Projektive Linie - Projective line

In der Mathematik ist eine projektive Linie , grob gesagt, die Verlängerung einer gewöhnlichen Linie um einen Punkt, der als Punkt im Unendlichen bezeichnet wird . Die Aussage und der Beweis vieler Sätze der Geometrie werden durch die daraus resultierende Eliminierung von Spezialfällen vereinfacht; zum Beispiel treffen sich zwei verschiedene projektive Linien in einer projektiven Ebene in genau einem Punkt (es gibt keinen "parallelen" Fall).

Es gibt viele gleichwertige Möglichkeiten, eine projektive Linie formal zu definieren; eine der häufigsten ist eine projektive Linie über einem definieren Feld K , bezeichnet allgemein P ¹ ( K ), als der Satz von eindimensionalen Unterräume eines zweidimensionalen K - Vektorraum . Diese Definition ist ein Sonderfall der allgemeinen Definition eines projektiven Raums .

Die projektive Linie über den Realen ist eine Mannigfaltigkeit ; siehe echte projektive Linie für Details.

Homogene Koordinaten

Ein willkürlicher Punkt in der projektiven Linie P ¹ ( K ) durch eine dargestellt werden Äquivalenzklasse von homogenen Koordinaten , die die Form eines Paares nehmen

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$

von Elementen von K , die nicht beide Null sind. Zwei solcher Paare sind äquivalent, wenn sie sich insgesamt um einen Faktor ungleich Null unterscheiden λ :

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].}$

Linie um einen Punkt im Unendlichen verlängert

Die projektive Linie kann mit der Linie K identifiziert werden, die um einen Punkt im Unendlichen verlängert wird . Genauer gesagt kann die Linie K identifiziert werden mit der Teilmenge von P ¹ ( K ) gegeben durch

${\displaystyle \left\{[x:1]\in\mathbf{P}^{1}(K)\mid x\in K\right\}.}$

Diese Teilmenge umfasst alle Punkte in P ¹ ( K ) außer einem, der als Punkt im Unendlichen bezeichnet wird :

${\displaystyle \infty =[1:0].}$

Dies erlaubt es, die Arithmetik auf K auf P ¹ ( K ) um die Formeln

${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty }}=0,}$

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =0}$

${\displaystyle x+\infty =\infty\quad {\text{if}}\quad x\not =\infty}$

Die Übersetzung dieser Arithmetik in homogene Koordinaten ergibt, wenn [0 : 0] nicht auftritt:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{ 2}j_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].}$

Beispiele

Echte projektive Linie

Die projektive Linie über den reellen Zahlen heißt reelle projektive Linie . Man kann sie sich auch als die Gerade K zusammen mit einem idealisierten Punkt im Unendlichen vorstellen; der Punkt verbindet sich mit beiden Enden von K, wodurch eine geschlossene Schleife oder ein topologischer Kreis entsteht.

Ein Beispiel erhält man, indem man Punkte in R ² auf den Einheitskreis projiziert und dann diametral gegenüberliegende Punkte identifiziert . In Bezug auf die Gruppentheorie können wir den Quotienten mit dem nehmen Untergruppe {1, -1}.

Vergleichen Sie die erweiterte reelle Zahlengerade , die ∞ und −∞ unterscheidet.

Komplexe projektive Linie: die Riemann-Kugel

Das Hinzufügen eines Punktes im Unendlichen zur komplexen Ebene führt zu einem Raum, der topologisch eine Kugel ist . Daher wird die komplexe projektive Linie auch als Riemann-Kugel (oder manchmal auch als Gauß-Kugel ) bezeichnet. Sie wird in der komplexen Analysis , der algebraischen Geometrie und der komplexen Mannigfaltigkeitstheorie als einfachstes Beispiel einer kompakten Riemannschen Fläche ständig verwendet .

Für einen endlichen Körper

Die projektive Gerade über einem endlichen Körper F _q von q Elementen hat q + 1 Punkte. Ansonsten unterscheidet sie sich nicht von projektiven Linien, die über andere Feldtypen definiert sind. In Bezug auf homogene Koordinaten [ x  : y ] haben q dieser Punkte die Form:

[ a  : 1] für jedes a in F _q ,

und der verbleibende Punkt im Unendlichen kann als [1 : 0] dargestellt werden.

Symmetriegruppe

Ganz allgemein wirkt die Gruppe der Homographien mit Koeffizienten in K auf die projektive Linie P ¹ ( K ). Diese Gruppenaktion ist transitiv , so dass P ¹ ( K ) ein homogener Raum für die Gruppe ist, oft PGL ₂ ( K ) geschrieben, um den projektiven Charakter dieser Transformationen zu betonen. Transitivität sagt, dass es eine Homographie gibt, die jeden Punkt Q in jeden anderen Punkt R transformiert . Der Punkt im Unendlichen auf P ¹ ( K ) ist daher ein Artefakt der Koordinatenwahl: homogene Koordinaten

${\displaystyle [X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]}$

drücken einen eindimensionalen Unterraum durch einen einzelnen darin liegenden Nicht-Null-Punkt ( X , Y ) aus, aber die Symmetrien der projektiven Geraden können den Punkt ∞ = [1 : 0] in einen anderen verschieben, und das ist es in keiner Weise unterschieden.

Viel mehr gilt insofern, als eine Transformation jeden gegebenen unterschiedlichen Punkt Q _i für i = 1, 2, 3 zu jedem anderen 3-Tupel R _i von unterschiedlichen Punkten führen kann ( dreifache Transitivität ). Diese Menge an Spezifikation „verbraucht“ die drei Dimensionen von PGL ₂ ( K ); mit anderen Worten, die Gruppenaktion ist scharf 3-transitiv . Der rechnerische Aspekt dabei ist das Kreuzverhältnis . Tatsächlich ist eine verallgemeinerte Umkehrung wahr: Eine scharf 3-transitive Gruppenaktion ist immer (isomorph zu) eine verallgemeinerte Form einer PGL ₂ ( K )-Aktion auf einer projektiven Linie, die "Feld" durch "KT-Feld" ersetzt (Verallgemeinerung der invers zu einer schwächeren Involution) und "PGL" durch eine entsprechende Verallgemeinerung projektiver linearer Abbildungen.

Als algebraische Kurve

Die projektive Linie ist ein grundlegendes Beispiel für eine algebraische Kurve . Aus der Sicht der algebraischen Geometrie, P ¹ ( K ) ist eine nicht-singuläre Kurve der Gattung 0. Wenn K ist algebraisch abgeschlossen , es ist die einzigartige solche Kurve ist vorbei K , bis zu rationaler Gleichwertigkeit . Im Allgemeinen ist eine (nicht singuläre) Kurve der Gattung 0 über K rational äquivalent zu einem Kegelschnitt C , der selbst genau dann birational äquivalent zur projektiven Linie ist, wenn C einen über K definierten Punkt hat ; geometrisch kann ein solcher Punkt P als Ursprung verwendet werden, um die birationale Äquivalenz explizit zu machen.

Der Funktionskörper der projektiven Geraden ist der Körper K ( T ) der rationalen Funktionen über K , in einem einzelnen unbestimmten T . Die Feldautomorphismen von K ( T ) über K sind genau die oben diskutierte Gruppe PGL ₂ ( K ).

Jeder Funktionskörper K ( V ) einer algebraischen Varietät V über K , außer einem einzelnen Punkt, hat einen mit K ( T ) isomorphen Unterkörper . Aus Sicht der birationalen Geometrie bedeutet dies, dass es eine rationale Abbildung von V nach P ¹ ( K ) gibt, die nicht konstant ist. Das Bild lässt nur endlich viele Punkte von P ¹ ( K ) aus, und das inverse Bild eines typischen Punktes P hat die Dimension dim V − 1 . Dies ist der Beginn von Methoden in der algebraischen Geometrie, die auf die Dimension induktiv sind. Die rationalen Abbildungen spielen eine analoge Rolle zu den meromorphen Funktionen der komplexen Analysis , und tatsächlich fallen bei kompakten Riemannschen Flächen die beiden Konzepte zusammen.

Nimmt man nun V die Dimension 1 an, so erhält man ein Bild einer typischen algebraischen Kurve C, die 'über' P ¹ ( K ) präsentiert wird. Unter der Annahme, dass C nicht singulär ist (was kein Verlust an Allgemeinheit ist, beginnend mit K ( C )), kann gezeigt werden, dass eine solche rationale Abbildung von C nach P ¹ ( K ) tatsächlich überall definiert ist. (Das ist nicht der Fall , wenn es Singularitäten sind, da beispielsweise ein Doppelpunkt , wo eine Kurve selbst kreuzt kann ein unbestimmtes Ergebnis nach einer rationalen Karte geben.) Daraus ergibt sich ein Bild , in dem die geometrische Hauptmerkmal ist Verästelung .

Viele Kurven, beispielsweise hyperelliptische Kurven , können abstrakt als verzweigte Abdeckungen der projektiven Linie dargestellt werden. Nach der Riemann-Hurwitz-Formel hängt die Gattung dann nur noch von der Art der Verzweigung ab.

Eine rationale Kurve ist eine Kurve, die einer projektiven Linie birational äquivalent ist (siehe rationale Varietät ); seine Gattung ist 0. Eine rationale Normalkurve im projektiven Raum P ⁿ ist eine rationale Kurve, die in keinem echten linearen Unterraum liegt; bekanntlich gibt es nur ein Beispiel (bis auf projektive Äquivalenz), parametrisch in homogenen Koordinaten gegeben als

[1 : t  : t ²  : ... : t ⁿ ].

Siehe Twisted Cubic für den ersten interessanten Fall.

Siehe auch

• Projektiv verlängerte Reallinie
• Kreuzverhältnis
• Projektionsbereich
• Möbius-Transformationen
• Algebraische Kurve
• Projektive Linie über einem Ring

Verweise