Spitzraum - Pointed space

In der Mathematik ist ein spitzer Raum ein topologischer Raum mit einem bestimmten Punkt, dem Basispunkt . Der unterscheidbare Punkt ist nur ein bestimmter Punkt, der aus dem Raum herausgesucht und mit einem Namen versehen wird, der bei der anschließenden Diskussion unverändert bleibt und während aller Operationen verfolgt wird. ${\ displaystyle x_ {0},}$

Karten von spitzen Räumen ( basierte Karten ) sind fortlaufende Karten , bei denen Basispunkte erhalten bleiben, dh eine Karte zwischen einem spitzen Raum mit Basispunkt und einem spitzen Raum mit Basispunkt ist eine basierte Karte, wenn sie in Bezug auf die Topologien von und kontinuierlich ist und dies normalerweise der Fall ist bezeichnet ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = y_ {0}.}$

{\ displaystyle f: \ left (X, x_ {0} \ right) \ to \ left (Y, y_ {0} \ right).}

Punkträume sind in der algebraischen Topologie wichtig , insbesondere in der Homotopietheorie , wo viele Konstruktionen, wie die Grundgruppe , von der Wahl des Basispunkts abhängen.

Das Konzept der spitzen Menge ist weniger wichtig; es ist sowieso der Fall eines spitzen diskreten Raumes .

Punktierte Räume werden häufig als Sonderfall der relativen Topologie betrachtet , bei der die Teilmenge ein einzelner Punkt ist. Daher wird ein Großteil der Homotopietheorie normalerweise auf spitzen Räumen entwickelt und dann zu relativen Topologien in der algebraischen Topologie verschoben .

Kategorie der spitzen Räume

Die Klasse aller spitzen Räume bildet eine Kategorie Top, wobei der Basispunkt fortlaufende Karten als Morphismen beibehält . Eine andere Möglichkeit, über diese Kategorie nachzudenken, ist die Kommakategorie ( oben ), in der sich ein Punktraum befindet, und oben die Kategorie der topologischen Räume . (Dies wird auch als Coslice-Kategorie bezeichnet, die als Top bezeichnet wird .) Objekte in dieser Kategorie sind fortlaufende Karten. Solche Morphismen können als Auswahl eines Basispunkts in Morphisms in Top angesehen werden. ) Sind Morphismen in Top, für die das folgende Diagramm pendelt : _{${\ displaystyle \ bullet}$} ${\ displaystyle \ {\ bullet \} \ downarrow}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \} /}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \} \ to X.}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \} \ downarrow}$

Es ist leicht zu erkennen, dass die Kommutativität des Diagramms der Bedingung entspricht, bei der die Basispunkte erhalten bleiben. ${\ displaystyle f}$

Als spitzer Raum, ist ein Null - Objekt in Top , während es nur eine ist Terminal - Objekt in Top . ${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$ _{${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$}

Es gibt einen vergesslichen Funktor Top Top, der "vergisst", welcher Punkt der Basispunkt ist. Dieser Funktor hat einen linken Adjunkt, der jedem topologischen Raum die disjunkte Vereinigung von und einen Einpunktraum zuweist, dessen einzelnes Element als Basispunkt genommen wird. _{${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$} ${\ displaystyle \ to}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$

Operationen auf spitzen Räumen

Ein Unterraum eines spitzen Raums ist ein topologischer Unterraum, mit dem sein Basispunkt geteilt wird, sodass die Einschlusskarte den Basispunkt beibehält. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle X}$
Man kann den Quotienten eines spitzen Raumes unter jeder Äquivalenzbeziehung bilden . Der Basispunkt des Quotienten ist das Bild des Basispunkts unter der Quotientenkarte. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$
Man kann die Bildung von Produkt von zwei spitzen Räume als topologische Produkt mit dient als Basispunkt. ${\ displaystyle \ left (X, x_ {0} \ right),}$ ${\ displaystyle \ left (Y, y_ {0} \ right)}$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {0}, y_ {0} \ right)}$
Das Nebenprodukt in der Kategorie der spitzen Räume ist die Keilsumme , die als "Ein-Punkt-Vereinigung" von Räumen angesehen werden kann.
Das Smash-Produkt zweier spitzer Räume ist im Wesentlichen der Quotient aus dem direkten Produkt und der Keilsumme. Wir möchten sagen, dass das Smash-Produkt die Kategorie der spitzen Räume in eine symmetrische monoidale Kategorie mit der spitzen 0-Kugel als Einheitsobjekt umwandelt. Dies ist jedoch für allgemeine Räume falsch: Die Assoziativitätsbedingung kann fehlschlagen. Dies gilt jedoch für einige eingeschränktere Kategorien von Räumen, wie z. B. kompakt erzeugte schwache Hausdorff- Kategorien .
Die reduzierte Aufhängung eines spitzen Raums ist (bis zu einem Homöomorphismus ) das Smash-Produkt und der spitze Kreis ${\ displaystyle \ Sigma X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S ^ {1}.}$
Die reduzierte Federung ist ein Funktor aus der Kategorie der spitzen Räume für sich. Dieser Funktors ist links adjungierten zum Funktors einen spitzen Raum unter seinem Schleifenraum . ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Omega X}$