Urelement - Urelement
In der Mengenlehre , ein Zweig der Mathematik , ein urelement oder urelement (aus dem deutschen Präfix ur- ‚primordiale‘) ist ein Objekt , das ich nicht um einen Satz , aber das kann eine sein , Element eines Satzes. Es wird auch als Atom oder Individuum bezeichnet .
Theorie
Es gibt verschiedene, aber im Wesentlichen äquivalente Möglichkeiten, Urelemente in einer Theorie erster Ordnung zu behandeln .
Eine Möglichkeit besteht darin, in einer Theorie erster Ordnung mit zwei Sorten, Mengen und Urelementen zu arbeiten, wobei a ∈ b nur definiert wird, wenn b eine Menge ist. In diesem Fall macht es keinen Sinn zu sagen , ob U ein Urelement ist , obwohl es vollkommen legitim ist.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, in einer einsortierten Theorie mit einer unären Beziehung zu arbeiten, die zur Unterscheidung von Mengen und Urelementen verwendet wird. Da nicht leere Mengen Elemente enthalten, während Urelemente dies nicht tun, wird die unäre Beziehung nur benötigt, um die leere Menge von Urelementen zu unterscheiden. Beachten Sie, dass in diesem Fall das Axiom der Extensionalität so formuliert werden muss, dass es nur für Objekte gilt, die keine Urelemente sind.
Diese Situation ist analog zur Behandlung von Theorien von Mengen und Klassen . In der Tat sind Urelemente in gewissem Sinne dual zu richtigen Klassen : Urelemente können keine Mitglieder haben, während richtige Klassen keine Mitglieder sein können. Anders ausgedrückt, Urelemente sind minimale Objekte, während richtige Klassen maximale Objekte der Zugehörigkeitsrelation sind (was natürlich keine Ordnungsrelation ist, daher ist diese Analogie nicht wörtlich zu verstehen).
Urelemente in der Mengenlehre
Die Zermelo-Mengen-Theorie von 1908 enthielt Urelemente und ist daher eine Version, die wir jetzt ZFA oder ZFCA nennen (dh ZFA mit Axiom der Wahl ). Es wurde schnell klar, dass im Kontext dieser und eng verwandter axiomatischer Mengenlehre die Urelemente nicht benötigt wurden, da sie leicht in einer Mengenlehre ohne Urelemente modelliert werden können. Standard-Expositionen der kanonischen axiomatischen Mengen-Theorien ZF und ZFC erwähnen daher keine Urelemente. (Für eine Ausnahme siehe Suppes.) Axiomatisierungen der Mengenlehre, die Urelemente aufrufen, umfassen die Kripke-Platek-Mengenlehre mit Urelementen und die von Mendelson beschriebene Variante der Von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre . In der Typentheorie kann ein Objekt vom Typ 0 als Urelement bezeichnet werden. daher der Name "Atom".
Das Hinzufügen von Urelementen zum System New Foundations (NF) zur Herstellung von NFU hat überraschende Konsequenzen. Insbesondere hat Jensen die Konsistenz der NFU in Bezug auf die Peano-Arithmetik bewiesen ; In der Zwischenzeit bleibt die Konsistenz von NF in Bezug auf alles ein offenes Problem, bis Holmes 'Beweis seiner Konsistenz in Bezug auf ZF überprüft wurde. Darüber hinaus bleibt die NFU relativ konsistent, wenn sie mit einem Axiom der Unendlichkeit und dem Axiom der Wahl ergänzt wird . In der Zwischenzeit ist die Negation des Axioms der Wahl seltsamerweise ein NF-Theorem. Holmes (1998) nimmt diese Tatsachen als Beweis dafür, dass die NFU eine erfolgreichere Grundlage für Mathematik ist als die NF. Holmes argumentiert weiter, dass die Mengenlehre mit als ohne Urelemente natürlicher ist, da wir die Objekte jeder Theorie oder des physikalischen Universums als Urelemente nehmen können . In der Theorie der finitistischen Mengen werden Urelemente auf die untersten Komponenten des Zielphänomens abgebildet, wie z. B. atomare Bestandteile eines physischen Objekts oder Mitglieder einer Organisation.
Quine Atome
Ein alternativer Ansatz für Urelemente besteht darin, sie anstelle eines anderen Objekttyps als Mengen als einen bestimmten Satztyp zu betrachten. Quine-Atome (benannt nach Willard Van Orman Quine ) sind Mengen, die nur sich selbst enthalten, dh Mengen, die die Formel x = { x } erfüllen .
Quine Atome können in Systemen der Mengenlehre, die das Axiom der Regelmäßigkeit enthalten , nicht existieren , aber sie können in einer nicht fundierten Mengenlehre existieren . Die ZF-Mengenlehre mit entferntem Axiom der Regelmäßigkeit kann nicht beweisen, dass nicht fundierte Mengen existieren (es sei denn, sie ist inkonsistent, in diesem Fall wird es eine willkürliche Aussage geben ), aber sie ist mit der Existenz von Quine-Atomen kompatibel. Aczels Anti-Foundation-Axiom impliziert, dass es ein einzigartiges Quine-Atom gibt. Andere nicht fundierte Theorien mögen viele verschiedene Quine-Atome zulassen; Am anderen Ende des Spektrums liegt Boffas Axiom der Superuniversalität , was impliziert, dass die verschiedenen Quine-Atome eine richtige Klasse bilden .
Quine-Atome erscheinen auch in Quines New Foundations , wodurch mehr als eine solche Menge existieren kann.
Quine Atome sind die einzigen Mengen, die von Peter Aczel als reflexive Mengen bezeichnet werden , obwohl andere Autoren, z. B. Jon Barwise und Lawrence Moss, den letzteren Begriff verwenden, um die größere Klasse von Mengen mit der Eigenschaft x ∈ x zu bezeichnen .