Bilineare Form - Bilinear form
In der Mathematik ist eine bilineare Form auf einem Vektorraum V (dessen Elemente Vektoren genannt werden) über einem Körper K (dessen Elemente Skalare genannt werden ) eine bilineare Abbildung V × V → K . Mit anderen Worten, eine Bilinearform ist eine Funktion B : V × V → K , die in jedem Argument separat linear ist :
- B ( u + v , w ) = B ( u , w ) + B ( v , w ) und B ( λ u , v ) = & lambda; B ( u , v )
- B ( u , v + w ) = B ( u , v ) + B ( u , w ) und B ( u , λ v ) = λB ( u , v )
Das Punktprodukt on ist ein Beispiel für eine Bilinearform.
Die Definition einer Bilinearform kann erweitert werden, um Module über einem Ring einzuschließen , wobei lineare Abbildungen durch Modulhomomorphismen ersetzt werden .
Wenn K der Körper der komplexen Zahlen C ist , interessiert man sich oft mehr für sesquilineare Formen , die bilinearen Formen ähneln, aber in einem Argument konjugiert linear sind .
Koordinatendarstellung
Lassen V ≅ K n sein , einen n - dimensionalen Vektorraum mit Basis { e 1 , ..., e n } .
Die n × n- Matrix A , definiert durch A ij = B ( e i , e j ) heißt Matrix der Bilinearform auf der Basis { e 1 , …, e n } .
Wenn die n × 1- Matrix x einen Vektor v bezüglich dieser Basis darstellt und analog y einen anderen Vektor w darstellt , dann gilt:
Eine Bilinearform hat verschiedene Matrizen auf verschiedenen Basen. Die Matrizen einer Bilinearität auf verschiedenen Basen sind jedoch alle kongruent . Genauer gesagt, wenn { f 1 , …, f n } eine weitere Basis von V ist , dann
Karten zum dualen Raum
Jede Bilinearform B auf V definiert ein Paar linearer Abbildungen von V zu seinem Dualraum V ∗ . Definiere B 1 , B 2 : V → V ∗ durch
Dies wird oft bezeichnet als
wobei der Punkt ( ⋅ ) den Slot angibt, in den das Argument für das resultierende lineare Funktional eingefügt werden soll (siehe
Currying ).Wenn für einen endlichdimensionalen Vektorraum V entweder B 1 oder B 2 ein Isomorphismus ist, dann sind beide dies, und die Bilinearform B wird als nicht entartet bezeichnet . Konkreter bedeutet nicht entartet für einen endlichdimensionalen Vektorraum, dass jedes Element ungleich null nicht trivial mit einem anderen Element paart:
- for all impliziert, dass
Der entsprechende Begriff für einen Modul über einem kommutativen Ring lautet, dass eine Bilinearform unimodular, wenn V → V ∗ ein Isomorphismus ist. Bei einem endlich erzeugten Modul über einem kommutativen Ring kann die Paarung injektiv (daher "nicht entartet" im obigen Sinne), aber nicht unimodular sein. Über den ganzen Zahlen ist beispielsweise die Paarung B ( x , y ) = 2 xy nicht entartet, aber nicht unimodular, da die induzierte Abbildung von V = Z nach V ∗ = Z eine Multiplikation mit 2 ist.
Wenn V endlichdimensional ist, kann man V mit seinem Doppeldual V ∗∗ identifizieren . Man kann dann zeigen, dass B 2 die Transponierte der linearen Abbildung B 1 ist (wenn V unendlichdimensional ist, dann ist B 2 die Transponierte von B 1 beschränkt auf das Bild von V in V ∗∗ ). Bei gegebenem B kann man die Transponierte von B als die Bilinearform definieren, die gegeben ist durch
Der linke und der rechte Rest der Form B sind die Kerne von B 1 bzw. B 2 ; sie sind die Vektoren orthogonal zum gesamten Raum links und rechts.
Wenn V endlichdimensional ist, ist der Rang von B 1 gleich dem Rang von B 2 . Wenn diese Zahl gleich dim( V ) ist, dann sind B 1 und B 2 lineare Isomorphismen von V nach V ∗ . In diesem Fall ist B nicht entartet. Nach dem Rang-Null-Theorem ist dies äquivalent zu der Bedingung, dass die linken und äquivalenten rechten Radikale trivial sind. Für endlichdimensionale Räume wird dies oft als Definition der Nichtentartung genommen:
Gegeben jede lineare Abbildung A : V → V ∗ erhält man eine Bilinearform B auf V über
Diese Form ist genau dann nicht entartet, wenn A ein Isomorphismus ist.
Wenn V ist endlich-dimensionale dann, relativ zu einer Basis für V , eine bilineare Form degeneriert ist, wenn und nur wenn die Determinante der Matrix zugehörigen Null ist. Ebenso ist eine nicht entartete Form eine, für die die Determinante der zugeordneten Matrix nicht Null ist (die Matrix ist nicht singulär ). Diese Aussagen sind unabhängig von der gewählten Basis. Für einen Modul über einem kommutativen Ring ist eine unimodulare Form eine Form, für die die Determinante der assoziierten Matrix eine Einheit ist (zum Beispiel 1), daher der Begriff; Beachten Sie, dass eine Form, deren Matrixdeterminante nicht null ist, aber keine Einheit ist, nicht entartet, aber nicht unimodular ist, zum Beispiel B ( x , y ) = 2 xy über den ganzen Zahlen.
Symmetrische, schiefsymmetrische und alternierende Formen
Wir definieren eine Bilinearform als
- symmetrisch wenn B ( v , w ) = B ( w , v ) für alle v , w in V ;
- alternierend, wenn B ( v , v ) = 0 für alle v in V ;
-
schiefsymmetrisch falls B ( v , w ) = − B ( w , v ) für alle v , w in V ;
- Vorschlag
- Jede alternierende Form ist schiefsymmetrisch.
- Nachweisen
- Dies kann durch Erweiterung von B ( v + w , v + w ) gesehen werden .
Ist die Charakteristik von K nicht 2, dann gilt auch das Umgekehrte: Jede schiefsymmetrische Form ist alternierend. Wenn jedoch char( K ) = 2 ist, ist eine schiefsymmetrische Form gleich einer symmetrischen Form und es gibt symmetrische/schiefsymmetrische Formen, die sich nicht abwechseln.
Eine Bilinearform ist genau dann symmetrisch (bzw. schief-symmetrisch), wenn ihre Koordinatenmatrix (bezogen auf eine beliebige Basis) symmetrisch (bzw. schief-symmetrisch ) ist. Eine Bilinearform ist alternierend genau dann, wenn ihre Koordinatenmatrix schiefsymmetrisch ist und die diagonalen Einträge alle Null sind (was aus schiefer Symmetrie folgt, wenn char( K ) ≠ 2 ).
Eine Bilinearform ist genau dann symmetrisch, wenn die Abbildungen B 1 , B 2 : V → V ∗ gleich sind, und schiefsymmetrisch genau dann, wenn sie Negative voneinander sind. Wenn char( K ) ≠ 2 ist, kann man eine Bilinearform wie folgt in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Teil zerlegen
Abgeleitete quadratische Form
Für jede bilineare Form B : V × V → K gibt es eine zugehörige quadratische Form Q : V → K definiert durch Q : V → K : v ↦ B ( v , v ) .
Wenn char( K ) ≠ 2 ist , wird die quadratische Form Q durch den symmetrischen Teil der Bilinearform B bestimmt und ist unabhängig vom antisymmetrischen Teil. In diesem Fall besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen dem symmetrischen Teil der Bilinearform und der quadratischen Form, und es ist sinnvoll, von der symmetrischen Bilinearform in Verbindung mit einer quadratischen Form zu sprechen.
Wenn char( K ) = 2 und dim V > 1 ist , bricht diese Korrespondenz zwischen quadratischen Formen und symmetrischen Bilinearformen zusammen.
Reflexivität und Orthogonalität
Eine Bilinearform B ist genau dann reflexiv, wenn sie entweder symmetrisch oder alternierend ist. In Ermangelung von Reflexivität müssen wir zwischen linker und rechter Orthogonalität unterscheiden. In einem reflexiven Raum stimmen die linken und rechten Radikale überein und werden als Kern oder Radikal der bilinearen Form bezeichnet: der Unterraum aller Vektoren orthogonal zu jedem anderen Vektor. Ein Vektor v mit Matrixdarstellung x liegt im Radikal einer Bilinearform mit Matrixdarstellung A genau dann, wenn Ax = 0 ⇔ x T A = 0 ist . Der Radikal ist immer ein Unterraum von V . Sie ist genau dann trivial, wenn die Matrix A nichtsingulär ist, und somit genau dann, wenn die Bilinearform nicht entartet ist.
Angenommen, W ist ein Unterraum. Definiere das orthogonale Komplement
Für eine nicht-degenerierte Form auf einem endlichen-dimensionalen Raum, die Karte V / W → W ⊥ ist bijektiv , und die Dimension von W ⊥ ist dim ( V ) - dim ( W ) .
Verschiedene Räume
Ein Großteil der Theorie ist für eine bilineare Abbildung von zwei Vektorräumen über dasselbe Basiskörper auf dieses Feld verfügbar
Hier haben wir noch induzierte lineare Abbildungen von V nach W ∗ und von W nach V ∗ . Es kann vorkommen, dass diese Abbildungen Isomorphismen sind; Unter der Annahme endlicher Dimensionen muss die eine Isomorphie sein, die andere muss es sein. In diesem Fall wird B als perfekte Paarung bezeichnet .
In endlichen Dimensionen ist dies gleichbedeutend damit, dass die Paarung nicht entartet ist (die Räume haben notwendigerweise die gleichen Dimensionen). Für Module (anstelle von Vektorräumen) ist eine nicht entartete Paarung eine schwächere Vorstellung als eine perfekte Paarung, genauso wie eine nicht entartete Form schwächer ist als eine unimodulare Form. Eine Paarung kann nicht entartet sein, ohne eine perfekte Paarung zu sein, zum Beispiel Z × Z → Z über ( x , y ) 2 xy ist nicht entartet, induziert aber eine Multiplikation mit 2 auf der Abbildung Z → Z ∗ .
Die Terminologie variiert in Bezug auf bilineare Formen. Zum Beispiel diskutiert F. Reese Harvey "acht Arten von inneren Produkten". Um sie zu definieren, verwendet er Diagonalmatrizen A ij mit nur +1 oder –1 für Nicht-Null-Elemente. Einige der "inneren Produkte" sind symplektische Formen und einige sind sesquilineare Formen oder hermitesche Formen . Anstelle eines allgemeinen Körpers K werden die Instanzen mit reellen Zahlen R , komplexen Zahlen C und Quaternionen H ausgeschrieben. Die bilineare Form
Einige der wirklich symmetrischen Fälle sind sehr wichtig. Der positiv bestimmte Fall R ( n , 0) wird als Euklidischer Raum bezeichnet , während der Fall eines einzelnen Minus R ( n −1, 1) als Lorentzscher Raum bezeichnet wird . Ist n = 4 , so heißt der Lorentzsche Raum auch Minkowski-Raum oder Minkowski-Raumzeit . Der Spezialfall R ( p , p ) wird als Split-Case bezeichnet .
Bezug zu Tensorprodukten
Aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts besteht eine kanonische Entsprechung zwischen Bilinearformen auf V und linearen Abbildungen V ⊗ V → K . Wenn B eine Bilinearform auf V ist, ist die entsprechende lineare Abbildung gegeben durch
In der anderen Richtung, wenn F : V ⊗ V → K ein lineare Abbildung ist , wird die entsprechende bilineare Form durch Zusammen gegebenes F mit der bilinearen Abbildung V × V → V ⊗ V , die senden ( v , w ) bis v ⊗ w .
Die Menge aller linearen Abbildungen V ⊗ V → K ist der duale Raum von V ⊗ V , also kann man sich bilineare Formen als Elemente von ( V ⊗ V ) ∗ vorstellen, die (wenn V endlichdimensional ist) kanonisch isomorph zu V . ist ∗ ⊗ V ∗ .
Ebenso kann man sich symmetrische Bilinearformen als Elemente von Sym 2 ( V ∗ ) (die zweite symmetrische Potenz von V ∗ ) und alternierende Bilinearformen als Elemente von Λ 2 V ∗ (die zweite äußere Potenz von V ∗ )
vorstellen .Auf normierten Vektorräumen
Definition: Eine Bilinearform auf einem normierten Vektorraum ( V , ‖⋅‖) ist beschränkt , wenn es eine Konstante C gibt mit für alle u , v ∈ V ,
Definition: Eine Bilinearform auf einem normierten Vektorraum ( V , ‖⋅‖) ist elliptisch oder koerzitiv , wenn es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für alle u ∈ V ,
Verallgemeinerung auf Module
Bei einem Ring R und ein rechter R -Modul M und seinem Doppelmodul M * , eine Abbildung B : M * × M → R ist eine sogenannte bilineare Form , wenn
für alle u , v ∈ M * , die alle x , y ∈ M und alle α , & bgr; ∈ R .
Die Abbildung ⟨⋅,⋅⟩ : M ∗ × M → R : ( u , x ) u ( x ) ist als natürliche Paarung bekannt , auch kanonische Bilinearform auf M ∗ × M genannt .
Eine lineare Abbildung S : M ∗ → M ∗ : u ↦ S ( u ) induziert die Bilinearform B : M ∗ × M → R : ( u , x ) ↦ ⟨ S ( u ), x ⟩ , und eine lineare Abbildung T : M → M : x ↦ T ( x ) induziert die bilineare Form B : M * × M → R ( u , x ) ↦ ⟨ u , T ( x ))⟩ .
Umgekehrt induziert eine Bilinearform B : M ∗ × M → R die R -linearen Abbildungen S : M ∗ → M ∗ : u ↦ ( x ↦ B ( u , x )) und T ′ : M → M ∗∗ : x ↦ ( u ↦ B ( u , x )) . Hier bezeichnet M ∗∗ das Doppeldual von M .
Siehe auch
- Bilineare Karte
- Bilinearer Operator
- Innerer Produktraum
- Lineare Form
- Multilineare Form
- Quadratische Form
- Sesquilineare Form
- Polarraum
Zitate
Verweise
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Externe Links
- "Bilineare Form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- "Bilineare Form" . PlanetMath .
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