Hofstadters Schmetterling - Hofstadter's butterfly

Rendering des Schmetterlings von Hofstadter

In der Physik der kondensierten Materie ist Hofstadters Schmetterling ein Graph der spektralen Eigenschaften von nicht wechselwirkenden zweidimensionalen Elektronen in einem senkrechten Magnetfeld in einem Gitter . Die fraktale, selbstähnliche Natur des Spektrums wurde 1976 im Ph.D. Arbeit von Douglas Hofstadter und ist eines der frühen Beispiele moderner wissenschaftlicher Datenvisualisierung. Der Name spiegelt die Tatsache wider, dass, wie Hofstadter schrieb, "die großen Lücken [in der Grafik] ein sehr auffälliges Muster bilden, das einem Schmetterling ähnelt".

Der Hofstadter Schmetterling spielt eine wichtige Rolle in der Theorie des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts und der Theorie der topologischen Quantenzahlen .

Geschichte

Die erste mathematische Beschreibung von Elektronen auf einem 2D-Gitter, auf das ein senkrechtes homogenes Magnetfeld einwirkt, wurde in den 1950er Jahren von Rudolf Peierls und seinem Schüler RG Harper untersucht.

Hofstadter beschrieb die Struktur erstmals 1976 in einem Artikel über die Energieniveaus von Bloch-Elektronen in senkrechten Magnetfeldern. Es gibt eine grafische Darstellung des Spektrums der Harper-Gleichung bei verschiedenen Frequenzen. Ein Schlüsselaspekt der mathematischen Struktur dieses Spektrums – die Aufspaltung von Energiebändern für einen bestimmten Wert des Magnetfelds entlang einer einzigen Dimension (Energie) – wurde bereits 1964 von dem sowjetischen Physiker Mark Azbel am Rande erwähnt (in einer Abhandlung). zitiert von Hofstadter), aber Hofstadter erweiterte diese Arbeit erheblich, indem er alle Werte des Magnetfelds gegen alle Energiewerte auftrug und die zweidimensionale Darstellung erstellte, die zuerst die einzigartig rekursiven geometrischen Eigenschaften des Spektrums offenbarte.

Geschrieben, während Hofstadter an der University of Oregon war , war seine Arbeit einflussreich bei der Leitung weiterer Forschungen. Es sagte aus theoretischen Gründen voraus, dass die zulässigen Energieniveauwerte eines Elektrons in einem zweidimensionalen quadratischen Gitter als Funktion eines senkrecht zum System angelegten Magnetfelds eine so genannte fraktale Menge bilden . Das heißt, die Verteilung der Energieniveaus für Änderungen im kleinen Maßstab des angelegten Magnetfelds wiederholt rekursiv Muster , die in der großräumigen Struktur zu sehen sind. "Gplot", wie Hofstadter die Figur nannte, wurde in seinem 1976 erschienenen Artikel in Physical Review B als rekursive Struktur beschrieben , bevor Benoit Mandelbrots neu geprägtes Wort "fractal" in einen englischen Text eingeführt wurde. Hofstadter diskutiert die Figur auch in seinem 1979 erschienenen Buch Gödel, Escher, Bach . Das Bauwerk wurde allgemein als "Hofstadter Schmetterling" bekannt.

David J. Thouless und sein Team entdeckten, dass die Flügel des Schmetterlings durch Chern-Ganzzahlen charakterisiert sind , die eine Möglichkeit bieten, den Hall-Leitwert in Hofstadters Modell zu berechnen .

Bestätigung

Eine Simulation von Elektronen über supraleitende Qubits ergibt Hofstadters Schmetterling

1997 wurde der Hofstadter Schmetterling in Experimenten mit Mikrowellenleitern reproduziert, die mit einer Reihe von Streuern ausgestattet waren. Die Ähnlichkeit zwischen der mathematischen Beschreibung des Mikrowellenleiters mit Streuern und Bloch-Wellen im Magnetfeld ermöglichte die Reproduktion des Hofstadter Schmetterlings für periodische Folgen der Streuer.

2001 realisierten Christian Albrecht, Klaus von Klitzing und Mitarbeiter einen Versuchsaufbau, um Thouless et al. 's Vorhersagen über Hofstadters Schmetterling mit einem zweidimensionalen Elektronengas in einem Übergitterpotential.

Im Jahr 2013 berichteten drei separate Forschergruppen unabhängig voneinander über Beweise für das Hofstadter-Schmetterlingsspektrum in Graphen- Bauelementen, die auf hexagonalen Bornitrid- Substraten hergestellt wurden. In diesem Fall resultiert das Butterfly-Spektrum aus der Wechselwirkung zwischen dem angelegten Magnetfeld und dem großskaligen Moiré-Muster , das sich entwickelt, wenn das Graphengitter mit einer Fehlanpassung nahe Null zum Bornitrid ausgerichtet ist.

Im September 2017 veröffentlichte die Gruppe von John Martinis bei Google in Zusammenarbeit mit der Angelakis-Gruppe am CQT Singapur Ergebnisse einer Simulation von 2D-Elektronen in einem senkrechten Magnetfeld unter Verwendung wechselwirkender Photonen in 9 supraleitenden Qubits . Die Simulation stellte erwartungsgemäß Hofstadters Schmetterling wieder her.

Theoretisches Modell

Hofstadter Schmetterling ist die grafische Lösung der Harper-Gleichung, bei der das Energieverhältnis als Funktion des Flussverhältnisses aufgetragen ist .${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle 2\pi\alpha}$

In seiner ursprünglichen Arbeit betrachtet Hofstadter die folgende Herleitung: Ein geladenes Quantenteilchen in einem zweidimensionalen quadratischen Gitter mit einem Gitterabstand wird durch eine periodische Schrödinger-Gleichung unter einem senkrechten statischen homogenen Magnetfeld beschrieben, das auf ein einzelnes Bloch-Band beschränkt ist. Für ein 2D - Quadratgitter, die feste Bindung Energiedispersionsrelation ist ${\displaystyle a}$

${\displaystyle W(\mathbf{k})=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a)={\frac {E_{0}}{2}}(e^{ ik_{x}a}+e^{-ik_{x}a}+e^{ik_{y}a}+e^{-ik_{y}a})}$,

wo ist die Energiefunktion, ist der Kristallimpuls und ist ein empirischer Parameter. Das magnetische Feld , in dem das magnetische Vektorpotential , kann unter Verwendung berücksichtigt wird Peierls Substitution , den Kristallimpuls mit dem kanonischen Impulse ersetzt , wo der Partikelimpulsoperator und ist die Ladung des Teilchens ( für das Elektron, ist die elementare Gebühr ). Der Einfachheit halber wählen wir die Spurweite . ${\displaystyle W(\mathbf{k})}$${\displaystyle \mathbf{k} =(k_{x},k_{y})}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle\mathbf{B} =\nabla\times\mathbf{A}}$${\displaystyle\mathbf{A}}$${\displaystyle \hbar\mathbf{k}\to\mathbf{p} -q\mathbf{A}}$${\displaystyle \mathbf{p} =(p_{x},p_{y})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q=-e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle\mathbf{A} =(0,Bx,0)}$

Dies ist der Translationsoperator , so dass , wobei und die zweidimensionale Wellenfunktion des Teilchens ist . Als effektiven Hamilton-Operator kann man die folgende zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung verwenden: ${\displaystyle e^{ip_{j}a}}$${\displaystyle e^{ip_{j}a}\psi (x,y)=\psi (x+a,y)}$${\displaystyle j=x,y,z}$${\displaystyle \psi(\mathbf{r})=\psi(x,y)}$${\displaystyle W(\mathbf{p} -q\mathbf{A})}$

${\displaystyle E\psi (x,y)={\frac {E_{0}}{2}}\left[\psi (x+a,y)+\psi (xa,y)+\psi (x ,y+a)e^{-iqBxa/\hbar}+\psi (x,ya)e^{+iqBxa/\hbar}\right].}$

In Anbetracht dessen, dass das Teilchen nur zwischen Punkten im Gitter hüpfen kann, schreiben wir , wobei ganze Zahlen sind. Hofstadter macht den folgenden Ansatz : , wobei von der Energie abhängt, um die Harper-Gleichung (auch bekannt als Fast-Mathieu-Operator für ) zu erhalten: ${\displaystyle x=na,y=ma}$${\displaystyle n,m}$${\displaystyle \psi(x,y)=g_{n}e^{i\nu m}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \lambda=1}$

${\displaystyle g_{n+1}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu)g_{n}=\epsilon g_{n},}$

wobei und , proportional zum magnetischen Fluss durch eine Gitterzelle ist und das magnetische Flussquantum ist . Das Flussverhältnis kann auch als magnetische Länge ausgedrückt werden , so dass . ${\displaystyle \epsilon =2E/E_{0}}$${\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}}$${\displaystyle \phi(B)=Ba^{2}}$${\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q}$${\displaystyle\alpha}$${\textstyle l_{\rm {m}}={\sqrt {\hbar /eB}}}$${\textstyle \alpha =(2\pi)^{-1}(a/l_{\rm {m}})^{2}}$

Der Schmetterling von Hofstadter ist das resultierende Diagramm von als Funktion des Flussverhältnisses , wobei die Menge aller möglichen ist , die eine Lösung der Harper-Gleichung sind. ${\displaystyle \epsilon_{\alpha}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \epsilon_{\alpha}}$${\displaystyle \epsilon}$

Lösungen für die Harper-Gleichung und die Wannier-Behandlung

Das Schmetterlingsphasendiagramm von Hofstadter bei Nulltemperatur. Die horizontale Achse zeigt die Elektronendichte an, beginnend mit keinen Elektronen von links. Die vertikale Achse gibt die Stärke des magnetischen Flusses an, unten bei Null beginnend, wiederholt sich das Muster periodisch für höhere Felder. Die Farben stellen die Chern-Zahlen der Lücken im Spektrum dar, die auch als TKNN-Zahlen (Thouless, Kohmoto, Nightingale und Nijs) bekannt sind. Bläuliche kalte Farben zeigen negative Chern-Zahlen an, warme rote Farben zeigen positive Chern-Zahlen an, Weiß bedeutet Null.

Aufgrund der Eigenschaften der Kosinusfunktion ist das Muster mit Periode 1 periodisch (es wiederholt sich für jeden Quantenfluss pro Elementarzelle). Der Graph im Bereich zwischen 0 und 1 weist Reflexionssymmetrie in den Linien und auf . Beachten Sie, dass notwendigerweise zwischen -4 und 4 begrenzt ist. ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle \epsilon}$

Die Harpersche Gleichung hat die besondere Eigenschaft, dass die Lösungen von der Rationalität von abhängen . Indem man die Periodizität über auferlegt , kann man zeigen, dass es genau Energiebänder gibt , wenn (eine rationale Zahl ), wo und unterschiedliche Primzahlen sind . Bei großen konvergieren die Energiebänder zu dünnen Energiebändern, die den Landau-Niveaus entsprechen . ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =P/Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q\gg P}$

Gregory Wannier zeigte, dass man unter Berücksichtigung der Zustandsdichte eine diophantische Gleichung erhalten kann , die das System beschreibt, als

${\displaystyle {\frac {n}{n_{0}}}=S+T\alpha}$

wo

${\displaystyle n=\int _{-4}^{\epsilon _{\rm {F}}}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon \;;\;n_{0}=\int _{-4}^{4}\rho(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon}$

wobei und ganze Zahlen sind und die Zustandsdichte bei einer gegebenen . Hier zählt die Anzahl der Zustände bis zur Fermi-Energie , und entspricht den Niveaus des vollständig gefüllten Bandes (von bis ). Diese Gleichung charakterisiert alle Lösungen der Harperschen Gleichung. Am wichtigsten ist, dass man ableiten kann, dass wenn eine irrationale Zahl ist , es unendlich viele Lösungen für gibt . ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho (\epsilon)}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle \epsilon =-4}$${\displaystyle \epsilon =4}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \epsilon_{\alpha}}$

Die Vereinigung aller bildet ein selbstähnliches Fraktal, das zwischen rationalen und irrationalen Werten von diskontinuierlich ist . Diese Diskontinuität ist nicht physikalisch, und die Stetigkeit wird für eine endliche Unsicherheit in oder für Gitter endlicher Größe wiederhergestellt . In welchem ​​Maßstab der Schmetterling in einem realen Experiment aufgelöst werden kann, hängt von den spezifischen Bedingungen des Systems ab. ${\displaystyle \epsilon_{\alpha}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle B}$

Phasendiagramm, Leitwert und Topologie

Das Phasendiagramm von Elektronen in einem zweidimensionalen quadratischen Gitter als Funktion eines senkrechten Magnetfelds, des chemischen Potentials und der Temperatur hat unendlich viele Phasen. Thouless und Mitarbeiter zeigten, dass jede Phase durch einen ganzzahligen Hall-Leitwert gekennzeichnet ist, wobei alle ganzzahligen Werte zulässig sind. Diese ganzen Zahlen werden als Chern-Zahlen bezeichnet .

Verweise