Repräsentativer Funktor - Representable functor

In der Mathematik , insbesondere der Kategorietheorie , ist ein darstellbarer Funktor ein bestimmter Funktor aus einer beliebigen Kategorie in die Kategorie der Mengen . Solche Funktoren geben Darstellungen einer abstrakten Kategorie in Bezug auf bekannte Strukturen (dh Mengen und Funktionen ), so dass man das Wissen über die Kategorie von Mengen in anderen Einstellungen so weit wie möglich nutzen kann.

Unter einem anderen Gesichtspunkt sind darstellbare Funktoren für eine Kategorie C die mit C angegebenen Funktoren . Ihre Theorie ist eine umfassende Verallgemeinerung der oberen Mengen in Posets und des Cayley-Theorems in der Gruppentheorie .

Definition

Sei C eine lokal kleine Kategorie und sei Set die Kategorie der Mengen . Für jedes Objekt A von C sei Hom ( A , -) der Hom-Funktor , der das Objekt X der Menge Hom ( A , X ) zuordnet .

Ein Funktor F  : C → Set gilt als darstellbar, wenn er für ein Objekt A von C von Natur aus isomorph zu Hom ( A , -) ist . Eine Darstellung von F ist ein Paar ( A , Φ), wobei

Φ: Hom ( A , -) → F.

ist ein natürlicher Isomorphismus.

Ein kontravarianter Funktor G von C nach Set ist dasselbe wie ein Funktor G  : C op → Set und wird allgemein als Presheaf bezeichnet . Ein Presheaf ist darstellbar, wenn es für ein Objekt A von C von Natur aus isomorph zum kontravarianten Hom-Funktor Hom (-, A ) ist .

Universelle Elemente

Nach Yonedas Lemma stehen natürliche Transformationen von Hom ( A , -) zu F in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den Elementen von F ( A ). Bei einer natürlichen Transformation Φ: Hom ( A , -) → F ist das entsprechende Element u ∈ F ( A ) gegeben durch

Umgekehrt können wir für jedes Element u ∈ F ( A ) eine natürliche Transformation Φ definieren: Hom ( A , -) → F via

wobei f ein Element von Hom ( A , X ) ist. Um eine Darstellung von F zu erhalten , wollen wir wissen, wann die durch u induzierte natürliche Transformation ein Isomorphismus ist. Dies führt zu folgender Definition:

Ein universelles Element eines Funktors F  : C → Set ist ein Paar ( A , u ), das aus einem Objekt A von C und einem Element u ∈ F ( A ) besteht, so dass für jedes Paar ( X , v ) mit v ∈ F ( X ) es existiert ein eindeutiger Morphismus f  : A → X, so dass ( Ff ) u = v .

Ein universelles Element kann als universeller Morphismus von der Einpunktmenge {•} zum Funktor F oder als Ausgangsobjekt in der Kategorie der Elemente von F angesehen werden .

Die durch ein Element u ∈ F ( A ) induzierte natürliche Transformation ist genau dann ein Isomorphismus, wenn ( A , u ) ein universelles Element von F ist . Wir schließen daraus, dass die Darstellungen von F eins zu eins mit den universellen Elementen von F übereinstimmen . Aus diesem Grund ist es üblich, universelle Elemente ( A , u ) als Darstellungen zu bezeichnen.

Beispiele

  • Betrachten Sie den kontravarianten Funktor P  : Set → Set, der jeden Satz seinem Leistungssatz und jede Funktion seiner inversen Bildkarte zuordnet . Um diesen Funktor darzustellen, benötigen wir ein Paar ( A , u ), wobei A eine Menge und u eine Teilmenge von A ist , dh ein Element von P ( A ), so dass für alle Mengen X die Hom-Menge Hom ( X , A ) ist isomorph zu P ( X ) über Φ X ( f ) = ( Pf ) u = f −1 ( u ). Nimm A = {0,1} und u = {1}. Bei einer Untergruppe S ⊆ X die entsprechende Funktion von X zu A ist die charakteristische Funktion von S .
  • Vergessliche Funktoren zum Setzen sind sehr oft darstellbar. Insbesondere wird ein vergesslicher Funktor durch ( A , u ) dargestellt, wenn A ein freies Objekt über einem Singleton-Satz mit dem Generator u ist .
  • Eine Gruppe G kann als Kategorie (sogar als Groupoid ) mit einem Objekt betrachtet werden, das wir mit • bezeichnen. Ein Funktor von G bis Set entspricht dann einem G- Set . Der einzigartige Hom-Funktor Hom (•, -) von G bis Set entspricht dem kanonischen G- Set G mit der Aktion der linken Multiplikation. Standardargumente aus der Gruppentheorie zeigen, dass ein Funktor von G bis Set genau dann darstellbar ist, wenn das entsprechende G- Set einfach transitiv ist (dh ein G- Torsor oder ein Heap ). Die Auswahl einer Darstellung entspricht der Auswahl einer Identität für den Heap.
  • Sei C die Kategorie von CW-Komplexen mit Morphismen, die durch Homotopieklassen kontinuierlicher Funktionen gegeben sind. Für jede natürliche Zahl n gibt es einen kontravarianten Funktor H n  : C → Ab, der jedem CW-Komplex seine n- te Kohomologiegruppe (mit ganzzahligen Koeffizienten) zuweist . Wenn wir dies mit dem vergesslichen Funktor komponieren, haben wir einen kontravarianten Funktor von C bis Set . Browns Repräsentabilitätssatz in der algebraischen Topologie besagt, dass dieser Funktor durch einen CW-Komplex K ( Z , n ) dargestellt wird, der als Eilenberg-MacLane-Raum bezeichnet wird .
  • Sei R ein kommutativer Ring mit Identität und sei R - Mod die Kategorie der R- Module. Wenn M und N einheitliche Module über R sind , gibt es einen kovarianten Funktor B : R - Mod → Set, der jedem R- Modul P die Menge der R- bilinearen Abbildungen M × N → P und jedem R- Modul-Homomorphismus f zuweist  : P → Q die Funktion B ( f ): B ( P ) → B ( Q ), die jede bilineare Karte g  : M × N → P an die bilineare Karte f ∘ g  : M × N → Q sendet . Der Funktor B wird durch das R- Modul M ⊗ R N dargestellt .

Eigenschaften

Einzigartigkeit

Darstellungen von Funktoren sind bis zu einem einzigartigen Isomorphismus einzigartig. Das heißt, wenn ( A 1 , Φ 1 ) und ( A 2 , Φ 2 ) denselben Funktor darstellen, dann existiert ein eindeutiger Isomorphismus φ: A 1 → A 2, so dass

als natürliche Isomorphismen von Hom ( A 2 , -) zu Hom ( A 1 , -). Diese Tatsache folgt leicht aus Yonedas Lemma .

In Bezug auf universelle Elemente ausgedrückt: Wenn ( A 1 , u 1 ) und ( A 2 , u 2 ) denselben Funktor darstellen, existiert ein eindeutiger Isomorphismus φ: A 1 → A 2, so dass

Wahrung von Grenzen

Repräsentierbare Funktoren sind von Natur aus isomorph zu Hom-Funktoren und teilen daher ihre Eigenschaften. Insbesondere (kovariante) darstellbare Funktoren bewahren alle Grenzen . Daraus folgt, dass ein Funktor, der eine bestimmte Grenze nicht einhält, nicht darstellbar ist.

Kontravariante darstellbare Funktoren bringen Colimits an ihre Grenzen.

Links nebenan

Jeder Funktor K  : C → Satz mit einem linken Zusatz F  : Satz → C wird durch ( FX , η X (•)) dargestellt, wobei X = {•} ein Singleton-Satz und η die Einheit des Zusatzes ist.

Wenn umgekehrt K durch ein Paar ( A , u ) dargestellt wird und alle kleinen Copower von A in C existieren, dann hat K einen linken Adjunkt F, der jede Menge I an die I. Copower von A sendet .

Wenn also C eine Kategorie mit allen kleinen Kopern ist, kann ein Funktor K  : C → Set genau dann dargestellt werden, wenn er einen linken Zusatz hat.

Beziehung zu universellen Morphismen und Adjunkten

Die kategorialen Begriffe universeller Morphismen und benachbarter Funktoren können beide mit darstellbaren Funktoren ausgedrückt werden.

Lassen G  : D → C ein Funktor und sei X ein Ziel sein C . Dann ist ( A , φ) genau dann ein universeller Morphismus von X nach G, wenn ( A , φ) eine Darstellung des Funktors Hom C ( X , G -) von D nach Set ist . Daraus folgt, dass G genau dann ein linkes Adjunkt F hat, wenn Hom C ( X , G -) für alle X in C darstellbar ist . Der natürliche Isomorphismus Φ X  : Hom D ( FX , -) → Hom C ( X , G -) ergibt die Adjunktheit; das ist

eine Bijektion für alle X und Y .

Die doppelten Aussagen sind auch wahr. Lassen F  : C → D ein Funktor und sei Y ein Ziel sein D . Dann ist ( A , φ) genau dann ein universeller Morphismus von F nach Y, wenn ( A , φ) eine Darstellung des Funktors Hom D ( F -, Y ) von C nach Set ist . Daraus folgt, dass F genau dann ein rechtsadjunktes G hat, wenn Hom D ( F -, Y ) für alle Y in D darstellbar ist .

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Hungerford, Thomas. Algebra . Springer-Verlag. p. 470. ISBN   3-540-90518-9 .