Äquivalente Definitionen mathematischer Strukturen - Equivalent definitions of mathematical structures

In der Mathematik werden äquivalente Definitionen auf zwei etwas unterschiedliche Weisen verwendet. Erstens kann innerhalb einer bestimmten mathematischen Theorie (z. B. Euklidische Geometrie ) ein Begriff (z. B. Ellipse oder Minimalfläche ) mehr als eine Definition haben. Diese Definitionen sind im Kontext einer gegebenen mathematischen Struktur ( in diesem Fall euklidischer Raum ) äquivalent . Zweitens kann eine mathematische Struktur mehr als eine Definition haben (z. B. hat ein topologischer Raum mindestens sieben Definitionen ; ein geordneter Körper hat mindestens zwei Definitionen ).

Im ersten Fall bedeutet Äquivalenz zweier Definitionen, dass ein mathematisches Objekt (z. B. ein geometrischer Körper) genau dann eine Definition erfüllt, wenn es die andere Definition erfüllt.

Im letzteren Fall ist die Bedeutung der Äquivalenz (zwischen zwei Definitionen einer Struktur) komplizierter, da eine Struktur abstrakter ist als ein Objekt. Viele verschiedene Objekte können dieselbe Struktur implementieren.

Isomorphe Implementierungen

Natürliche Zahlen können implementiert werden als 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {0, 1} = {{ }, {{ }}}, 3 = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} und so weiter; oder alternativ als 0 = { }, 1 = {0} ={{ }}, 2 = {1} = {{{ }}} und so weiter. Dies sind zwei verschiedene, aber isomorphe Implementierungen natürlicher Zahlen in der Mengenlehre. Sie sind isomorph als Modelle der Peano Axiome , das heißt, Tripel ( N , 0, S ) , wobei N ein Satz ist, 0 ein Element von N und S (die gerufene Nachfolgefunktion eine Karte) N zu sich selbst (befriedigend geeigneten Bedingungen ). In der ersten Implementierung ist S ( n ) = n { n }; in der zweiten Implementierung S ( n ) = { n }. Wie in Benacerrafs Identifikationsproblem betont , unterscheiden sich die beiden Implementierungen in ihrer Antwort auf die Frage, ob 0 ∈ 2; bei natürlichen Zahlen ist dies jedoch keine berechtigte Frage (da die Relation ∈ nicht durch die entsprechende(n) Signatur(en) vorgegeben ist, siehe nächster Abschnitt). Ebenso werden unterschiedliche, aber isomorphe Implementierungen für komplexe Zahlen verwendet .

Abgeleitete Strukturen und Kryptomorphismen

Die Nachfolgefunktion S auf natürlichen Zahlen führt zu arithmetischen Operationen , Addition und Multiplikation und der Gesamtordnung, wodurch N eine geordnete Halbringstruktur erhält . Dies ist ein Beispiel für eine abgeleitete Struktur. Die geordnete Halbringstruktur ( N , +, ·, ≤) wird aus der Peano-Struktur ( N , 0, S ) nach folgendem Verfahren abgeleitet: n + 0 = n ,   m + S ( n ) = S ( m + n ) ,   m · 0 = 0 ist ,   m · S ( n ) = m + ( m · n ) und m ≤ n , wenn und nur wenn es vorhanden ist k ∈ N , so dass m + k = n . Umgekehrt wird die Peano-Struktur aus der geordneten Halbringstruktur wie folgt abgeleitet: S ( n ) = n + 1 und 0 ist definiert durch 0 + 0 = 0. Das bedeutet, dass die beiden Strukturen auf N äquivalent sind durch die zwei Verfahren.

Die beiden im vorigen Abschnitt erwähnten isomorphen Implementierungen natürlicher Zahlen sind als Tripel ( N ,0, S ) isomorph , d. h. als Strukturen gleicher Signatur (0, S ) bestehend aus einem konstanten Symbol 0 und einer unären Funktion S . Eine geordnete Halbringstruktur ( N , +, ·, ≤) hat eine andere Signatur (+, ·, ≤), die aus zwei binären Funktionen und einer binären Relation besteht. Der Begriff des Isomorphismus gilt nicht für Strukturen mit unterschiedlichen Signaturen. Insbesondere kann eine Peano-Struktur nicht zu einem geordneten Halbring isomorph sein. Ein von einer Peano-Struktur abgeleiteter geordneter Halbring kann jedoch zu einem anderen geordneten Halbring isomorph sein. Eine solche Beziehung zwischen Strukturen unterschiedlicher Signaturen wird manchmal als Kryptomorphismus bezeichnet .

Ambiente-Frameworks

Eine Struktur kann innerhalb einer Mengentheorie ZFC oder einer anderen Mengentheorie wie NBG , NFU , ETCS implementiert werden . Alternativ kann eine Struktur , die im Rahmen der behandelt werden Logik erster Ordnung , Logik zweiter Ordnung , Logik höherer Ordnung , eine Art Theorie , Homotopietyp Theorie usw.

Strukturen nach Bourbaki

"Mathematik [...] kann nicht vollständig mit einem einzigen Konzept wie der mathematischen Struktur erklärt werden. Trotzdem ist Bourbakis strukturalistischer Ansatz der beste, den wir haben." ( Pudlák 2013 , Seite 3)
„So offensichtlich der Begriff der mathematischen Struktur heutzutage erscheinen mag, wurde er zumindest erst Mitte des 20 explizit" ( nLab ).

Nach Bourbaki besteht die Mengenskala auf einer gegebenen Menge X aus allen Mengen, die sich aus X ergeben, indem man kartesische Produkte und Potenzmengen in beliebiger Kombination endlich oft nimmt. Beispiele: X ; X × X ; P ( X ); P ( P ( X × X )× X × P ( P ( X )))× X . (Hier ist A × B das Produkt von A und B , und P ( A ) ist die Potenz von A .) Insbesondere ein Paar (0, S ) bestehend aus einem Element 0 ∈ N und einer unären Funktion S  : N → N gehört zu N × P ( N × N ) (da eine Funktion eine Teilmenge des kartesischen Produkts ist ). Ein Tripel (+, ·, ) bestehend aus zwei binären Funktionen N × N → N und einer binären Relation auf N gehört zu P ( N × N × N ) × P ( N × N × N ) × P ( N × N ). Ebenso gehört jede algebraische Struktur auf einer Menge zu der entsprechenden Menge in der Mengenskala auf X .

Nichtalgebraische Strukturen auf einer Menge X beinhalten oft Mengen von Teilmengen von X (dh Teilmengen von P ( X ), mit anderen Worten, Elemente von P ( P ( X ))). Zum Beispiel wird die Struktur eines topologischen Raums , eine Topologie auf X genannt , als Menge der "offenen" Mengen behandelt ; oder die Struktur eines messbaren Raums, behandelt als die σ-Algebra von "messbaren" Mengen; beide sind Elemente von P ( P ( X )). Das sind Strukturen zweiter Ordnung.

Kompliziertere nicht-algebraische Strukturen kombinieren eine algebraische Komponente und eine nicht-algebraische Komponente. Die Struktur einer topologischen Gruppe besteht beispielsweise aus einer Topologie und der Struktur einer Gruppe. Es gehört also zum Produkt von P ( P ( X )) und einer anderen ("algebraischen") Menge in der Skala; Dieses Produkt ist wieder ein Set in der Waage.

Transport von Bauwerken; Isomorphismus

Hauptartikel: Transport der Struktur

Bei zwei Mengen X , Y und einer Bijektion f  : X → Y konstruiert man die entsprechenden Bijektionen zwischen Skalenmengen. Die Bijektion X × X → Y × Y sendet nämlich ( x 1 , x 2 ) an ( f ( x 1 ), f ( x 2 )); die Bijektion P ( X ) → P ( Y ) schickt eine Teilmenge A von X in ihr Bild f ( A ) in Y ; und so weiter, rekursiv: eine Skalenmenge, die entweder ein Produkt von Skalenmengen oder eine Potenzmenge einer Skalenmenge ist, trifft eine der beiden Konstruktionen zu.

Seien ( X , U ) und ( Y , V ) zwei Strukturen derselben Signatur. Dann gehört U zu einer Skalenmenge S X und V gehört zu der entsprechenden Skalenmenge S Y . Mit der Bijektion F  : S X → S Y konstruiert aus einer Bijektion f  : X → Y definiert man:

f ist ein Isomorphismus zwischen ( X , U ) und ( Y , V ) falls F ( U ) = V .

Dieser allgemeine Begriff des Isomorphismus verallgemeinert viele weniger allgemeine Begriffe, die unten aufgelistet sind.

Tatsächlich schreibt Bourbaki zwei zusätzliche Funktionen vor. Erstens können mehrere Mengen X 1 , ..., X n (sogenannte Hauptbasismengen) anstelle einer einzelnen Menge X verwendet werden . Diese Funktion ist jedoch von geringem Nutzen. Alle oben aufgeführten Elemente verwenden einen einzigen Hauptbasissatz. Zweitens können sogenannte Hilfsbasissätze E 1 , ..., E m verwendet werden. Diese Funktion wird häufig verwendet. Tatsächlich verlangt die Struktur eines Vektorraums nicht nur die Addition X × X → X, sondern auch die Skalarmultiplikation R × X → X (wenn R der Körper der Skalare ist). Somit ist R eine Hilfsbasismenge (auch "extern" genannt). Die Mengenskala besteht aus allen Mengen, die sich aus allen Basismengen (sowohl Haupt- als auch Hilfsmengen) ergeben, indem man kartesische Produkte und Potenzmengen nimmt. Dennoch wirkt die Abbildung f (möglicherweise ein Isomorphismus) nur auf X ; Hilfsmengen werden durch Identitätskarten ausgestattet. (Der Fall von n Hauptmengen führt jedoch zu n Abbildungen.)

Funktionalität

Einige von Bourbaki formulierte Aussagen, die keine Kategorien erwähnen, lassen sich ohne weiteres in der Sprache der Kategorientheorie umformulieren . Zunächst einige Begrifflichkeiten.

  • Der Maßstab der Sets ist durch "Echelon Construction Schemes", auch "Typen" genannt, indiziert. Man kann sich beispielsweise die Menge P ( P ( X × X ) × X × P ( P ( X ))) × X als eine Menge X vorstellen, die in die Formel " P ( P ( a × a ) × a × P ( P ( a ))) × a " für die Variable a ; diese Formel ist das entsprechende Stufenkonstruktionsschema. (Dieser für alle Strukturen definierte Begriff kann als Verallgemeinerung der nur für algebraische Strukturen definierten Signatur betrachtet werden.)
  • Sei Set* das Gruppoid von Mengen und Bijektionen. Das heißt, die Kategorie, deren Objekte (alle) Mengen sind, und Morphismen sind (alle) Bijektionen.

Vorschlag. Jedes Stufenkonstruktionsschema führt zu einem Funktor von Set* zu sich selbst.

Insbesondere wirkt die Permutationsgruppe einer Menge X auf jede Skalenmenge S X .

Um einen weiteren Vorschlag zu formulieren, wird der Begriff "Bauwerksart" benötigt, da das Staffelbauschema nur vorläufige Informationen über ein Bauwerk gibt. Kommutative Gruppen und (willkürliche) Gruppen sind beispielsweise zwei verschiedene Arten desselben Stufenkonstruktionsschemas. Ein weiteres Beispiel: topologische Räume und messbare Räume. Sie unterscheiden sich im sogenannten Axiom der Arten. Dieses Axiom ist die Konjunktion aller erforderlichen Eigenschaften, wie zum Beispiel "Multiplikation ist assoziativ" für Gruppen oder "die Vereinigung offener Mengen ist eine offene Menge" für topologische Räume.

  • Eine Art von Strukturen besteht aus einem Stufenkonstruktionsschema und einem Axiom der Art.

Vorschlag. Jede Strukturart führt zu einem Funktor von Set* zu sich selbst.

Beispiel. Für die Arten von Gruppen bildet der Funktor F eine Menge X auf die Menge F ( X ) aller Gruppenstrukturen auf X ab . Für die Art der topologischen Räume bildet der Funktor F eine Menge X auf die Menge F ( X ) aller Topologien auf X ab . Der Morphismus F ( f ) : F ( X ) → F ( Y ) entsprechend einer Bijektion f  : X → Y ist der Transport von Strukturen. Topologien auf Y entsprechen bijektiv Topologien auf X . Gleiches gilt für Gruppenstrukturen etc.

Insbesondere ist die Menge aller Strukturen einer bestimmten Spezies auf einer bestimmten Menge invariant unter der Wirkung der Permutationsgruppe auf die entsprechende Skalenmenge S X und ist ein Fixpunkt der Wirkung der Gruppe auf eine andere Skalenmenge P ( S X ). Jedoch entsprechen nicht alle Fixpunkte dieser Aktion Arten von Strukturen.

Bei zwei Arten definiert Bourbaki den Begriff "Ableitungsverfahren" (einer Struktur der zweiten Art aus einer Struktur der ersten Art). Ein Paar wechselseitig inverser Deduktionsverfahren führt zu dem Begriff "gleichwertige Spezies".

Beispiel. Die Struktur eines topologischen Raums kann als offene Mengentopologie oder alternativ als geschlossene Mengentopologie definiert werden . Die beiden entsprechenden Deduktionsverfahren fallen zusammen; jede ersetzt alle gegebenen Teilmengen von X durch ihre Komplemente . In diesem Sinne sind dies zwei gleichwertige Arten.

In der allgemeinen Definition von Bourbaki kann das Deduktionsverfahren eine Änderung der Hauptbasismenge(n) umfassen, aber dieser Fall wird hier nicht behandelt. In der Sprache der Kategorientheorie hat man folgendes Ergebnis.

Vorschlag. Äquivalenz zwischen zwei Arten von Strukturen führt zu einem natürlichen Isomorphismus zwischen den entsprechenden Funktoren.

Im Allgemeinen entsprechen jedoch nicht alle natürlichen Isomorphismen zwischen diesen Funktoren Äquivalenzen zwischen den Arten.

Mathematische Praxis

"Wir unterscheiden oft nicht isomorphe Strukturen und sagen oft, dass ' zwei Strukturen bis auf Isomorphie gleich sind ' ."
"Bei der Untersuchung von Strukturen interessiert uns nur ihre Form, aber wenn wir ihre Existenz beweisen, müssen wir sie konstruieren."
"Mathematiker sind natürlich daran gewöhnt, isomorphe Strukturen in der Praxis zu identifizieren, aber sie tun dies im Allgemeinen durch "Mißbrauch der Notation" oder eine andere informelle Methode, da sie wissen, dass die beteiligten Objekte nicht "wirklich" identisch sind." (Ein radikal besserer Ansatz wird erwartet; aber im Moment, Sommer 2014, geht das oben zitierte definitive Buch nicht auf Strukturen ein.)

In der Praxis macht man keinen Unterschied zwischen äquivalenten Arten von Strukturen.

Normalerweise gibt ein Text, der auf natürlichen Zahlen basiert (zum Beispiel der Artikel „ Primzahl “), nicht die verwendete Definition der natürlichen Zahlen an. Ebenso gibt ein Text, der auf topologischen Räumen basiert (zum Beispiel der Artikel „ Homotopie “, oder „ induktive Dimension “), nicht die verwendete Definition eines topologischen Raums an. Somit ist es möglich (und eher wahrscheinlich), dass Leser und Autor den Text nach unterschiedlichen Definitionen unterschiedlich interpretieren. Dennoch ist die Kommunikation erfolgreich, so dass solche unterschiedlichen Definitionen als gleichwertig angesehen werden können.

Eine Person, die mit topologischen Räumen vertraut ist, kennt grundlegende Beziehungen zwischen Nachbarschaften, Konvergenz, Stetigkeit, Grenze, Abschluss, Innenraum, offenen Mengen, abgeschlossenen Mengen und muss nicht wissen, dass einige dieser Begriffe "primär" sind, die in der Definition von a . festgelegt sind topologischen Raum, während andere "sekundär" sind, charakterisiert durch "primäre" Begriffe. Darüber hinaus ist die Person in dem Wissen, dass Teilmengen eines topologischen Raums selbst topologische Räume sowie Produkte topologischer Räume sind, in der Lage, unabhängig von der Definition einige neue topologische Räume zu konstruieren.

Somit wird in der Praxis eine Topologie auf einer Menge wie ein abstrakter Datentyp behandelt , der alle benötigten Begriffe (und Konstruktoren ) bereitstellt, aber die Unterscheidung zwischen "primären" und "sekundären" Begriffen verbirgt. Das gleiche gilt für andere Arten von mathematischen Strukturen. "Interessanterweise ist die Formalisierung von Strukturen in der Mengenlehre eine ähnliche Aufgabe wie die Formalisierung von Strukturen für Computer."

Kanonisch, nicht nur natürlich

Wie bereits erwähnt, führt die Äquivalenz zwischen zwei Arten von Strukturen zu einem natürlichen Isomorphismus zwischen den entsprechenden Funktoren. „ natürlich “ bedeutet jedoch nicht „ kanonisch “. Eine natürliche Transformation ist im Allgemeinen nicht eindeutig.

Beispiel. Betrachten Sie noch einmal die beiden äquivalenten Strukturen für natürliche Zahlen. Eine ist die "Peano-Struktur" (0, S ), die andere ist die Struktur (+, ·, ) eines geordneten Halbrings. Ist eine Menge X mit beiden Strukturen ausgestattet, dann ist einerseits X = { a 0 , a 1 , a 2 , ... } wobei S ( a n ) = a n +1 für alle n und 0 = a 0 ; und andererseits X = { b 0 , b 1 , b 2 , ...} , wobei B m + n = b m + b n , b m · n = b m · b n und b m ≤ b n , wenn und nur wenn m ≤ n . Unter der Voraussetzung, dass a n = b n für alle n ist , erhält man die kanonische Äquivalenz zwischen den beiden Strukturen. Man kann jedoch auch a 0 = b 1 , a 1 = b 0 und a n = b n für alle n > 1 verlangen , wodurch man einen anderen, nicht-kanonischen, natürlichen Isomorphismus erhält. Außerdem führt jede Permutation der Indexmenge { 0, 1, 2, ... } zu einem natürlichen Isomorphismus; es sind unzählig viele!

Ein anderes Beispiel. Eine Struktur eines (einfachen) Graphen auf einer Menge V = { 1, 2, ..., n } von Knoten kann durch seine Adjazenzmatrix beschrieben werden , eine (0,1)-Matrix der Größe n × n ( mit Nullen auf der Diagonale). Allgemeiner kann für beliebiges V eine Adjazenzfunktion auf V × V verwendet werden. Die kanonische Äquivalenz ergibt sich aus der Regel: "1" bedeutet "verbunden" (mit einer Kante), "0" bedeutet "nicht verbunden". Eine andere Regel, "0" bedeutet jedoch "verbunden", "1" bedeutet "nicht", kann verwendet werden und führt zu einer anderen, natürlichen, aber nicht kanonischen Äquivalenz. In diesem Beispiel ist Kanonizität eher eine Frage der Konvention. Aber hier ist ein schlimmer Fall. Anstelle von "0" und "1" kann man beispielsweise die beiden möglichen Orientierungen der Ebene R 2 ("im Uhrzeigersinn" und "gegen den Uhrzeigersinn") verwenden. In diesem Fall ist es schwierig, eine kanonische Regel zu wählen!

"Natürlich" ist ein wohldefinierter mathematischer Begriff, der jedoch keine Eindeutigkeit gewährleistet. "Canonical" tut es, ist aber im Allgemeinen mehr oder weniger konventionell. Eine konsequente Wahl kanonischer Äquivalenzen ist ein unvermeidlicher Bestandteil äquivalenter Definitionen mathematischer Strukturen.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Technisch gesehen ist "0 ∈ 2" ein Beispiel für eine nicht transportierbare Relation, siehe Bourbaki 1968 , Abschnitt IV.1.3, Marshall & Chuaqui 1991 .
  2. ^ Eine vernünftige Wahl eines Umgebungsrahmens sollte die grundlegenden Eigenschaften einer Struktur nicht verändern, kann jedoch die Beweisbarkeit von feineren Eigenschaften verändern. Zum Beispiel sind einige Sätze über die natürlichen Zahlen in der Mengenlehre (und einigen anderen starken Systemen) beweisbar, aber in der Logik erster Ordnung nicht beweisbar; siehe Satz von Paris-Harrington und Satz von Goodstein . Entsprechendes gilt für die Bestimmbarkeit; siehe zum Beispiel den Undefinierbarkeitssatz von Tarski .
  3. ^ Um formaler zu sein, kodiert Bourbaki solche Formeln mit Folgen von geordneten Paaren natürlicher Zahlen.
  4. ^ Einerseits ist es möglich, die kartesischen Produkte auszuschließen,indemman ein Paar ( x , y ) nur als die Menge {{ x },{ x , y }} behandelt. Andererseits ist es möglich, die Setzoperation X , Y -> Y X (alle Funktionen von X bis Y ) einzuschließen . "Es ist möglich, die Sache zu vereinfachen, indem man Operationen und Funktionen als eine besondere Art von Relationen betrachtet (eine binäre Operation ist beispielsweise eine ternäre Relation). Es ist jedoch oft von Vorteil, Operationen als primitives Konzept zu haben." Pudlák 2013 , Seite 17
  5. ^ Die Menge aller möglichen Axiome von Arten ist abzählbar , während die Menge aller Fixpunkte der betrachteten Aktion abzählbar sein kann. Tarskis „ logische Begriffe höherer Ordnung “ sind näher an Fixpunkten als an Arten von Strukturen, siehe Feferman 2010 und Referenzen daraus.
  6. ^ Die Menge aller möglichen Deduktionsverfahren ist abzählbar, während die Menge aller natürlichen Isomorphismen zwischen den betrachteten Funktoren abzählbar sein kann (siehe ein Beispiel in Abschnitt #Canonical, not just natural ).

Fußnoten

Verweise

  • Pudlák, Pavel (2013), Logische Grundlagen der Mathematik und Rechenkomplexität. Eine sanfte Einführung , Springer.
  • Bourbaki, Nicolas (1968), Elemente der Mathematik: Mengenlehre , Hermann (Original), Addison-Wesley (Übersetzung).

Weiterlesen

Externe Links