Ausbalanciert ternär - Balanced ternary

Balanced ternary ist ein ternäres Zahlensystem (dh Basis 3 mit drei Ziffern ), das eine ausgewogene vorzeichenbehaftete Darstellung der ganzen Zahlen verwendet, in denen die Ziffern die Werte -1 , 0 und 1 haben . Dies steht im Gegensatz zum standardmäßigen (unsymmetrischen) ternären System, bei dem Ziffern die Werte 0, 1 und 2 haben. Das ausgeglichene ternäre System kann alle ganzen Zahlen darstellen, ohne ein separates Minuszeichen zu verwenden ; der Wert der führenden Ziffer ungleich Null einer Zahl hat das Vorzeichen der Zahl selbst. Während binäre Zahlen mit den Ziffern 0 und 1 das einfachste Positionszahlensystem für natürliche Zahlen (oder für positive ganze Zahlen, wenn 1 und 2 als Ziffern verwendet werden) bieten, bietet ausgeglichenes ternäres Zahlensystem das einfachste in sich geschlossene Positionszahlensystem für ganze Zahlen . Das ausgeglichene ternäre System ist ein Beispiel für ein nicht standardisiertes Positionsziffernsystem . Es wurde in einigen frühen Computern und auch in einigen Lösungen von Balance-Rätseln verwendet .

Verschiedene Quellen verwenden unterschiedliche Glyphen, die verwendet werden, um die drei Ziffern in ausgeglichenem Ternär darzustellen. In diesem Artikel steht T (das einer Ligatur des Minuszeichens und 1 ähnelt ) für −1 , während 0 und 1 sich selbst darstellen. Andere Konventionen beinhalten die Verwendung von '-' und '+', um -1 bzw. 1 darzustellen, oder die Verwendung des griechischen Buchstabens Theta (Θ), der einem Minuszeichen in einem Kreis ähnelt, um -1 darzustellen. In Veröffentlichungen über den Setun- Computer wird -1 als umgedreht 1 dargestellt: "1".

Balanced ternary taucht schon früh in Michael Stifels Buch Arithmetica Integra (1544) auf. Es kommt auch in den Werken von Johannes Kepler und Léon Lalanne vor . Verwandte Schemata mit Vorzeichen in anderen Basen wurden von John Colson , John Leslie , Augustin-Louis Cauchy und möglicherweise sogar den alten indischen Veden diskutiert .

Definition

Lassen Sie bezeichnen die Gruppe von Symbolen (auch genannt Glyphen oder Zeichen ) , wobei das Symbol manchmal anstelle von verwendet wird , definieren eine ganze Zahl -wertige Funktion durch ${\mathcal{D}}_{3}$ ${\mathcal{D}}_{3}=\lbrace\operatorname {T},0,1\rbrace$ ${\bar {1}}$ $\operatorname {T} .$ $f=f_{{\mathcal{D}}_{3}}:{\mathcal{D}}_{3}\to \mathbb{Z}$

f_{}(\operatorname {T} )=-1,

f_{}(0)=0,

und

f_{}(1)=1

wobei die rechten Seiten ganze Zahlen mit ihren üblichen (dezimalen) Werten sind. Diese Funktion, ist das, was streng und formal festgelegt , wie Integer - Werte zu den Symbolen zugeordnet sind / Glyphen Ein Vorteil dieses Formalismus ist , dass die Definition von „den ganzen Zahlen“ (aber sie können definiert werden) nicht mit einem bestimmten System zum Schreiben verschmelzt /sie vertretend; Auf diese Weise werden diese beiden unterschiedlichen (wenn auch eng verwandten) Konzepte getrennt. $f_{},$ ${\mathcal {D}}_{3}.$

Die Menge bildet zusammen mit der Funktion eine ausgeglichene vorzeichenbehaftete Darstellung , die als ausgeglichenes ternäres System bezeichnet wird. Es kann verwendet werden, um ganze Zahlen und reelle Zahlen darzustellen. ${\mathcal{D}}_{3}$ $f_{}$

Ternäre Integer-Auswertung

Lassen Sie das sein Kleene zuzüglich der , die die Menge aller endlichen Länge verketteten Zeichenketten von einem oder mehreren Symbolen (seine genannte Ziffern ) , wobei eine nicht negative ganze Zahl ist und alle Ziffern werden von entnommen Der Start der das Symbol ist (auf der rechten ), sein Ende ist (links) und seine Länge ist . Die ternäre Auswertung ist die Funktion, die definiert wird, indem jeder Zeichenkette die ganze Zahl zugewiesen wird ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ ${\mathcal{D}}_{3}$ $d_{n}\ldots d_{0}$ $n$ $n+1$ $d_{n},\ldots ,d_{0}$ ${\mathcal{D}}_{3}=\lbrace\operatorname {T},0,1\rbrace.$ $d_{n}\ldots d_{0}$ $d_{0}$ $d_{n}$ $n+1$ $v=v_{3}~:~{\mathcal{D}}_{3}^{+}\to \mathbb{Z}$ $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$

v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^ {ich}.

Der String stellt (in Bezug auf ) die ganze Zahl dar Der Wert kann alternativ mit bezeichnet werden Die Abbildung ist surjektiv aber nicht injektiv, da zum Beispiel jede ganze Zahl genau eine Darstellung darunter hat , die (links) nicht mit dem Symbol . endet dh $d_{n}\ldots d_{0}$ $v$ $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).$ $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)$ ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ $v:{\mathcal{D}}_{3}^{+}\to \mathbb{Z}$ $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots.$ $v$ $0,$ $d_{n}=0.$

Wenn und dann erfüllt: $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ $n>0$ $v$

v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right)3^{n}+v\ left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)

was zeigt, dass eine Art Rekursionsrelation erfüllt ist . Diese Rekursionsbeziehung hat drei Anfangsbedingungen, eine für jedes Wo Explizit sind sie und $v$ $d\in {\mathcal {D}}_{3},$ $v\left(d\right)=f_{}\left(d\right)\,3^{0}=f_{}\left(d\right).$ $v\left(\operatorname {T} \right)=-1,$ $v\left(0\right)=0,$ $v\left(1\right)=1.$

Dies impliziert, dass für jede Saite $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},$

v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)

was in Worten sagt, dass führende Symbole (links in einer Zeichenfolge mit 2 oder mehr Symbolen) den resultierenden Wert nicht beeinflussen. $0$

Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie einige Werte von berechnet werden können, wobei (wie zuvor) alle ganzen Zahlen dezimal (Basis 10) geschrieben werden und alle Elemente von nur Symbole sind. $v$ ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$

{\begin{alignedat}{10}v\left(\operatorname {T} \operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1} +&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=-4\\v\left(\operatorname {T} 1\right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(-1 )&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=-2\\v\left(1\operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{ }\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=2\\v\left(11\right)&=&&f_ {}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=4\ \v\left(1\operatorname {T} 0\right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{ 1}+&&f_{}\left(0\right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(-1)&&3&&\,+\,&&(0)&&1&&=6\\v \left(10\operatorname {T} \right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(0\right)3^{1}+&&f_{}\ left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(0)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=8\\\end{alignedat }}

und unter Verwendung der obigen Wiederholungsbeziehung

v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+v\left(01\operatorname {T} \right)=(1) 27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.

Umrechnung in Dezimalzahl

Im balancierten ternären System ist der Wert einer Ziffer n Stellen links vom Radixpunkt das Produkt der Ziffer und 3 ⁿ . Dies ist nützlich, wenn Sie zwischen dezimal und symmetrisch ternär umrechnen. Im Folgenden tragen die Zeichenfolgen, die symmetrisches Ternär bezeichnen, das Suffix bal3 . Zum Beispiel,

10 _bal3 = 1 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 3 ₁₀

10ᴛ _bal3 = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 8 ₁₀

−9 ₁₀ = −1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = ᴛ00 _bal3

8 ₁₀ = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 10ᴛ _bal3

Ebenso gilt für die erste Stelle rechts vom Radixpunkt 3 ⁻¹ =1/3, an zweiter Stelle gilt 3 ⁻² =1/9, und so weiter. Zum Beispiel,

−23₁₀ = −1 +13= −1 × 3 ⁰ + 1 × 3 ⁻¹ = ᴛ.1 _bal3 .

Dezember	Bal3	Erweiterung	Dezember	Bal3	Erweiterung
0	0	0
1	1	+1	-1	ᴛ	-1
2	1ᴛ	+3−1	-2	ᴛ1	-3+1
3	10	+3	-3	ᴛ0	-3
4	11	+3+1	-4	ᴛᴛ	−3−1
5	1ᴛᴛ	+9−3−1	-5	11	-9+3+1
6	1ᴛ0	+9−3	-6	10	-9+3
7	1ᴛ1	+9−3+1	-7	1ᴛ	−9+3−1
8	10ᴛ	+9−1	-8	ᴛ01	-9+1
9	100	+9	-9	00	-9
10	101	+9+1	-10	ᴛ0ᴛ	−9−1
11	11ᴛ	+9+3−1	-11	ᴛᴛ1	−9−3+1
12	110	+9+3	-12	ᴛᴛ0	-9-3
13	111	+9+3+1	−13	ᴛᴛᴛ	−9−3−1

Eine ganze Zahl ist genau dann durch drei teilbar, wenn die Ziffer an der Einheitsstelle Null ist.

Wir können die Parität einer ausgeglichenen ternären ganzen Zahl überprüfen, indem wir die Parität der Summe aller trits überprüfen . Diese Summe hat die gleiche Parität wie die ganze Zahl selbst.

Symmetrisches Ternär kann auch auf Bruchzahlen erweitert werden, ähnlich wie Dezimalzahlen rechts vom Wurzelpunkt geschrieben werden .

Dezimal	−0,9	−0.8	−0,7	−0,6	−0,5	−0,4	−0,3	−0,2	−0,1
Ausgeglichener Ternär	. 010ᴛ	. 1ᴛᴛ1	. 100	. 11ᴛᴛ	0. ᴛ oder ᴛ. 1	0. ᴛᴛ11	0. ᴛ010	0. ᴛ11ᴛ	0. 0ᴛ01
Dezimal	0,9	0.8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1
Ausgeglichener Ternär	1. 0ᴛ01	1. 11ᴛ	1. ᴛ010	1. 11	0. 1 oder 1. ᴛ	0. 11ᴛᴛ	0. 10ᴛ0	0. 1ᴛᴛ1	0. 010ᴛ

Dezimal oder binär haben ganzzahlige Werte und abschließende Brüche mehrere Darstellungen. Zum Beispiel,1/10= 0,1 = 0,1 0 = 0,0 9 . Und,1/2= 0,1 ₂ = 0,1 0 ₂ = 0,0 1 ₂ . Einige ausgeglichene ternäre Brüche haben auch mehrere Darstellungen. Zum Beispiel,1/6= 0,1 ᴛ _bal3 = 0,0 1 _bal3 . Natürlich können wir im Dezimal- und Binärsystem die am weitesten rechts nachgestellten unendlichen Nullen nach dem Radixpunkt weglassen und eine Darstellung einer ganzen Zahl oder eines abschließenden Bruchs erhalten. Bei ausgeglichenem Ternär können wir jedoch die am weitesten rechts nachlaufenden unendlichen −1s nach dem Radixpunkt nicht weglassen, um eine Darstellung einer ganzen Zahl oder eines abschließenden Bruchs zu erhalten.

Donald Knuth hat darauf hingewiesen, dass Abschneiden und Runden in ausgeglichenen ternären Systemen dieselbe Operation sind – sie führen zu genau demselben Ergebnis (eine Eigenschaft, die mit anderen ausgeglichenen Zahlensystemen geteilt wird). Die Nummer1/2ist nicht außergewöhnlich; es hat zwei gleichwertige Repräsentationen und zwei gleichwertige Verkürzungen: 0. 1 (round auf 0 und Trunkat auf 0) und 1 ᴛ (Runde 1 und Trunkat auf 1). Bei einer ungeraden Radix ist die doppelte Rundung auch gleichbedeutend mit einer direkten Rundung auf die endgültige Genauigkeit, im Gegensatz zu einer geraden Radix.

Die Grundoperationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – werden wie beim regulären Ternär ausgeführt. Die Multiplikation mit zwei kann erfolgen, indem man eine Zahl zu sich selbst addiert oder sich selbst nach einem Trit-Links-Shifting subtrahiert.

Eine arithmetische Verschiebung nach links einer ausgeglichenen ternären Zahl entspricht einer Multiplikation mit einer (positiven, ganzzahligen) Potenz von 3; und eine arithmetische Rechtsverschiebung einer ausgeglichenen ternären Zahl entspricht einer Division durch eine (positive, ganzzahlige) Potenz von 3.

Umrechnung in und von einem Bruch

Fraktion	Ausgeglichener ternär		Fraktion	Ausgeglichener ternär
1	1		1/11	0. 01ᴛ11
1/2	0. 1	1 .	1/12	0.0 1ᴛ
1/3	0,1		1/13	0. 01ᴛ
1/4	0. 1ᴛ		1/14	0. 01ᴛ0ᴛ1
1/5	0. 1ᴛᴛ1		1/fünfzehn	0.0 1ᴛᴛ1
1/6	0.0 1	0,1 ᴛ	1/16	0. 01ᴛᴛ
1/7	0. 0110ᴛᴛ		1/17	0. 01ᴛᴛᴛ10ᴛ0ᴛ111ᴛ01
1/8	0. 01		1/18	0,00 1	0,01 ᴛ
1/9	0,01		1/19	0. 00111ᴛ10100ᴛᴛᴛ1ᴛ0ᴛ
1/10	0. 010ᴛ		1/20	0 0011

Die Umwandlung einer sich wiederholenden ausgeglichenen Ternärzahl in einen Bruch ist analog zur Umwandlung einer sich wiederholenden Dezimalzahl . Zum Beispiel (wegen 111111 _bal3 = (3 ⁶ − 1/3 − 1) ₁₀ ):

0.1{\overline {\mathrm {110TT0} }}={\tfrac {\mathrm {1110TT0-1} }{\mathrm {111111\times 1T\times 10} }}={\tfrac {\mathrm { 1110TTT} }{\textrm {111111\times 1T0} }}={\tfrac {\textrm {111\times 1000T} }{\textrm {111\times 1001\times 1T0} }}={\tfrac {\textrm { 1111\times 1T} }{\textrm {1001\times 1T0} }}={\tfrac {1111}{10010}}={\tfrac {\textrm {1T1T} }{\textrm {1TTT0} }}={\ tfrac {101}{\mathrm {1T10} }}

Irrationale Zahlen

Wie jede andere ganzzahlige Basis enden oder wiederholen sich algebraische Irrationale und transzendente Zahlen nicht. Zum Beispiel:

Dezimal	Ausgeglichener ternär
${\sqrt {2}}=1.4142135623731\ldots$	${\sqrt {\mathrm {1T}}}=\mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT\ldots}$
${\sqrt {3}}=1.7320508075689\ldots$	${\sqrt {\mathrm {10}}}=\mathrm {1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0\ldots}$
${\sqrt {5}}=2.2360679774998\ldots$	${\sqrt {\mathrm {1TT}}}=\mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1\ldots}$
${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887499\ldots}$	${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {\mathrm {1TT}}}}{\mathrm {1T}}}=\mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011\ldots} }$
$\tau =6.28318530717959\ldots$	$\tau =\mathrm {1T0,10TT0T1100T110TT0T1TT000001} \ldots$
$\pi =3.14159265358979\ldots$	$\pi =\mathrm {10.011T111T000T011T1101T111111} \ldots$
$e=2.71828182845905\ldots$	$e=\mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T} \ldots$

Die ausgeglichenen ternären Expansionen von sind in OEIS als A331313 angegeben , die von in A331990 . $\pi$ $e$

Umwandlung von ternär

Unsymmetrische ternäre Notation kann auf zwei Arten in ausgewogene ternäre Notation umgewandelt werden:

Addiere 1 Trit-by-Trit vom ersten Trit ungleich Null mit Übertrag und subtrahiere dann 1 Trit-by-Trit von demselben Trit ohne Borgen. Zum Beispiel,
021 ₃ + 11 ₃ = 102 ₃ , 102 ₃ − 11 ₃ = 1T1 _bal3 = 7 ₁₀ .
Wenn eine 2 ternär vorhanden ist, wandeln Sie sie in 1T um. Zum Beispiel,
0212 ₃ = 0010 _bal3 + 1T00 _bal3 + 001T _bal3 = 10TT _bal3 = 23 ₁₀

Ausgewogen	Logik	Ohne Vorzeichen
1	Wahr	2
0	Unbekannt	1
T	Falsch	0

Wenn die drei Werte von Ternary Logik sind falsch , unbekannt und wahr , und diese sind zu einem ausgewogenen ternären als T abgebildet, 0 und 1 und zu herkömmlichen unsigned Ternärwerte als 0, 1 und 2, dann ausgewogen ternäre kann als voreingenommen Zahl betrachtet werden analog zum Offset-Binärsystem . Wenn die ternäre Nummer hat n Trits, so wird die Vorspannung b ist

b=\left\lfloor {\frac {3^{n}}{2}}\right\rfloor

die als alle in konventioneller oder voreingenommener Form dargestellt werden.

Als Ergebnis kann, wenn diese beiden Darstellungen für symmetrische und vorzeichenlose ternäre Zahlen verwendet werden, ein positiver ternärer n- trit-Wert ohne Vorzeichen in eine symmetrische Form durch Addieren des Bias b umgewandelt werden und eine positive symmetrische Zahl kann in eine vorzeichenlose Form durch Subtrahieren von . umgewandelt werden Voreingenommenheit b . Wenn x und y ausgeglichene Zahlen sind, ist ihre ausgeglichene Summe außerdem x + y − b, wenn sie unter Verwendung herkömmlicher vorzeichenloser ternärer Arithmetik berechnet wird. Wenn x und y herkömmliche ternäre Zahlen ohne Vorzeichen sind, ist ihre Summe x + y + b, wenn sie mit ausgeglichener ternärer Arithmetik berechnet wird.

Umwandlung in ausgeglichene ternäre von jeder ganzzahligen Basis

Wir können mit der folgenden Formel in ausgeglichenes Ternär umrechnen:

\left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots \right)_{b}=\ Summe _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty}c_{k}b^{-k}.

wo,

a _n a _{n −1} ... a ₁a ₀ . c ₁c ₂c ₃ ... ist die ursprüngliche Darstellung im ursprünglichen Zahlensystem.

b ist die ursprüngliche Radix. b ist 10, wenn von Dezimal umgerechnet wird.

a _k und c _k sind die Ziffern k Stellen links bzw. rechts vom Wurzelpunkt.

Zum Beispiel,

 −25.4₁₀ = −(1T×101¹ + 1TT×101⁰ + 11×101⁻¹)
          = −(1T×101 + 1TT + 11÷101)
          = −10T1.11TT
          =  T01T.TT11

 1010.1₂ = 1T¹⁰ + 1T¹ + 1T⁻¹
           = 10T + 1T + 0.1
           = 101.1

Addition, Subtraktion und Multiplikation und Division

Die Einzeltrit-Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionstabellen sind unten gezeigt. Bei Subtraktion und Division, die nicht kommutativ sind , steht der erste Operand links von der Tabelle, der zweite oben. Die Antwort auf 1 − T = 1T befindet sich beispielsweise in der unteren linken Ecke der Subtraktionstabelle.

Zusatz
+	T	0	1
T	T1	T	0
0	T	0	1
1	0	1	1T

Subtraktion
−	T	0	1
T	0	T	T1
0	1	0	T
1	1T	1	0

Multiplikation
×	T	1
T	1	T
0	0	0
1	T	1

Aufteilung
÷	T	1
T	1	T
0	0	0
1	T	1

Multitrit-Addition und -Subtraktion

Multitrit-Addition und -Subtraktion ist analog zu binär und dezimal. Addiere und subtrahiere Trit für Trit und addiere den Übertrag entsprechend. Zum Beispiel:

           1TT1TT.1TT1              1TT1TT.1TT1            1TT1TT.1TT1          1TT1TT.1TT1
         +   11T1.T                −  11T1.T              −  11T1.T     →     +   TT1T.1
        ______________          ______________                               _______________
           1T0T10.0TT1              1T1001.TTT1                                 1T1001.TTT1
         +   1T                   +  T  T1                                    + T  T
         ______________         ________________                             ________________
           1T1110.0TT1              1110TT.TTT1                                 1110TT.TTT1
         +   T                    + T   1                                     + T   1
         ______________         ________________                             ________________
           1T0110.0TT1               1100T.TTT1                                  1100T.TTT1

Multi-Trit-Multiplikation

Multi-Trit-Multiplikation ist analog zu binär und dezimal.

       1TT1.TT
   ×   T11T.1
   _____________
        1TT.1TT multiply 1
       T11T.11  multiply T
      1TT1T.T   multiply 1
     1TT1TT     multiply 1
    T11T11      multiply T
   _____________
    0T0000T.10T

Multitrit-Division

Die symmetrische ternäre Division ist analog zu der von binär und dezimal.

Jedoch 0,5 ₁₀ = 0,1111... _bal3 oder 1.TTTT... _bal3 . Liegt der Dividenden über dem Plus- oder Minushalbdivisor, muss der Trit des Quotienten 1 oder T sein. Liegt der Dividenden zwischen Plus und Minus des halben Divisors, ist der Trit des Quotienten 0. Der Betrag des Dividenden muss mit dem des halben Teilers verglichen werden, bevor der Quotient trit eingestellt wird. Zum Beispiel,

                         1TT1.TT      quotient
0.5 × divisor  T01.0 _____________                
      divisor T11T.1 ) T0000T.10T     dividend             
                      T11T1                        T000 < T010, set 1
                     _______
                       1T1T0
                       1TT1T                      1T1T0 > 10T0, set T 
                      _______
                         111T
                        1TT1T                      111T > 10T0, set T
                       _______
                          T00.1
                         T11T.1                    T001 < T010, set 1
                        ________
                          1T1.00
                          1TT.1T                  1T100 > 10T0, set T
                         ________
                           1T.T1T
                           1T.T1T                 1TT1T > 10T0, set T
                          ________
                                0

Ein anderes Beispiel,

                           1TTT
       0.5 × divisor 1T  _______
            Divisor  11  )1T01T                   1T = 1T, but 1T.01 > 1T, set 1
                          11
                         _____
                          T10                    T10 < T1, set T
                           TT
                         ______
                           T11                   T11 < T1, set T
                            TT
                          ______
                             TT                   TT < T1, set T
                             TT
                            ____
                              0

Ein anderes Beispiel,

                           101.TTTTTTTTT... 
                        or 100.111111111... 
       0.5 × divisor 1T  _________________
            divisor  11  )111T                    11 > 1T, set 1
                          11
                         _____
                            1                     T1 < 1 < 1T, set 0
                           ___
                            1T                    1T = 1T, trits end, set 1.TTTTTTTTT... or 0.111111111...

Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

Der Vorgang des Ziehens der Quadratwurzel bei ausgeglichenem Ternär ist analog zu dem bei Dezimal oder Binär.

(10\cdot x+y)^{\mathrm {1T} }-100\cdot x^{\mathrm {1T} }=\mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1T} }={\begin{Fälle}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y =1\end{Fälle}}

Wie bei der Division sollten wir zuerst den Wert des halben Divisors überprüfen. Zum Beispiel,

                             1. 1 1 T 1 T T 0 0 ... 
                           _________________________
                          √ 1T                          1<1T<11, set 1
                           − 1
                            _____
                  1×10=10    1.0T                       1.0T>0.10, set 1
                      1T0   −1.T0
                            ________
                  11×10=110    1T0T                     1T0T>110, set 1
                       10T0   −10T0
                              ________
                 111×10=1110    T1T0T                   T1T0T<TTT0, set T
                       100T0   −T0010
                               _________
                111T×10=111T0    1TTT0T                 1TTT0T>111T0, set 1
                       10T110   −10T110
                                __________
               111T1×10=111T10    TT1TT0T               TT1TT0T<TTT1T0, set T
                       100TTT0   −T001110
                                 ___________
              111T1T×10=111T1T0    T001TT0T             T001TT0T<TTT1T10, set T
                       10T11110   −T01TTTT0
                                  ____________
               111T1TT×10=111T1TT0    T001T0T           TTT1T110<T001T0T<111T1TT0, set 0
                                     −      T           Return 1
                                     ___________
             111T1TT0×10=111T1TT00    T001T000T         TTT1T1100<T001T000T<111T1TT00, set 0
                                     −        T         Return 1
                                     _____________
           111T1TT00*10=111T1TT000    T001T00000T
                                             ...

Die Extraktion der Kubikwurzel in ausgeglichenem Ternär ist ähnlich wie die Extraktion in Dezimal oder Binär:

(10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1T}}\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1T} }={\begin{Fälle}\mathrm {T} +\mathrm {T000} \cdot x^{\mathrm {1T}}+100\cdot x,&y=\ mathrm {T} \\0,&y=0\\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=1\end{cases}}

Wie bei der Division sollten wir auch zuerst den Wert des halben Divisors überprüfen. Zum Beispiel:

                              1.  1   T  1  0 ... 
                            _____________________
                          ³√ 1T
                            − 1                 1<1T<10T,set 1
                            _______
                              1.000
              1×100=100      −0.100             borrow 100×, do division
                             _______
                      1TT     1.T00             1T00>1TT, set 1
          1×1×1000+1=1001    −1.001
                             __________
                                T0T000
            11×100            −   1100           borrow 100×, do division
                              _________
                     10T000     TT1T00           TT1T00<T01000, set T
       11×11×1000+1=1TT1001   −T11T00T
                              ____________
                                1TTT01000
           11T×100             −    11T00        borrow 100×, do division
                               ___________
                   1T1T01TT     1TTTT0100        1TTTT0100>1T1T01TT, set 1
    11T×11T×1000+1=11111001    − 11111001
                               ______________
                                    1T10T000
          11T1×100                 −  11T100      borrow 100×, do division
                                   __________
                      10T0T01TT     1T0T0T00      T01010T11<1T0T0T00<10T0T01TT, set 0
    11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001    −  TT1T00      return 100×
                                   _____________
                                    1T10T000000
                                        ...

Daher ³ √ 2 = 1,259921 ₁₀ = 1,1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 _bal3 .

Anwendungen

Im Computerdesign

Operationstabellen

In den frühen Tagen der Computertechnik wurden einige experimentelle sowjetische Computer mit ausgeglichenem Ternär anstelle von Binär gebaut, der berühmteste war der Setun , der von Nikolay Brusentsov und Sergei Sobolev gebaut wurde . Die Notation hat eine Reihe von rechnerischen Vorteilen gegenüber herkömmlichen binären und ternären. Insbesondere die Plus-Minus-Konsistenz verringert die Übertragsrate bei der Multiplikation mit mehreren Stellen, und die Rundungs-Abschnitt-Äquivalenz verringert die Übertragsrate beim Runden von Brüchen. Bei ausgeglichenem Ternär bleibt die einstellige Multiplikationstabelle einstellig und hat keinen Übertrag, und die Additionstabelle hat nur zwei Überträge von neun Einträgen, im Vergleich zu unausgeglichenem Ternär mit einem bzw. drei.

"Die Komplexität der arithmetischen Schaltungen für die symmetrische ternäre Arithmetik ist nicht viel größer als für das Binärsystem, und eine gegebene Zahl erfordert nur so viele Stellen für ihre Darstellung." "Vielleicht werden sich eines Tages die symmetrischen Eigenschaften und die einfache Arithmetik dieses Zahlensystems als sehr wichtig erweisen." $\log_{3}2\approx 63\%$

Andere Anwendungen

Der Satz, dass jede ganze Zahl eine eindeutige Darstellung in balancierten ternären hat, wurde von Leonhard Euler verwendet , um die Identität formaler Potenzreihen zu rechtfertigen

\prod_{n=0}^{\infty}\left(x^{-3^{n}}+1+x^{3^{n}}\right)=\sum _{n =-\infty}^{\infty}x^{n}.

Ausgeglichenes Ternär hat andere Anwendungen als Computing. Zum Beispiel kann eine klassische Zweischalen - Waage , mit einem Gewicht für jede Leistung von 3, kann relativ schwere Gegenstände genau mit einer geringen Anzahl von Gewichten wiegen, durch Gewichte zwischen den beiden Pfannen und der Tisch zu bewegen. Mit Gewichten für jede Potenz von 3 bis 81 wird beispielsweise ein 60-Gramm-Objekt (60 ₁₀ = 1T1T0 _bal3 ) perfekt mit einem 81-Gramm-Gewicht in der anderen Pfanne, dem 27-Gramm-Gewicht in seiner eigenen Pfanne, der 9 Gramm-Gewicht in der anderen Pfanne, das 3-Gramm-Gewicht in der eigenen Pfanne und das 1-Gramm-Gewicht beiseite gelegt.

Betrachten Sie ähnlich ein Währungssystem mit Münzen im Wert von 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Besitzen Käufer und Verkäufer jeweils nur eine Coin jeder Sorte, ist jede Transaktion bis 121¤ möglich. Beträgt der Preis beispielsweise 7¤ (7 ₁₀ = 1T1 _bal3 ), zahlt der Käufer 1¤ + 9¤ und erhält 3¤ Wechselgeld.

Sie können auch eine natürlichere Darstellung für das qutrit und die Systeme, die es verwenden, bereitstellen.

Siehe auch

Methoden zur Berechnung von Quadratwurzeln
Zahlensystem
Qutrit
Salamis-Tablette
Ternärer Computer
- Setun , ein ternärer Computer
Ternäre Logik

Verweise

Externe Links

Entwicklung ternärer Computer an der Moskauer Staatlichen Universität
Darstellung von Bruchzahlen in Balanced Ternary
"Dritte Basis" , ternäre und balancierte ternäre Zahlensysteme
Das Balanced Ternary Number System (beinhaltet einen dezimalen Integer-zu-symmetrischen Ternär-Konverter)
OEIS- Sequenz A182929 (Das binomiale Dreieck reduziert auf ausgeglichene ternäre Listen)
Ausgeglichene (signierte) ternäre Notation von Brian J. Shelburne (PDF-Datei)
Die ternäre Rechenmaschine von Thomas Fowler von Mark Glusker

Languages

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