Monoidring - Monoid ring

In der abstrakten Algebra ist ein Monoidring ein Ring, der aus einem Ring und einem Monoid aufgebaut ist , genauso wie ein Gruppenring aus einem Ring und einer Gruppe aufgebaut ist .

Definition

Sei R ein Ring und sei G ein Monoid. Der Monoidring oder die Monoidalgebra von G über R , bezeichnet mit R [ G ] oder RG , ist die Menge der formalen Summen , wobei für jedes und r _g = 0 für alle bis auf endlich viele g , ausgestattet mit koeffizientenweiser Addition, und die Multiplikation, bei der die Elemente von R mit den Elementen von G pendeln . Formal ist R [ G ] die Menge von Funktionen φ: G → R, so dass { g : φ ( g ) ≠ 0 } endlich ist, mit Addition von Funktionen ausgestattet ist und eine Multiplikation durch definiert ist ${\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} r_ {g} g}$ ${\ displaystyle r_ {g} \ in R}$ ${\ displaystyle g \ in G}$

{\ displaystyle (\ phi \ psi) (g) = \ sum _ {k \ ell = g} \ phi (k) \ psi (\ ell)}

.

Wenn G eine Gruppe ist , wird R [ G ] auch als Gruppenring von G über R bezeichnet .

Universelles Eigentum

Bei R und G gibt es einen Ringhomomorphismus α: R → R [ G ] , der jedes r an r 1 sendet (wobei 1 das Identitätselement von G ist ), und einen monoiden Homomorphismus β: G → R [ G ] (wobei der Letzteres wird als Monoid unter Multiplikation angesehen, das jedes g an 1 g sendet (wobei 1 die multiplikative Identität von R ist ). Wir haben, dass α ( r ) für alle r in R und g in G mit β ( g ) pendelt .

Die universelle Eigenschaft des Monoidrings besagt, dass bei gegebenem Ring S ein Ringhomomorphismus α ': R → S und ein Monoidhomomorphismus β': G → S zum multiplikativen Monoid von S gegeben sind , so dass α '( r ) mit pendelt β '( g ) für alle r in R und g in G gibt es einen einzigartigen Ringhomomorphismus γ: R [ G ] → S, so dass das Zusammensetzen von α und β mit γ α' und β 'erzeugt.

Augmentation

Die Augmentation ist der Ringhomomorphismus η : R [ G ] → R definiert durch

{\ displaystyle \ eta \ left (\ sum _ {g \ in G} r_ {g} g \ right) = \ sum _ {g \ in G} r_ {g}.}

Der Kern von η wird als Augmentationsideal bezeichnet . Es ist ein freies R - Modul mit einer Basis von 1 - g für alle g in G ungleich 1.

Beispiele

Bei einem Ring R und der (Zusatz) monoid der natürlichen Zahlen N (oder { x ⁿ } multiplikativ aus gesehen), so erhält man den Ring R [{ x ⁿ }] =: R [ x ] von Polynomen über R . Das Monoid N ⁿ (mit der Addition) ergibt den Polynomring mit n Variablen: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ].

Verallgemeinerung

Wenn G eine Halbgruppe ist , ergibt dieselbe Konstruktion einen Halbgruppenring R [ G ].

Siehe auch

Verweise

Lang, Serge (2002). Algebra . Diplomtexte in Mathematik . 211 (Rev. 3rd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-X.

Weiterführende Literatur

R. Gilmer. Kommutative Halbgruppenringe . University of Chicago Press, Chicago - London, 1984

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