Skalarmultiplikation - Scalar multiplication

Die skalare Multiplikation eines Vektors mit dem Faktor 3 dehnt den Vektor aus.

Die Skalarmultiplikationen − a und 2 a eines Vektors a

In der Mathematik ist die Skalarmultiplikation eine der grundlegenden Operationen, die einen Vektorraum in der linearen Algebra (oder allgemeiner, einem Modul in der abstrakten Algebra ) definiert. In üblichen geometrischen Kontexten multipliziert die skalare Multiplikation eines reellen euklidischen Vektors mit einer positiven reellen Zahl die Größe des Vektors – ohne seine Richtung zu ändern. Der Begriff " Skalar " selbst leitet sich von dieser Verwendung ab: Ein Skalar ist das, was Vektoren skaliert . Skalarmultiplikation ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (bei dem das Produkt ein Vektor ist) und ist vom inneren Produkt zweier Vektoren (bei dem das Produkt ein Skalar ist) zu unterscheiden.

Definition

Im Allgemeinen, wenn K a Feld und V ist ein Vektorraum über K ist, dann Skalarmultiplikation eine Funktion von K × V bis V . Das Ergebnis der Anwendung dieser Funktion auf k in K und v in V wird als k v bezeichnet .

Eigenschaften

Die Skalarmultiplikation gehorcht den folgenden Regeln (Vektor in Fettdruck ) :

• Additivität im Skalar: ( c + d ) v = c v + d v ;
• Additivität im Vektor: c ( v + w ) = c v + c w ;
• Kompatibilität des Produkts von Skalaren mit Skalarmultiplikation: ( cd ) v = c ( d v );
• Die Multiplikation mit 1 ändert keinen Vektor: 1 v = v ;
• Multiplizieren mit 0 ergibt den Nullvektor : 0 v = 0 ;
• Multiplizieren mit −1 ergibt die additive Inverse : (−1) v = − v .

+ ist hier die Addition entweder im Feld oder im Vektorraum, je nachdem; und 0 ist die additive Identität in beiden. Die Nebeneinanderstellung zeigt entweder die Skalarmultiplikation oder die Multiplikationsoperation im Feld an.

Interpretation

Die Skalarmultiplikation kann als externe binäre Operation oder als Aktion des Feldes auf den Vektorraum angesehen werden. Eine geometrische Interpretation der Skalarmultiplikation besteht darin, dass sie Vektoren um einen konstanten Faktor streckt oder zusammenzieht. Als Ergebnis erzeugt es einen Vektor in der gleichen oder entgegengesetzten Richtung des ursprünglichen Vektors, jedoch mit einer anderen Länge.

Als Sonderfall kann V als K selbst angesehen werden und die Skalarmultiplikation kann dann einfach als die Multiplikation im Feld angesehen werden.

Wenn V ist K ⁿ ist Skalarmultiplikation äquivalent zu einer Multiplikation jeder Komponente mit dem Skalar, und können als solche definiert werden.

Die gleiche Idee gilt, wenn K ein kommutativer Ring und V ein Modul über K ist . K kann sogar ein Rig sein , aber dann gibt es keine additive Inverse. Wenn K nicht kommutativ ist , können die unterschiedlichen Operationen linke Skalarmultiplikation c v und rechte Skalarmultiplikation v c definiert werden.

Skalarmultiplikation von Matrizen

Die linksskalare Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar λ ergibt eine weitere Matrix der gleichen Größe wie A . Es wird mit λ A bezeichnet , dessen Einträge von λ A definiert sind durch

${\displaystyle (\lambda\mathbf{A})_{ij}=\lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,}$

ausdrücklich:

${\displaystyle \lambda\mathbf{A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{ 11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\ vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

In ähnlicher Weise ist die rechte Skalarmultiplikation einer Matrix A mit einem Skalar λ definiert als

${\displaystyle(\mathbf{A}\lambda)_{ij}=\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\lambda\,,}$

ausdrücklich:

${\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11} \lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}$

Wenn die zugrunde liegenden Ring ist kommutativ , beispielsweise die reale oder komplexe Zahl Feld sind diese beiden Multiplikationen gleich und werden einfach als skalare Multiplikation . Für Matrizen über einem allgemeineren Ring , die nicht kommutativ sind, wie die Quaternionen , sind sie jedoch möglicherweise nicht gleich.

Für einen reellen Skalar und eine Matrix:

${\displaystyle \lambda =2,\quad\mathbf{A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \! b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\ c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2 .}$

Für Quaternion-Skalare und -Matrizen:

${\displaystyle \lambda =i,\quad\mathbf{A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin {pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2 }&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

wobei i , j , k die Quaternion-Einheiten sind. Die Nicht-Kommutativität der Quaternionenmultiplikation verhindert den Übergang der Änderung von ij = + k zu ji = − k .

Siehe auch

• Skalarprodukt
• Matrix-Multiplikation
• Multiplikation von Vektoren
• Produkt (Mathematik)

Verweise