Machtassoziativität - Power associativity

In der Mathematik , insbesondere in der abstrakten Algebra , ist die Potenzassoziativität eine Eigenschaft einer binären Operation , die eine schwache Form der Assoziativität darstellt .

Definition

Eine Algebra (oder allgemeiner ein Magma ) wird als machtassoziativ bezeichnet, wenn die von einem Element erzeugte Subalgebra assoziativ ist. Konkret bedeutet dies, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge die Operationen ausgeführt werden, wenn ein Element eine Operation mehrmals selbst ausführt . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle x * (x * (x * x)) = (x * (x * x)) * x = (x * x) * (x * x)}$

Beispiele und Eigenschaften

Jede assoziative Algebra ist machtassoziativ, aber auch alle anderen alternativen Algebren (wie die nicht assoziativen Oktonionen ) und sogar einige nicht alternative Algebren wie die Sedenionen und Okubo-Algebren . Jede Algebra, deren Elemente idempotent sind, ist auch machtassoziativ .

Die Potenzierung einer positiven ganzen Zahl zur Potenz kann konsistent definiert werden, wenn die Multiplikation leistungsassoziativ ist. Beispielsweise muss nicht unterschieden werden, ob x ³ als ( xx ) x oder als x ( xx ) definiert werden soll, da diese gleich sind. Die Potenzierung auf die Potenz Null kann auch definiert werden, wenn die Operation ein Identitätselement aufweist , sodass das Vorhandensein von Identitätselementen in leistungsassoziativen Kontexten nützlich ist.

Über ein Feld der Charakteristik 0 ist eine Algebra genau dann machtassoziativ , wenn sie erfüllt und wo sich der Assoziator befindet (Albert 1948). ${\ displaystyle [x, x, x] = 0}$${\ displaystyle [x ^ {2}, x, x] = 0}$${\ displaystyle [x, y, z]: = (xy) zx (yz)}$

Über einen unendlichen Bereich der prime Charakteristik gibt es keine endliche Menge von Identitäten , die Power-Assoziativität charakterisiert, aber es gibt unendlich viele unabhängige Sätze, wie sie durch Gainov (1970) beschrieben: ${\ displaystyle p> 0}$

• Für : und für ( ${\ displaystyle p = 2}$${\ displaystyle [x, x ^ {2}, x] = 0}$${\ displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ displaystyle n = 3,2 ^ {k}}$${\ displaystyle k = 2,3 ...)}$
• Für : für ( ${\ displaystyle p = 3}$${\ displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ displaystyle n = 4,5,3 ^ {k}}$${\ displaystyle k = 1,2 ...)}$
• Für : für ( ${\ displaystyle p = 5}$${\ displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ displaystyle n = 3,4,6,5 ^ {k}}$${\ displaystyle k = 1,2 ...)}$
• Für : für ( ${\ displaystyle p> 5}$${\ displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$${\ displaystyle n = 3,4, p ^ {k}}$${\ displaystyle k = 1,2 ...)}$

Für reale leistungsassoziative Algebren mit Einheit gilt ein Substitutionsgesetz , das grundsätzlich besagt , dass die Multiplikation von Polynomen wie erwartet funktioniert. Für f ein reales Polynom in x und für jedes a in einer solchen Algebra definieren Sie f ( a ) als das Element der Algebra, das sich aus der offensichtlichen Substitution von a in f ergibt . Dann haben wir für zwei solche Polynome f und g ( fg ) ( a ) = f ( a ) g ( a ) .

Siehe auch

• Alternativität

Verweise

• Albert, A. Adrian (1948). "Machtassoziative Ringe" . Transaktionen der American Mathematical Society . 64 : 552–593. doi : 10.2307 / 1990399 . ISSN   0002-9947 . JSTOR   1990399 . MR   0027750 . Zbl   0033.15402 .
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• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Das Buch der Involutionen . Kolloquium Veröffentlichungen. 44 . Mit einem Vorwort von Jacques Tits . Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft . ISBN   0-8218-0904-0 . Zbl   0955.16001 .
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