Kernel (Mengenlehre) - Kernel (set theory)

In der Mengenlehre kann der Kern einer Funktion f (oder ein Äquivalenzkern ) als einer der beiden angesehen werden

• die Äquivalenzrelation auf die der Funktion Domäne , die die Idee von etwa ausdrückt „gleichwertig, soweit die Funktion f sagen kann“, oder
• die entsprechende Partition der Domain.

Definition

Für die formale Definition, lassen Sie X und Y seinen Satz und lassen f eine Funktion von seinen X bis Y . Die Elemente x ₁ und x ₂ von X sind äquivalent, wenn f ( x ₁ ) und f ( x ₂ ) gleich sind , dh dasselbe Element von Y sind . Der Kern von f ist die so definierte Äquivalenzbeziehung.

Quotienten

Wie jede Äquivalenzbeziehung kann der Kernel modifiziert werden , um eine Quotientensatz zu bilden , und der Quotientensatz ist die Partition:

${\ displaystyle \ left \ {\, \ left \ {\, w \ in X \ mid f (x) = f (w) \, \ right \} \ mid x \ in X \, \ right \}.}$

Diese Quotientensatzmenge X / = _f wird als Coimage der Funktion f bezeichnet und als Coim f (oder eine Variation) bezeichnet. Das Bild ist natürlich isomorph (im satztheoretischen Sinne einer Bijektion ) zum Bild , im f ; Insbesondere entspricht die Äquivalenzklasse von x in X (die ein Element von coim f ist ) f ( x ) in Y (die ein Element von im f ist ).

Als Teilmenge des Quadrats

Wie jede binäre Beziehung kann der Kern einer Funktion als Teilmenge des kartesischen Produkts X × X betrachtet werden . In dieser Gestalt kann der Kernel als Ker f (oder eine Variation) bezeichnet und symbolisch definiert werden als

${\ displaystyle \ operatorname {ker} f: = \ {(x, x ') \ mid f (x) = f (x') \}}$.

Die Untersuchung der Eigenschaften dieser Untergruppe kann Aufschluss über f geben .

In algebraischen Strukturen

Wenn X und Y sind algebraische Strukturen von einigem festen Typ (wie beispielsweise Gruppen , Ringen oder Vektorräumen ), und wenn die Funktion f von X zu Y a Homomorphismus , dann Ker f eine Kongruenzrelation (das ist eine Äquivalenzbeziehung , dass kompatibel ist mit der algebraischen Struktur) und die coimage von f ist ein Quotient von X . Die Bijektion zwischen dem Bild und dem Bild von f ist ein Isomorphismus im algebraischen Sinne; Dies ist die allgemeinste Form des ersten Isomorphismus-Theorems . Siehe auch Kernel (Algebra) .

In topologischen Räumen

Wenn X und Y sind topologische Räume und f ist eine kontinuierliche Funktion zwischen ihnen, dann werden die topologischen Eigenschaften von Ker f kann Aufschluss über die Räume X und Y . Wenn Y beispielsweise ein Hausdorff-Raum ist , muss ker f eine geschlossene Menge sein . Wenn umgekehrt X ein Hausdorff-Raum und ker f eine geschlossene Menge ist, muss das Coimage von f bei gegebener Quotientenraumtopologie auch ein Hausdorff-Raum sein.

Verweise

Quellen

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Kategorietheorie . Oxford Logic Guides. 49 (2. Aufl.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.