Mischen (Mathematik) - Mixing (mathematics)

Wiederholtes Aufbringen der Bäckerkarte auf rot und blau gefärbte Punkte, zunächst getrennt. Die Bäckerkarte wird gemischt, wobei die roten und blauen Punkte nach mehreren Iterationen vollständig gemischt werden.

In Mathematik , Mischen ist ein abstraktes Konzept mit Ursprung aus der Physik : der Versuch , die irreversibel zu beschreiben thermodynamischen Prozess der Vermischung in der Alltagswelt: Mischen von Farbe, Mischen Getränke, industriellen Misch , etc .

Das Konzept erscheint in der Ergodentheorie - der Untersuchung stochastischer Prozesse und messungserhaltender dynamischer Systeme . Es gibt verschiedene Definitionen für das Mischen, einschließlich starkes Mischen , schwaches Mischen und topologisches Mischen , wobei für das letzte keine Definition eines Maßes erforderlich ist . Einige der verschiedenen Definitionen des Mischens können in einer hierarchischen Reihenfolge angeordnet werden. Starkes Mischen impliziert daher ein schwaches Mischen. Darüber hinaus impliziert schwaches Mischen (und damit auch starkes Mischen) Ergodizität : Das heißt, jedes System, das schwach mischt, ist auch ergodisch (und so sagt man, dass Mischen ein "stärkerer" Begriff als Ergodizität ist).

Informelle Erklärung

Die mathematische Definition des Mischens zielt darauf ab, den gewöhnlichen täglichen Mischprozess zu erfassen, wie das Mischen von Farben, Getränken, Kochzutaten, industrielles Mischen von Prozessen , Rauch in einem mit Rauch gefüllten Raum und so weiter. Um die mathematische Genauigkeit zu gewährleisten, beginnen solche Beschreibungen mit der Definition eines maßerhaltenden dynamischen Systems , geschrieben als . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$

Unter dem Satz wird der gesamte zu füllende Raum verstanden: die Rührschüssel, der mit Rauch gefüllte Raum usw. Unter dem Maß wird das natürliche Volumen des Raums und seiner Unterräume definiert. Die Sammlung von Teilräumen wird mit bezeichnet , und die Größe einer bestimmten Teilmenge ist ; Die Größe ist das Volumen. Naiv könnte man sich vorstellen , die Macht zu sein ; Dies funktioniert nicht ganz, da nicht alle Teilmengen eines Raums ein Volumen haben (bekanntlich das Banach-Tarski-Paradoxon ). Herkömmlicherweise besteht es also aus den messbaren Teilmengen - den Teilmengen, die ein Volumen haben. Es wird immer davon ausgegangen, dass es sich um eine Borel-Menge handelt - die Sammlung von Teilmengen, die durch Überschneiden , Vereinigen und Ergänzen von Mengen erstellt werden können . Diese können immer als messbar angesehen werden. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle A \ subset X}$${\ displaystyle \ mu (A)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch eine Karte beschrieben . Bei einer bestimmten Teilmenge ist die Karte im Allgemeinen eine deformierte Version von - sie wird gequetscht oder gedehnt, gefaltet oder in Stücke geschnitten. Mathematische Beispiele sind die Bäckerkarte und die Hufeisenkarte , die beide vom Brotbacken inspiriert sind. Das Set muss das gleiche Volumen haben wie ; Das Quetschen / Dehnen verändert nicht das Volumen des Raumes, sondern nur seine Verteilung. Ein solches System ist "maßerhaltend" (flächenerhaltend, volumenerhaltend). ${\ displaystyle T: X \ bis X}$${\ displaystyle A \ subset X}$${\ displaystyle T (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T (A)}$${\ displaystyle A}$

Eine formale Schwierigkeit entsteht, wenn man versucht, das Volumen der Mengen mit der Notwendigkeit in Einklang zu bringen, ihre Größe unter einer Karte beizubehalten. Das Problem tritt auf, weil im Allgemeinen mehrere verschiedene Punkte in der Domäne einer Funktion demselben Punkt in ihrem Bereich zugeordnet werden können. das heißt, es kann mit sein . Schlimmer noch, ein einzelner Punkt hat keine Größe. Diese Schwierigkeiten können durch Arbeiten mit der inversen Karte vermieden werden . Es ordnet jede gegebene Teilmenge den Teilen zu, die zusammengesetzt wurden, um sie herzustellen: Diese Teile sind . Es hat die wichtige Eigenschaft, nicht den Überblick darüber zu verlieren, woher die Dinge kamen. Stärker hat es die wichtige Eigenschaft, dass jede (maßerhaltende) Karte die Umkehrung einer Karte ist . Die richtige Definition einer volumenerhaltende Abbildung ist ein , für die , weil alle Teile-Teile beschrieben , die herkam. ${\ displaystyle x \ neq y}$${\ displaystyle T (x) = T (y)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle T ^ {- 1}: {\ mathcal {A}} \ bis {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A \ subset X}$${\ displaystyle T ^ {- 1} (A) \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X \ to X}$${\ displaystyle \ mu (A) = \ mu (T ^ {- 1} (A))}$${\ displaystyle T ^ {- 1} (A)}$${\ displaystyle A}$

Man ist jetzt daran interessiert, die zeitliche Entwicklung des Systems zu untersuchen. Wenn ein Set über einen längeren Zeitraum hinweg alle Besuche durchführt (d. H. Wenn sich alle großen Objekte nähern ), wird das System als ergodisch bezeichnet . Wenn sich jede Menge auf diese Weise verhält, ist das System ein konservatives System , das im Gegensatz zu einem dissipativen System steht , bei dem einige Teilmengen wegwandern und niemals zurückgegeben werden. Ein Beispiel wäre Wasser, das bergab läuft - wenn es einmal heruntergekommen ist, wird es nie wieder hochkommen. Der See, der sich am Grund dieses Flusses bildet, kann sich jedoch gut vermischen. Der ergodische Zerlegungssatz besagt, dass jedes ergodische System in zwei Teile geteilt werden kann: den konservativen Teil und den dissipativen Teil. ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ cup _ {k = 1} ^ {n} T ^ {k} (A)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Mischen ist eine stärkere Aussage als Ergodizität. Beim Mischen muss diese ergodische Eigenschaft zwischen zwei beliebigen Sätzen und nicht nur zwischen einigen Sätzen und liegen . Das heißt, wenn zwei Sätze gegeben sind , wird ein System als (topologisch) mischend bezeichnet, wenn es eine ganze Zahl gibt, so dass für alle und man diese hat . Hier bezeichnet Set-Schnittpunkt und ist die leere Menge . ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle n> N}$${\ displaystyle T ^ {n} (A) \ cap B \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle \ cap}$${\ displaystyle \ varnothing}$

Die obige Definition des topologischen Mischens sollte ausreichen, um eine informelle Vorstellung vom Mischen zu vermitteln (sie entspricht der unten angegebenen formalen Definition). Das Volumen von und wurde jedoch nicht erwähnt , und tatsächlich gibt es eine andere Definition, die explizit mit dem Volumen funktioniert. Eigentlich mehrere; man hat sowohl starkes Mischen als auch schwaches Mischen; Sie sind nicht äquivalent, obwohl ein starkes Mischsystem immer schwach mischt. Die messungsbasierten Definitionen sind nicht mit der Definition der topologischen Vermischung kompatibel: Es gibt Systeme, bei denen es sich um das eine, aber nicht um das andere handelt. Die allgemeine Situation bleibt trübe: Beispielsweise kann man bei drei Sätzen das 3-Mischen definieren. Ab 2020 ist nicht bekannt, ob 2-Mischen 3-Mischen impliziert. (Wenn man Ergodizität als "1-Mischen" betrachtet, dann ist klar, dass 1-Mischen nicht 2-Mischen bedeutet; es gibt Systeme, die ergodisch sind, aber nicht mischen.) ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A, B, C \ in {\ mathcal {A}}}$

Das Konzept des starken Mischens bezieht sich auf das Volumen eines Paares von Sätzen. Stellen Sie sich zum Beispiel einen Satz farbiger Farbstoffe vor, die in eine Tasse einer Art klebriger Flüssigkeit gemischt werden, beispielsweise Maissirup oder Shampoo oder dergleichen. Die praktische Erfahrung zeigt, dass das Mischen von klebrigen Flüssigkeiten ziemlich schwierig sein kann: Es gibt normalerweise eine Ecke des Behälters, in die es schwierig ist, den Farbstoff zu mischen. Wählen Sie diese schwer zugängliche Ecke aus. Die Frage des Mischens ist dann, ob es nach einer ausreichend langen Zeitspanne nicht nur in das gleiche Verhältnis eindringen, sondern es auch füllen kann, wie es anderswo der Fall ist. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

Man formuliert die Definition von starkem Mischen als die Anforderung, dass

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (T ^ {- n} A \ cap B \ right) = \ mu (A) \ mu (B).}$

Der Zeitparameter dient zum Trennen und in der Zeit, so dass man mischt, während das Testvolumen festgehalten wird. Das Produkt ist etwas subtiler. Stellen Sie sich vor, dass das Volumen 10% des Gesamtvolumens beträgt und dass das Farbstoffvolumen auch 10% der Gesamtsumme beträgt . Wenn es gleichmäßig verteilt ist, nimmt es 10% ein , was selbst 10% der Gesamtmenge ausmacht, und so beträgt der Teil davon nach dem Mischen am Ende 1% des Gesamtvolumens. Das heißt, dieses Volumenprodukt hat mehr als nur Ähnlichkeit mit dem Bayes-Theorem in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten; Dies ist kein Zufall, sondern eine Folge davon, dass Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie dieselbe Theorie sind: Sie haben dieselben Axiome (die Kolmogorov-Axiome ), auch wenn sie unterschiedliche Notationen verwenden. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mu (A) \ mu (B)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mu \ left ({\ mbox {nach dem Mischen}} (A) \ cap B \ right) = \ mu (A) \ mu (B).}$

Der Grund für die Verwendung anstelle von in der Definition ist etwas subtil, aber er folgt aus denselben Gründen, warum das Konzept einer maßerhaltenden Karte definiert wurde. Wenn man sich ansieht, wie viel Farbstoff in die Ecke gemischt wurde , möchte man sehen, woher dieser Farbstoff "kam" (vermutlich wurde er irgendwann in der Vergangenheit oben hineingegossen). Man muss sicher sein, dass jeder Ort, von dem es "gekommen" sein könnte, irgendwann vermischt wird . ${\ displaystyle T ^ {- n} A}$${\ displaystyle T ^ {n} A}$${\ displaystyle T ^ {- 1} A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

Mischen in dynamischen Systemen

Sei ein messungserhaltendes dynamisches System , wobei T der Zeitentwicklungs- oder Schichtoperator ist . Das System soll ein starkes Mischen sein, wenn es eines gibt ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (A \ cap T ^ {- n} B \ right) = \ mu (A) \ mu (B).}$

Für Verschiebungen durch eine kontinuierliche Variable anstelle eines diskreten ganzzahligen parametrisiert n die gleiche Definition gilt, mit Fassung mit g die kontinuierlichen Zeitparameter ist. ${\ displaystyle T ^ {- n}}$${\ displaystyle T_ {g}}$

Ein dynamisches System wird als schwaches Mischen bezeichnet, wenn man es hat

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left | \ mu (A \ cap T ^ {- k} B) - \ mu (A) \ mu (B) \ rechts | = 0.}$

Mit anderen Worten, ist starkes Mischen, wenn im üblichen Sinne, schwaches Mischen, wenn ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mu (A \ cap T ^ {- n} B) - \ mu (A) \ mu (B) \ bis 0}$

${\ displaystyle \ left | \ mu (A \ cap T ^ {- n} B) - \ mu (A) \ mu (B) \ right | \ bis 0,}$

im Cesàro- Sinne und ergodisch im Cesàro-Sinne. Starkes Mischen impliziert daher schwaches Mischen, was Ergodizität impliziert. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall: Es gibt ergodische dynamische Systeme, die sich nicht schwach mischen, und schwache mischende dynamische Systeme, die sich nicht stark mischen. Das Chacon-System war historisch gesehen das erste Beispiel für ein System, das schwach mischt, aber nicht stark mischt. ${\ displaystyle \ mu \ left (A \ cap T ^ {- n} B \ right) \ to \ mu (A) \ mu (B)}$

${\ displaystyle L ^ {2}}$ Formulierung

Die Eigenschaften der Ergodizität, des schwachen Mischens und des starken Mischens eines messungserhaltenden dynamischen Systems können auch durch den Durchschnitt der beobachtbaren Größen charakterisiert werden. Nach dem ergodischen Theorem von Neumann entspricht die Ergodizität eines dynamischen Systems der Eigenschaft, dass die Sequenz für jede Funktion stark und im Sinne von Cesàro konvergiert , dh ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$${\ displaystyle f \ in L ^ {2} (X, \ mu)}$${\ displaystyle (f \ circ T ^ {n}) _ {n \ geq 0}}$${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ | {1 \ over N} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} f \ circ T ^ {n} - \ int _ { X} f \, d \ mu \ right \ | _ {L ^ {2} (X, \ mu)} = 0.}$

Ein dynamisches System mischt sich schwach, wenn für irgendwelche Funktionen und ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g \ in L ^ {2} (X, \ mu),}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} \ left | \ int _ {X} f \ circ T ^ {n} \ cdot gd \ mu - \ int _ {X} f \, d \ mu \ cdot \ int _ {X} g \, d \ mu \ right | = 0.}$

Ein dynamisches System mischt sich stark, wenn für eine Funktion die Sequenz schwach konvergiert, dh für eine Funktion ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$${\ displaystyle f \ in L ^ {2} (X, \ mu),}$${\ displaystyle (f \ circ T ^ {n}) _ {n \ geq 0}}$${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu,}$${\ displaystyle g \ in L ^ {2} (X, \ mu),}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} f \ circ T ^ {n} \ cdot g \, d \ mu = \ int _ {X} f \, d \ mu \ cdot \ int _ {X} g \, d \ mu.}$

Da angenommen wird, dass das System messungserhaltend ist, entspricht diese letzte Zeile der Aussage, dass die Kovarianz, so dass die Zufallsvariablen und orthogonal werden, wenn sie wächst. Da dies für jede Funktion funktioniert , kann man das Mischen informell als die Eigenschaft betrachten, dass die Zufallsvariablen mit zunehmendem Wachstum unabhängig werden . ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {Cov} (f \ circ T ^ {n}, g) = 0,}$${\ displaystyle f \ circ T ^ {n}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g,}$${\ displaystyle f \ circ T ^ {n}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$

Produkte dynamischer Systeme

Gegeben seien zwei gemessenen dynamischen Systemen und man kann ein dynamisches System konstruieren , auf das kartesische Produkt durch Definieren wir dann die folgenden Charakterisierungen von schwachen Durchmischung haben: ${\ displaystyle (X, \ mu, T)}$${\ displaystyle (Y, \ nu, S),}$${\ displaystyle (X \ mal Y, \ mu \ otimes \ nu, T \ mal S)}$${\ Anzeigestil (T \ mal S) (x, y) = (T (x), S (y)).}$

Vorschlag. Ein dynamisches System mischt sich nur dann schwach, wenn für ein ergodisches dynamisches System das System auch ergodisch ist. ${\ displaystyle (X, \ mu, T)}$${\ displaystyle (Y, \ nu, S)}$${\ displaystyle (X \ mal Y, \ mu \ otimes \ nu, T \ mal S)}$

Vorschlag. Ein dynamisches System mischt sich genau dann schwach, wenn es auch ergodisch ist. Wenn dies der Fall ist, wird auch schwach gemischt. ${\ displaystyle (X, \ mu, T)}$${\ displaystyle (X ^ {2}, \ mu \ otimes \ mu, T \ times T)}$${\ displaystyle (X ^ {2}, \ mu \ otimes \ mu, T \ times T)}$

Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Definition wird manchmal als starkes 2-Mischen bezeichnet , um sie von höheren Mischungsordnungen zu unterscheiden. Ein starkes 3-Mischsystem kann als ein System definiert werden, für das

${\ displaystyle \ lim _ {m, n \ to \ infty} \ mu (A \ cap T ^ {- m} B \ cap T ^ {- mn} C) = \ mu (A) \ mu (B) \ mu (C)}$

gilt für alle meßbaren Mengen A , B , C . Wir können eine starke k-Mischung ähnlich definieren. Ein System, das für alle k  = 2,3,4, ... stark k - mischt , heißt Mischen aller Ordnungen .

Es ist nicht bekannt, ob ein starkes 2-Mischen ein starkes 3-Mischen impliziert. Es ist bekannt, dass eine starke m- Mischung Ergodizität impliziert .

Beispiele

Irrationale Rotationen des Kreises und allgemein irreduzible Übersetzungen auf einem Torus sind ergodisch, vermischen sich jedoch weder stark noch schwach in Bezug auf das Lebesgue-Maß.

Viele Karten als chaotisch gelten für einige gut gewählte invariant Maßnahme stark mischen, einschließlich: die Dyade Karte , Arnold Katze Karte , Hufeisen Karten , Kolmogorov automorphisms und der Anosov Fluss (die geodätische Strömung am Gerät Tangentialbündel von kompakten Verteiler von negativen Krümmung .)

Topologisches Mischen

Eine Form des Mischens kann ohne Berufung auf eine Maßnahme definiert werden , wobei nur die Topologie des Systems verwendet wird. Eine kontinuierliche Karte wird als topologisch transitiv bezeichnet, wenn für jedes Paar nicht leerer offener Mengen eine ganze Zahl n existiert, so dass ${\ displaystyle f: X \ to X}$ ${\ displaystyle A, B \ subset X}$

${\ displaystyle f ^ {n} (A) \ cap B \ neq \ varnothing}$

wo ist die n- te Iteration von f . In der Operatortheorie wird ein topologisch transitiv begrenzter linearer Operator (eine kontinuierliche lineare Karte auf einem topologischen Vektorraum ) üblicherweise als hyperzyklischer Operator bezeichnet . Eine verwandte Idee wird durch die wandernde Menge ausgedrückt . ${\ displaystyle f ^ {n}}$

Lemma: Wenn X ein vollständiger metrischer Raum ohne isolierten Punkt , dann f topologisch transitiv , wenn und nur wenn es einen gibt hyperzyklische Punkt , das heißt, ein Punkt x , so dass seine Umlaufbahn ist dicht in X . ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ {f ^ {n} (x): n \ in \ mathbb {N} \}}$

Ein System wird als topologisch mischend bezeichnet, wenn bei gegebenen offenen Mengen und einer ganzen Zahl N existiert , so dass man für alle eine hat ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle n> N}$

${\ displaystyle f ^ {n} (A) \ cap B \ neq \ varnothing.}$

Für ein zeitkontinuierliches System wird es durch den Fluss ersetzt , wobei g der kontinuierliche Parameter ist, mit der Anforderung, dass eine nicht leere Kreuzung für alle gilt . ${\ displaystyle f ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {g}}$${\ displaystyle \ Vert g \ Vert> N}$

Eine schwache topologische Mischung ist eine Mischung , die keine nicht konstanten kontinuierlichen (in Bezug auf die Topologie) Eigenfunktionen des Verschiebungsoperators aufweist.

Topologisches Mischen impliziert weder ein schwaches noch ein starkes Mischen und impliziert dies auch nicht: Es gibt Beispiele für Systeme, die schwach mischen, aber nicht topologisch mischen, und Beispiele, die topologisch mischen, aber nicht stark mischen.

Mischen in stochastischen Prozessen

Sei ein stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum . Der Sequenzraum, in den die Prozessabbildungen mit einer Topologie, der Produkttopologie, ausgestattet werden können . Die offenen Sätze dieser Topologie werden als Zylindersätze bezeichnet . Diese Zylindersätze erzeugen eine σ-Algebra , die Borel-σ-Algebra ; Dies ist die kleinste σ-Algebra, die die Topologie enthält. ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {- \ infty <t <\ infty}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$

Definieren Sie eine Funktion , die als starker Mischungskoeffizient bezeichnet wird , als ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha (s) = \ sup \ left \ {| \ mathbb {P} (A \ cap B) - \ mathbb {P} (A) \ mathbb {P} (B) |: - \ infty < t <\ infty, A \ in X _ {- \ infty} ^ {t}, B \ in X_ {t + s} ^ {\ infty} \ right \}}$

für alle . Das Symbol mit bezeichnet eine Sub-σ-Algebra der σ-Algebra; es ist die Menge von Zylindersätzen, die zwischen den Zeiten a und b spezifiziert sind , dh die durch erzeugte σ-Algebra . ${\ displaystyle - \ infty <s <\ infty}$${\ displaystyle X_ {a} ^ {b}}$${\ displaystyle - \ infty \ leq a \ leq b \ leq \ infty}$${\ displaystyle \ {X_ {a}, X_ {a + 1}, \ ldots, X_ {b} \}}$

Der Prozess soll stark mischen, wenn als . Das heißt, ein stark mischender Prozess ist derart, dass die Ereignisse vor der Zeit und die Ereignisse nach der Zeit auf eine Weise, die über alle Zeiten und alle Ereignisse hinweg einheitlich ist , dazu neigen, unabhängig zu sein als ; umgangssprachlicher vergisst der Prozess in einem starken Sinne seine Geschichte. ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {- \ infty <t <\ infty}}$${\ displaystyle \ alpha (s) \ to 0}$${\ displaystyle s \ to \ infty}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t + s}$${\ displaystyle s \ to \ infty}$

Mischen in Markov-Prozessen

Angenommen, es handelt sich um einen stationären Markov-Prozess mit stationärer Verteilung, und es wird der Raum der Borel-messbaren Funktionen bezeichnet, die in Bezug auf das Maß quadratisch integrierbar sind . Auch lassen ${\ displaystyle (X_ {t})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {t} \ varphi (x) = \ mathbb {E} [\ varphi (X_ {t}) \ mid X_ {0} = x]}$

bezeichnen den bedingten Erwartungsoperator auf Schließlich lassen Sie ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {Q}).}$

${\ displaystyle Z = \ left \ {\ varphi \ in L ^ {2} (\ mathbb {Q}): \ int \ varphi \, d \ mathbb {Q} = 0 \ right \}}$

bezeichnen den Raum quadratisch integrierbarer Funktionen mit dem Mittelwert Null.

Die ρ- Mischungskoeffizienten des Prozesses { x _t } sind

${\ displaystyle \ rho _ {t} = \ sup _ {\ varphi \ in Z: \, \ | \ varphi \ | _ {2} = 1} \ | {\ mathcal {E}} _ {t} \ varphi \ | _ {2}.}$

Der Prozess wird als ρ- Vermischung bezeichnet, wenn diese Koeffizienten als t → ∞ gegen Null konvergieren , und als ρ- Vermischung mit exponentieller Abklingrate, wenn ρ _t < e ^{- δt} für einige δ > 0 ist . Für einen stationären Markov-Prozess können die Koeffizienten ρ _t entweder mit einer Exponentialrate abfallen oder immer gleich eins sein.

Die α- Mischungskoeffizienten des Prozesses { x _t } sind

${\ displaystyle \ alpha _ {t} = \ sup _ {\ varphi \ in Z: \ | \ varphi \ | _ {\ infty} = 1} \ | {\ mathcal {E}} _ {t} \ varphi \ | _ {1}.}$

Der Prozess wird als α- Mischen bezeichnet, wenn diese Koeffizienten als t → ∞ gegen Null konvergieren. Wenn α _t < γe ^{- δt} für einige δ > 0 ist , ist es "α-Mischen mit exponentieller Abklingrate" , und es ist α-Mischen mit a subexponentielle Abklingrate, wenn α _t < ξ ( t ) für eine nicht ansteigende Funktion erfüllt ist ${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ ln \ xi (t)} {t}} \ bis 0}$

als . ${\ displaystyle t \ to \ infty}$

Die α- Mischungskoeffizienten sind immer kleiner als die ρ- Mischungskoeffizienten: α _t ≤ ρ _t . Wenn der Prozess also ρ- mischend ist, ist er notwendigerweise auch α- mischend. Wenn jedoch ρ _t = 1 ist , kann der Prozess immer noch eine α- Mischung mit einer subexponentiellen Abklingrate sein.

Die β- Mischungskoeffizienten sind gegeben durch

${\ displaystyle \ beta _ {t} = \ int \ sup _ {0 \ leq \ varphi \ leq 1} \ left | {\ mathcal {E}} _ {t} \ varphi (x) - \ int \ varphi \ , d \ mathbb {Q} \ right | \, d \ mathbb {Q}.}$

Der Prozess wird als β- Mischen bezeichnet, wenn diese Koeffizienten als t → ∞ gegen Null konvergieren. Er mischt sich mit einer exponentiellen Abklingrate, wenn β _t < γe ^{- δt} für einige δ > 0 ist , und mischt sich mit einem Sub -exponentielle Abklingrate, wenn β _t ξ ( t ) → 0 als t → ∞ für eine nicht ansteigende Funktion erfüllt ${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ ln \ xi (t)} {t}} \ bis 0}$

als . ${\ displaystyle t \ to \ infty}$

Ein streng stationärer Markov-Prozess ist genau dann eine β- Mischung, wenn es sich um eine aperiodisch wiederkehrende Harris-Kette handelt . Die β- Mischungskoeffizienten sind immer größer als die α- Mischungskoeffizienten. Wenn also ein Prozess β- mischend ist, ist er auch α- mischend. Es gibt keine direkte Beziehung zwischen β- Mischen und ρ- Mischen: keines von beiden impliziert das andere.

Verweise