, die ein sich wiederholendes Helligkeitsmuster für die Größe basierend auf einer gegebenen Gleichung zeigt. Dadurch können sowohl kleinere Änderungen als auch größere Änderungen, die "diskontinuierlich zu einer höheren Größenordnung springen", leicht erkannt werden. In der Grafik rechts treten diese Diskontinuitäten in Kreisen um das Zentrum auf und zeigen eine Verdunkelung der Grafik, die dann wieder heller werden kann. Eine ähnliche Farbfunktion wurde für die Grafik oben auf dem Artikel verwendet.

Gleichungen, die die Diskontinuitäten bestimmen, können linear sein, beispielsweise für jede ganzzahlige Größe, exponentielle Gleichungen wie beispielsweise jede Größe n, wobei eine ganze Zahl ist, oder jede andere Gleichung. ${\displaystyle 2^{n}}$

Hervorheben von Eigenschaften

Unstetigkeiten können dort platziert werden, wo Ausgaben eine bestimmte Eigenschaft haben, um hervorzuheben, welche Teile des Graphen diese Eigenschaft haben. Beispielsweise kann ein Diagramm, anstatt die Farbe Cyan anzuzeigen, von Grün zu Blau springen. Dies führt zu einer leicht zu erkennenden Diskontinuität und kann Linien hervorheben, z. B. bei denen das Argument Null ist. Unstetigkeiten können sich auch auf große Teile eines Diagramms auswirken, z. B. ein Diagramm, bei dem das Farbrad das Diagramm in Quadranten unterteilt. Auf diese Weise lässt sich leicht zeigen, wo jeder Quadrant mit Beziehungen zu anderen endet.

Geschichte

Der Begriff "Domain Coloring" wurde von Frank Farris, möglicherweise um 1998, geprägt. Es gab viele frühere Verwendungen von Farbe, um komplexe Funktionen zu visualisieren, wobei typischerweise Argument ( Phase ) auf Farbton abgebildet wurde . Larry Crone verwendete die Methode Ende der 1980er Jahre. Die Technik der Verwendung kontinuierlicher Farben zur Abbildung von Punkten von Domänen zu Codomänen oder Bildebenen wurde 1999 von George Abdo und Paul Godfrey verwendet, und farbige Raster wurden in Grafiken von Doug Arnold verwendet , die er auf das Jahr 1997 datiert.

Einschränkungen

Menschen, die an Farbenblindheit leiden, können Schwierigkeiten haben, solche Diagramme zu interpretieren, wenn sie mit Standard- Farbkarten erstellt wurden . Dieses Problem kann möglicherweise behoben werden, indem alternative Versionen mit Farbkarten erstellt werden, die in den für Farbenblindheit erkennbaren Farbraum passen. Beispielsweise kann zur Verwendung durch Personen mit totaler Deuteranopie eine Farbkarte basierend auf Blau/Grau/Gelb besser lesbar sein als die herkömmliche Karte basierend auf Blau/Grün/Rot.

Verweise

Externe Links

• Funktionsplotter von Samuel Li
• Farbdiagramme komplexer Funktionen
• Visualisierung komplexwertiger Funktionen in der Ebene.
• Galerie komplexer Funktionen
• Complex Mapper von Alessandro Rosa
• John Davis-Software − S-Lang- Skript für Domain Coloring
• Open Source C- und Python-Domain-Farbsoftware
• Verbesserte 3D-Domain-Farbgebung
• Domänenfarbmethode auf der GPU
• Java-Domain-Coloring-Software (in Entwicklung)
• MATLAB- Routinen [1]
• Python-Skript für GIMP von Michael J. Gruber
• Matplotlib- und MayaVi- Implementierung der Domänenfärbung von E. Petrisor [2]
• MATLAB- Routinen mit Benutzeroberfläche und verschiedenen Farbschemata
• MATLAB- Routinen zur 3D-Visualisierung komplexer Funktionen
• Farbradmethode
• Math-Engine mit Echtzeit-Zoom
• Fractal Zoomer: Software, die Domänenfärbung verwendet