Yuktibh -Yuktibhāṣā
Yuktibhāṣā ( Malayalam : യുക്തിഭാഷ , wörtlich 'Rationale'), auch bekannt als Gaṇitanyāyasaṅgraha ( Kompendium der astronomischen Begründung ), ist eine wichtige Abhandlung über Mathematik und Astronomie , dieum 1530von dem indischen Astronomen Jyesthadeva von der Kerala- Mathematikschule verfasst wurde. Die Abhandlung , geschrieben in Malayalam, ist eine Konsolidierung der Entdeckungen von Madhava von Sangamagrama , Nilakantha Somayaji , Parameshvara , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati und anderen Astronomen-Mathematikern der Kerala-Schule.
Das Werk war für seine Zeit einzigartig, da es Beweise und Ableitungen der darin präsentierten Theoreme enthielt ; etwas Ungewöhnliches für indische Mathematiker dieser Zeit. Zu seinen wichtigen Themen gehören die unendlichen Reihenentwicklungen von Funktionen; Potenzreihen , einschließlich von π und π/4; trigonometrische Reihen von Sinus , Cosinus und Arkustangens ; Taylor-Reihen , einschließlich Annäherungen zweiter und dritter Ordnung von Sinus und Kosinus ; Radien, Durchmesser und Umfänge; und Konvergenztests .
Yuktibhāṣā basiert hauptsächlich auf Nilakanthas Tantra Samgraha . Es gilt als ein früher Text über die Ideen der Infinitesimalrechnung , der Jahrhunderte älter als Newton und Leibniz ist. Die Abhandlung blieb außerhalb Indiens weitgehend unbemerkt, da sie in der Landessprache Malayalam verfasst wurde. Es wird oft verallgemeinert, dass es den frühen indischen Gelehrten in Astronomie und Computerwissenschaften an Beweisen mangelte, aber Yuktibh beweist das Gegenteil . In der Neuzeit hat die breitere Welt aufgrund der breiteren internationalen Zusammenarbeit in der Mathematik auf die Arbeit aufmerksam gemacht. Zum Beispiel haben sowohl die Oxford University als auch die Royal Society of Great Britain bahnbrechende mathematische Theoreme indischen Ursprungs zugeschrieben, die ihren westlichen Pendants vorausgingen.
Inhalt
Yuktibhāṣā enthält die meisten Entwicklungen der früheren Kerala-Schule, insbesondere Madhava und Nilakantha . Der Text ist in zwei Teile gegliedert – der erste befasst sich mit der mathematischen Analyse und der zweite mit der Astronomie.
Mathematik
Die ersten vier Kapitel des Yuktibhāṣā enthalten elementare Mathematik, wie Division, den Satz des Pythagoras , Quadratwurzeln usw. Neuartige Ideen werden erst im sechsten Kapitel über den Umfang eines Kreises diskutiert . Yuktibhāṣā enthält eine Ableitung und einen Beweis für die Potenzreihe des inversen Tangens , die von Madhava entdeckt wurde. Im Text beschreibt Jyesthadeva Madhavas Serie wie folgt:
Der erste Term ist das Produkt aus gegebenem Sinus und Radius des gewünschten Bogens geteilt durch den Kosinus des Bogens. Die nachfolgenden Terme werden durch einen Iterationsprozess erhalten, wenn der erste Term wiederholt mit dem Quadrat des Sinus multipliziert und durch das Quadrat des Kosinus dividiert wird. Alle Terme werden dann durch die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, ... dividiert. Der Bogen wird durch Addieren bzw. Subtrahieren der Terme mit ungeradem Rang und solchen mit geradem Rang erhalten. Es ist festgelegt, dass hier der Sinus des Bogens oder dessen Komplement, je nachdem, welcher kleiner ist, als gegebener Sinus genommen werden soll. Andernfalls tendieren die Terme, die durch diese obige Iteration erhalten werden, nicht zur verschwindenden Größe.
In moderner mathematischer Schreibweise
oder, ausgedrückt in Tangenten,
die zuvor James Gregory zugeschrieben wurde , der sie 1667 veröffentlichte.
Der Text enthält auch Madhavas unendliche Reihenentwicklung von π, die er aus der Entwicklung der Arkustangensfunktion erhalten hat.
Unter Verwendung einer rationalen Näherung dieser Reihe gab er Werte der Zahl π als 3,14159265359, korrekt auf 11 Dezimalstellen, und als 3,1415926535898, korrekt auf 13 Dezimalstellen an.
Der Text beschreibt zwei Methoden zur Berechnung des Wertes von π. Erhalten Sie zunächst eine schnell konvergierende Reihe, indem Sie die ursprüngliche unendliche Reihe von π transformieren. Dadurch werden die ersten 21 Terme der unendlichen Reihe
wurde verwendet, um die Approximation auf 11 Dezimalstellen zu berechnen. Die andere Methode bestand darin, der ursprünglichen Reihe von π einen Restterm hinzuzufügen. Der Restterm wurde in der unendlichen Reihenentwicklung von verwendet , um die Approximation von π auf 13 Dezimalstellen der Genauigkeit bei n = 76 zu verbessern .
Abgesehen davon enthält die Yuktibhāṣā viele elementare und komplexe mathematische Themen, darunter:
- Proofs für die Expansion der Sinus- und Kosinus - Funktionen
- Die Summen- und Differenzformeln für Sinus und Cosinus
- Ganzzahlige Lösungen von Systemen linearer Gleichungen (gelöst mit einem System namens kuttakaram )
- Geometrische Ableitungen von Reihen
- Frühe Aussagen von Taylor-Reihen für einige Funktionen
- Tests von Konvergenz für Summen
- Differenzierung , Integration , iterative Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und die Theorie, dass die Fläche unter einer Kurve ihr Integral ist.
Astronomie
Die Kapitel sieben bis siebzehn befassen sich mit Themen der Astronomie: Planetenbahnen , Himmelssphären , Aufstieg , Deklination , Richtungen und Schatten, sphärische Dreiecke , Ellipsen und Parallaxenkorrektur . Die in dem Buch beschriebene Planetentheorie ähnelt der später vom dänischen Astronomen Tycho Brahe übernommenen .
Moderne Editionen
Die Bedeutung von Yuktibh wurde der modernen Wissenschaft von CM Whish im Jahr 1832 durch eine in den Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland veröffentlichte Arbeit bekannt gemacht . Der mathematische Teil des Textes wurde jedoch zusammen mit Notizen in Malayalam erst 1948 von Rama Varma Thampuran und Akhileswara Aiyar veröffentlicht.
2008 erschien erstmals eine Edition des gesamten Malayalam-Textes nebst englischer Übersetzung und ausführlichen Erläuterungen bei Springer .
Ein dritter Band mit einer kritischen Ausgabe des Sanskrit Ganitayuktibhasa wurde 2009 vom Indian Institute of Advanced Study in Shimla veröffentlicht.