Satz von Frobenius (Reelle Divisionsalgebren) - Frobenius theorem (real division algebras)

In der Mathematik , genauer gesagt in der abstrakten Algebra , charakterisiert der 1877 von Ferdinand Georg Frobenius bewiesene Satz von Frobenius die endlichdimensionalen assoziativen Divisionsalgebren über den reellen Zahlen . Nach dem Satz ist jede solche Algebra isomorph zu einer der folgenden:

$R$ (die reellen Zahlen )
$C$ (die komplexen Zahlen )
$H$ (die Quaternionen ).

Diese Algebren haben reelle Dimension $1, 2$ bzw. $4$ . Von diesen drei algebras, $R$ und $C$ sind kommutativ , aber $H$ nicht.

Nachweisen

Die Hauptbestandteile für den folgenden Beweis sind der Cayley-Hamilton-Satz und der Fundamentalsatz der Algebra .

Einführung in die Notation

Sei $D$ die fragliche Divisionsalgebra.
Sei $n$ die Dimension von $D$ .
Wir identifizieren die reellen Vielfachen von $1$ mit $R$ .
Wenn wir $a \leq 0$ für ein Element $a$ von $D$ schreiben , nehmen wir stillschweigend an, dass $a$ in $R enthalten ist$ .
Wir können betrachten $D$ als endlich-dimensionaler $R$ - Vektorraum . Jedes Element $d$ von $D$ definiert einen Endomorphismus von $D$ durch Linksmultiplikation, wir identifizieren $d$ mit diesem Endomorphismus. Daher können wir über die Spur von $d$ und ihre charakteristischen und minimalen Polynome sprechen .
Definiere für jedes $z$ in $C$ das folgende reelle quadratische Polynom:

Q(z;x)=x^{2}-2\operatorname {Re} (z)x+|z|^{2}=(xz)(x-{\overline {z}})\in \mathbf{R}[x].

Man beachte , daß , wenn

z \in C ∖ R

dann

Q (z; x)

ist über irreduziblen

R

.

Der Anspruch

Der Schlüssel zum Argument ist folgender

Anspruch. Die Menge

V

aller Elemente

a

von

D,

so dass

a 2 \leq 0

ein Vektorunterraum von

D

der Dimension

n - 1 ist

. Außerdem

D = R \oplus V

als

R

-vector Flächen, was bedeutet , dass

V

erzeugt

D

als Algebra.

Beweis der Behauptung: Sei $m$ die Dimension von $D$ als $R-$ Vektorraum, und wähle $a$ in $D$ mit charakteristischem Polynom $p (x)$ . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra können wir schreiben:

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})\cdots (x-z_{s})(x-{\overline {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in\mathbf{R} ,\quad z_{j}\in\mathbf{C} \backslash \mathbf {R} .

Wir können $p (x)$ in Form der Polynome $Q (z; x)$ umschreiben :

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})Q(z_{1};x)\cdots Q(z_{s};x).

Da $z j ∈ C \ R$ , sind die Polynome $Q (z j; x)$ alle über $R$ irreduzibel . Nach dem Cayley-Hamilton-Theorem $p$ $($ $a$ $) = 0$ und weil $D$ eine Divisionsalgebra ist, folgt entweder $a$ $-$ $t$ $i$ $= 0$ für einige $i$ oder $Q$ $($ $z$ $j$ $;$ $a$ $) = 0$ für einige $j$ . Der erste Fall impliziert, dass $a$ reell ist. Im zweiten Fall folgt, dass $Q$ $($ $z$ $j$ $;$ $x$ $)$ das minimale Polynom von $a ist$ . Da $p$ $($ $x$ $)$ die gleichen komplexen Nullstellen hat wie das Minimalpolynom und weil es reell ist, folgt

p(x)=Q(z_{j};x)^{k}=\left(x^{2}-2\operatorname {Re} (z_{j})x+|z_{j}| ^{2}\right)^{k}

Da $p (x)$ das charakteristische Polynom ist $eine$ Koeffizienten $x 2 k -1$ in $p (x)$ ist $tr (a)$ zu einem Zeichen. Daher lesen wir aus obiger Gleichung: $tr(a) = 0$ genau dann, wenn $Re(z j) = 0$ , also $tr(a) = 0$ genau dann, wenn $a 2 = -| z j | 2 < 0$ .

So $V$ ist die Teilmenge aller $a$ mit $tr (a) = 0$ . Insbesondere handelt es sich um einen Vektorunterraum. Der Rang-Null-Satz impliziert dann, dass $V$ die Dimension $n - 1 hat,$ da es der Kern von ist . Da $R$ und $V$ disjunkt sind (dh sie erfüllen ) und ihre Dimensionen sich zu $n$ summieren , gilt $D$ $=$ $R$ $\oplus$ $V$ . $\operatorname {tr} :D\to \mathbf {R}$ $\mathbf{R} \cap V=\{0\}$

Das Ende

Für $a, b$ in $V$ definiere $B (a, b) = (- ab - ba)/2$ . Wegen der Identität $(a + b) 2 - a 2 - b 2 = ab + ba$ folgt, dass $B (a, b)$ reell ist. Da $a 2 \leq 0$ gilt außerdem: $B (a, a) > 0$ für $a \neq 0$ . Somit $B$ ist eine positive definite symmetrische bilineare Form , in anderen Worten, ein Skalarprodukt auf $V$ .

Sei $W$ ein Unterraum von $V$ , der $D$ als Algebra erzeugt und der bezüglich dieser Eigenschaft minimal ist. Sei $e 1, ..., e n$ eine Orthonormalbasis von $W$ bezüglich $B$ . Dann bedeutet Orthonormalität:

e_{i}^{2}=-1,\quad e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}.

Wenn $n = 0$ ist , dann $D$ ist isomorph zu $R$ .

Wenn $n = 1$ , dann wird $D$ durch $1$ und $e 1 erzeugt,$ unter der Beziehung $e 21 = -1$ . Daher ist es isomorph zu $C$ .

Für $n = 2$ wurde oben gezeigt, dass $D$ von $1, e 1, e 2$ unter den Beziehungen

e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},\quad (e_{ 1}e_{2})(e_{1}e_{2})=-1.

Dies sind genau die Beziehungen für $H$ .

Wenn $n > 2 ist$ , kann $D$ keine Divisionsalgebra sein. Angenommen, $n > 2$ . Sei $u = e 1 e 2 e n$ . Es ist leicht zu erkennen, dass $u 2 = 1 ist$ (dies funktioniert nur, wenn $n > 2$ ). Wenn $D$ eine Divisionsalgebra waren, $0 = u 2 - 1 = (u - 1) (u + 1)$ bedeutet , $u = \pm 1$ , was wiederum bedeutet: $e n = \mp e 1 e 2$ und so $e 1, .. ., e n -1$ erzeugen $D$ . Dies widerspricht der Minimalität von $W$ .

Anmerkungen und zugehörige Ergebnisse

Die Tatsache, dass $D$ von $e 1, ..., e n$ unter den obigen Beziehungen erzeugt wird, bedeutet, dass $D$ die Clifford-Algebra von $R n ist$ . Der letzte Schritt zeigt, dass die einzigen reellen Clifford-Algebren, die Divisionsalgebren sind, $Cℓ 0, Cℓ 1$ und $Cℓ 2 sind$ .
Folglich sind die einzigen kommutativen Divisionsalgebren $R$ und $C$ . Beachten Sie auch, dass $H$ keine $C-$ Algebra ist. Wenn ja, dann muss das Zentrum von $H$ $C$ enthalten , aber das Zentrum von $H$ ist $R$ . Daher ist $C$ selbst die einzige endlichdimensionale Divisionsalgebra über $C.$
Dieser Satz ist eng auf verwandte Hurwitz-Theorem , das besagt , dass die einzigen wirklichen normierter Teilung algebras ist $R, C, H$ , und die (nicht-assoziativ) Algebra $O$ .
Pontryagin-Variante. Wenn $D$ ein angeschlossener , lokal kompakter Teilungsring , dann $D = R, C$ oder $H$ .

Verweise

Ray E. Artz (2009) Skalare Algebren und Quaternionen , Satz 7.1 „Frobenius-Klassifikation“, Seite 26.
Ferdinand Georg Frobenius (1878) " Über lineare Substitutionen und bilineare Formen ", Journal für die reine und angewandte Mathematik 84:1–63 ( Crelle's Journal ). Nachgedruckt in Gesammelte Abhandlungen Band I, S. 343–405.
Yuri Bahturin (1993) Grundstrukturen der modernen Algebra , Kluwer Acad. Kneipe. S. 30–2 ISBN 0-7923-2459-5 .
Leonard Dickson (1914) Lineare Algebren , Cambridge University Press . Siehe §11 „Algebra reeller Quaternionen; ihr einzigartiger Platz unter den Algebren“, Seiten 10 bis 12.
RS Palais (1968) "Die Klassifikation der Realteilungsalgebren " American Mathematical Monthly 75:366-8.
Lev Semenovich Pontryagin , Topological Groups , Seite 159, 1966.

Languages

In other projects