Lamé-Parameter - Lamé parameters

In Kontinuumsmechanik , Lamé Parameter (auch genannt Lame - Koeffizienten , Lamé Konstanten oder Lamé Moduli ) sind zwei materialabhängigen Mengen bezeichnet λ und μ , die in entstehen Dehnungs - Stress - Beziehungen. Im allgemeinen λ und μ werden individuell bezeichnet als Lamé des ersten Parameter und zweiten Parameter ist lahm , respectively. Je nach Kontext werden manchmal andere Namen für einen oder beide Parameter verwendet. Beispielsweise wird der Parameter μ in der Fluiddynamik als dynamische Viskosität eines Fluids bezeichnet (nicht dieselben Einheiten); wohingegen im Rahmen der Elastizität , μ ist der angerufene Schermodul , und wird manchmal durch bezeichnet G anstelle von μ . Typischerweise wird die Bezeichnung G mit der Verwendung von paarigen gesehen Elastizitätsmodul E, und die Notation μ wird mit der Verwendung von paarigen λ .

In homogenen und isotropen Materialien definieren diese das Hookesche Gesetz in 3D,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon}}+\lambda\;\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon}})I,}$

wobei σ die Spannung , ε der Dehnungstensor , I die Identitätsmatrix und tr die Spurfunktion ist. Das Hookesche Gesetz kann in Form von Tensorkomponenten geschrieben werden, wobei die Indexnotation verwendet wird als

${\displaystyle \sigma_{ij}=2\mu E_{ij}+\lambda\delta_{ij}E_{kk},}$

wobei σ _ij der Spannungstensor, E _ij der Dehnungstensor und δ _ij das Kronecker-Delta ist .

Die beiden Parameter bilden zusammen eine Parametrisierung der Elastizitätsmoduli für homogene isotrope Medien, die in der mathematischen Literatur verbreitet ist, und stehen somit in Beziehung zu den anderen Elastizitätsmoduli ; zum Beispiel kann der Volumenmodul ausgedrückt werden als K = λ + 2/3μ . Beziehungen für andere Moduli finden Sie in derZeile( λ , G ) der Umrechnungstabelle am Ende dieses Artikels.

Obwohl das Schermodul, μ , muss positiv sein, die erste Parameter ist lahm, λ , kann negativ, im Prinzip; für die meisten Materialien ist es jedoch auch positiv.

Die Parameter sind nach Gabriel Lamé benannt . Sie haben die gleiche Dimension wie die Spannung und werden üblicherweise in der Druckeinheit [Pa] angegeben.

Weiterlesen

• K. Feng, Z.-C. Shi, Mathematische Theorie elastischer Strukturen , Springer New York, ISBN  0-387-51326-4 , (1981)
• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin, The Rock Physics Handbook , Cambridge University Press (Taschenbuch), ISBN  0-521-54344-4 , (2003)
• WS Slaughter, The Linearized Theory of Elasticity , Birkhäuser, ISBN  0-8176-4117-3 , (2002)

Verweise

Umrechnungsformeln
Homogene isotrope linear-elastische Materialien haben ihre elastischen Eigenschaften, die eindeutig durch irgendwelche zwei beliebigen Moduli unter diesen bestimmt werden; daher kann jeder andere der Elastizitätsmoduli nach diesen Formeln berechnet werden, wenn zwei beliebige gegeben sind.
	${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle M=\,}$	Anmerkungen
${\displaystyle (K,\,E)}$			${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda)}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda}}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda\,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$		${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu)}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu)}{1+\nu}}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(MK)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(MK)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\displaystyle (E,\,\lambda)}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda+R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu)}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu)(1-2\nu)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+ES}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Es gibt zwei gültige Lösungen. Das Pluszeichen führt zu .${\displaystyle \nu \geq 0}$ Das Minuszeichen führt zu .${\displaystyle \nu \leq 0}$
${\displaystyle (\lambda,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda,\,\nu)}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu)}{3\nu}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu)}{2\nu}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu)}{\nu}}}$	Kann nicht verwendet werden, wenn ${\displaystyle \nu =0\Linksrechtspfeil \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda)(M+2\lambda)}{M+\lambda}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda}{M+\lambda}}}$
${\displaystyle (G,\,\nu)}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu)}{1-2\nu}}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{MG}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu)}{3(1-\nu)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu)(1-2\nu)}{1-\nu}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu)}{2(1-\nu)}}}$