Kategorie topologischer Räume - Category of topological spaces

In der Mathematik , der Kategorie der topologischen Räumen , oft bezeichnet Top , ist die Kategorie , deren Objekte sind topologische Räume und deren Morphismen sind Dauerkarten . Dies ist eine Kategorie, da die Zusammensetzung zweier stetiger Abbildungen wieder stetig ist und die Identitätsfunktion stetig ist. Die Untersuchung von Top und der Eigenschaften topologischer Räume mit den Techniken der Kategorientheorie wird als kategoriale Topologie bezeichnet .

Hinweis: Einige Autoren verwenden den Namen Top für die Kategorien mit topologischen Mannigfaltigkeiten oder mit kompakt erzeugten Räumen als Objekten und stetigen Abbildungen als Morphismen.

Als konkrete Kategorie

Wie viele Kategorien ist die Kategorie Top eine konkrete Kategorie , dh ihre Objekte sind Mengen mit zusätzlicher Struktur (dh Topologien) und ihre Morphismen sind Funktionen , die diese Struktur erhalten. Es gibt einen natürlichen Vergesslichkeitsfunktor

U  : Oben → Set

zu der Kategorie von Mengen, die jedem topologischen Raum die zugrunde liegende Menge zuweist, und zu jeder stetigen Abbildung die zugrunde liegende Funktion .

Der Vergesslichkeitsfunktor U hat sowohl einen linken Adjungierte

D  : Einstellen → Oben

die eine gegebene Menge mit der diskreten Topologie ausstattet , und einem rechtsadjungierten

I  : Einstellen → Oben

die eine gegebene Menge mit der indiskreten Topologie ausstattet . Beide Funktoren sind in der Tat rechtsinvers zu U (was bedeutet, dass UD und UI gleich dem Identitätsfunktor auf Set sind ). Da außerdem jede Funktion zwischen diskreten oder zwischen indiskreten Räumen stetig ist, geben beide Funktoren eine vollständige Einbettung von Set in Top .

Top ist auch faservollständig, was bedeutet, dass die Kategorie aller Topologien auf einer gegebenen Menge X (genannt die Faser von U über X ) ein vollständiges Gitter bildet, wenn sie nach Einschluss geordnet wird . Das größte Element in dieser Faser ist die diskrete Topologie auf X , während das kleinste Element die indiskrete Topologie ist.

Top ist das Modell einer sogenannten topologischen Kategorie . Diese Kategorien zeichnen sich dadurch aus, dass jede strukturierte Quelle einen einzigartigen Initiallift besitzt . In Top wird der anfängliche Lift erhalten, indem die anfängliche Topologie auf der Quelle platziert wird. Topologische Kategorien haben viele Eigenschaften gemeinsam mit Top (wie Faser-Vollständigkeit, diskrete und indiskrete Funktoren und einzigartige Aufhebung von Grenzen). ${\displaystyle (X\to UA_{i})_{I}}$ ${\displaystyle (A\to A_{i})_{I}}$

Limits und Colimits

Die Kategorie Top ist sowohl vollständig als auch cocomplete , was bedeutet, dass alle kleinen Limits und Colimits in Top vorhanden sind . Tatsächlich hebt der vergessliche Funktor U  : Top → Set auf einzigartige Weise sowohl Limits als auch Colimits auf und behält sie auch bei. Daher werden (Co)Limits in Top angegeben, indem Topologien auf die entsprechenden (Co)Limits in Set platziert werden .

Wenn F ein Diagramm in Top ist und ( L , φ  : L → F ) ein Grenzwert von UF in Set ist , wird der entsprechende Grenzwert von F in Top erhalten, indem die Anfangstopologie auf ( L , φ  : L → F ). Colimits in Top werden doppelt erhalten, indem die endgültige Topologie auf den entsprechenden Colimits in Set platziert wird .

Im Gegensatz zu vielen algebraischen Kategorien erzeugt oder reflektiert der Vergesslichkeitsfunktor U  : Top → Set keine Grenzen, da es typischerweise nicht-universelle Kegel in Top gibt, die universelle Kegel in Set abdecken .

Beispiele für Limits und Colimits in Top sind:

• Die leere Menge (als topologischer Raum betrachtet) ist das Ausgangsobjekt von Top ; Jeder topologische Singleton- Raum ist ein Terminalobjekt . Es gibt also keine Nullobjekte in Top .
• Das Produkt in Top wird durch die Produkttopologie des kartesischen Produkts gegeben . Das Koprodukt ergibt sich aus der disjunkten Vereinigung topologischer Räume.
• Der Entzerrer eines Morphismenpaares ist gegeben, indem die Unterraumtopologie auf den mengentheoretischen Entzerrer gelegt wird. Dual ist der Co-Entzerrer gegeben, indem die Quotiententopologie auf den mengentheoretischen Co-Entzerrer gelegt wird.
• Direkte Grenzen und inverse Grenzen sind die mengentheoretischen Grenzen mit der Endtopologie bzw. der Anfangstopologie .
• Adjunktionsräume sind ein Beispiel für Pushouts in Top .

Andere Eigenschaften

• Die Monomorphismen in Top sind die injektiv stetigen Abbildungen, die Epimorphismen sind die surjektiv stetigen Abbildungen und die Isomorphismen sind die Homöomorphismen .
• Die extremalen Monomorphismen sind (bis auf Isomorphismen) die Unterraumeinbettungen . Tatsächlich erfüllen in Top alle extremalen Monomorphismen die stärkere Eigenschaft, regelmäßig zu sein .
• Die extremalen Epimorphismen sind (im Wesentlichen) die Quotientenkarten . Jeder extremale Epimorphismus ist regelmäßig.
• Die gespaltenen Monomorphismen sind (im Wesentlichen) die Einschlüsse von Retracts in ihren Umgebungsraum.
• Die gespaltenen Epimorphismen sind (bis auf Isomorphismen) die stetigen surjektiven Abbildungen eines Raumes auf einen seiner Retracts.
• Es gibt keine Null-Morphismen in Top , und insbesondere ist die Kategorie nicht präadditiv .
• Top ist nicht kartesisch geschlossen (und daher auch kein Topos ), da es nicht für alle Räume exponentielle Objekte hat . Wenn diese Eigenschaft gewünscht wird, beschränkt man sich oft auf die vollständige Unterkategorie der kompakt erzeugten Hausdorff-Räume CGHaus . Allerdings ist Top in der exponentiellen Kategorie der Pseudotopologien enthalten , die selbst eine Unterkategorie der (ebenfalls exponentiellen) Kategorie der Konvergenzräume ist .

Beziehungen zu anderen Kategorien

• Die Kategorie der spitzen topologischen Räume Top _• ist eine coslice-Kategorie über Top .
• Die Homotopiekategorie hTop hat topologische Räume für Objekte und Homotopieäquivalenzklassen stetiger Abbildungen für Morphismen. Dies ist eine Quotientenkategorie von Top . Ebenso kann man die spitze Homotopiekategorie hTop _{• bilden} .
• Top enthält die wichtige Kategorie Haus der Hausdorff-Räume als vollständige Unterkategorie . Die zusätzliche Struktur dieser Unterkategorie ermöglicht mehr Epimorphismen: Tatsächlich sind die Epimorphismen in dieser Unterkategorie genau solche Morphismen mit dichten Bildern in ihren Codomänen , so dass Epimorphismen nicht surjektiv sein müssen .
• Top enthält die vollständige Unterkategorie CGHaus von kompakt erzeugten Hausdorff-Räumen , die die wichtige Eigenschaft hat, eine kartesische geschlossene Kategorie zu sein und dennoch alle typischen interessierenden Räume enthält. Dies macht CGHaus zu einer besonders bequemen Kategorie topologischer Räume , die oft anstelle von Top verwendet wird .
• Der Vergesslichkeitsfunktor zu Set hat sowohl einen linken als auch einen rechten Adjungierten, wie oben im Abschnitt zur konkreten Kategorie beschrieben.
• Es gibt einen Funktor für die Kategorie der Locales Loc , der einen topologischen Raum an seine Locale der offenen Mengen sendet. Dieser Funktor hat einen Rechtsadjungierten, der jedes Gebietsschema in seinen topologischen Punktraum schickt. Diese Adjunktion beschränkt sich auf eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der nüchternen Räume und räumlichen Orte.
• Die Homotopie-Hypothese bezieht Top mit ∞Grpd , der Kategorie der ∞-Groupoide . Die Vermutung besagt, dass ∞-Groupoide äquivalent zu topologischen Räumen modulo schwache Homotopie-Äquivalenz sind .

Siehe auch

• Kategorie der Gruppen
• Kategorie der metrischen Räume
• Kategorie der Sets
• Kategorie topologischer Räume mit Basispunkt
• Kategorie topologischer Vektorräume  – topologische Kategorie

Zitate

Verweise