Mathematische Struktur - Mathematical structure

Für den Begriff "Struktur" in der mathematischen Logik siehe Struktur (mathematische Logik) .

In der Mathematik ist eine Struktur eine Menge, die mit einigen zusätzlichen Eigenschaften der Menge ausgestattet ist (zB eine Operation , Relation , Metrik oder Topologie ). Oft werden die zusätzlichen Merkmale an das Set angehängt oder mit ihm in Verbindung gebracht, um ihm eine zusätzliche Bedeutung oder Bedeutung zu verleihen.

Eine unvollständige Liste möglicher Strukturen sind Maße , algebraische Strukturen ( Gruppen , Felder usw.), Topologien , metrische Strukturen ( Geometrien ), Ordnungen , Ereignisse , Äquivalenzbeziehungen , Differentialstrukturen und Kategorien .

Manchmal ist eine Menge gleichzeitig mit mehr als einer Struktur ausgestattet, was es Mathematikern ermöglicht, die Interaktion zwischen den verschiedenen Strukturen besser zu studieren. Zum Beispiel erlegt eine Ordnung der Menge eine starre Form, Gestalt oder Topologie auf, und wenn eine Menge sowohl eine Topologiestruktur als auch eine Gruppenstruktur hat, so dass diese beiden Strukturen auf eine bestimmte Weise miteinander verbunden sind, wird die Menge zu einer topologischen Gruppe .

Abbildungen zwischen Mengen, die Strukturen bewahren (dh Strukturen in der Domäne werden auf äquivalente Strukturen in der Codomäne abgebildet ) sind in vielen Gebieten der Mathematik von besonderem Interesse. Beispiele sind Homomorphismen , die algebraische Strukturen bewahren; Homöomorphismen , die topologische Strukturen bewahren; und Diffeomorphismen , die differentielle Strukturen bewahren.

Geschichte

1939 sah die französische Gruppe unter dem Pseudonym Nicolas Bourbaki Strukturen als die Wurzel der Mathematik. Sie erwähnten sie erstmals in ihrem "Faszikel" der Mengenlehre und erweiterten es in Kapitel IV der Ausgabe von 1957. Sie identifizierten drei Mutterstrukturen : algebraische, topologische und geordnete.

Beispiel: die reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen hat mehrere Standardstrukturen:

  • Eine Reihenfolge: Jede Zahl ist entweder kleiner oder größer als jede andere Zahl.
  • Algebraische Struktur: Es gibt Operationen der Multiplikation und Addition, die es zu einem Körper machen .
  • Ein Maß: Intervalle der reellen Linie haben eine bestimmte Länge , die auf viele seiner Teilmengen zum Lebesgue-Maß erweitert werden kann .
  • Eine Metrik: Es gibt einen Begriff der Entfernung zwischen Punkten.
  • Eine Geometrie: Sie ist mit einer Metrik ausgestattet und ist flach .
  • Eine Topologie: Es gibt einen Begriff von offenen Mengen .

Darunter gibt es Schnittstellen:

  • Seine Ordnung und unabhängig davon seine metrische Struktur induzieren seine Topologie.
  • Seine Ordnung und algebraische Struktur machen es zu einem geordneten Körper .
  • Seine algebraische Struktur und Topologie machen es zu einer Lie-Gruppe , einer Art topologischer Gruppe .

Siehe auch

Verweise

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