Binärfunktion - Binary function

In der Mathematik ist eine Binärfunktion (auch als bivariate Funktion oder Funktion zweier Variablen bezeichnet ) eine Funktion , die zwei Eingaben benötigt.

Genau gesagt ist eine Funktion binär, wenn es solche Mengen gibt ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$

${\ displaystyle \, f \ Doppelpunkt X \ mal Y \ rechter Pfeil Z}$

Wo ist das kartesische Produkt von und ${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Alternative Definitionen

Mengen-theoretisch kann eine Binärfunktion als Teilmenge des kartesischen Produkts dargestellt werden , wobei genau dann zur Teilmenge gehört, wenn . Umgekehrt kann eine Teilmenge definiert eine binäre Funktion , wenn und nur dann , wenn für jede und , gibt es eine eindeutige , so dass gehört . wird dann als dies definiert . ${\ displaystyle X \ times Y \ times Z}$${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle f (x, y) = z}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle z \ in Z}$${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle z}$

Alternativ kann eine Binärfunktion einfach als eine Funktion von bis interpretiert werden . Selbst wenn man so denkt, schreibt man im Allgemeinen statt . (Das heißt, dasselbe Klammerpaar wird verwendet, um sowohl die Funktionsanwendung als auch die Bildung eines geordneten Paares anzuzeigen .) ${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle f ((x, y))}$

Beispiele

Die Aufteilung ganzer Zahlen kann als Funktion betrachtet werden. Wenn die Menge der ganzen Zahlen , die Menge der natürlichen Zahlen (außer Null) und die Menge der rationalen Zahlen ist , dann ist die Division eine binäre Funktion . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} ^ {+} \ to \ mathbb {Q}}$

Ein anderes Beispiel sind innere Produkte oder allgemeinere Funktionen der Form , wobei x , y reelle Vektoren geeigneter Größe sind und M eine Matrix ist. Wenn M eine positive bestimmte Matrix ist , ergibt dies ein inneres Produkt . ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {\ mathrm {T}} My}$

Funktionen zweier reeller Variablen

Funktionen, deren Domäne eine Teilmenge von ist, werden häufig auch als Funktionen zweier Variablen bezeichnet, selbst wenn ihre Domäne kein Rechteck und damit das kartesische Produkt zweier Mengen bildet. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Einschränkungen für gewöhnliche Funktionen

Man kann wiederum gewöhnliche Funktionen einer Variablen aus einer Binärfunktion ableiten. Gegeben jedes Element gibt es eine Funktion , oder von zu , gegeben durch . In ähnlicher Weise gibt es für jedes Element eine Funktion oder von bis gegeben durch . In der Informatik wird diese Identifikation zwischen einer Funktion von bis und einer Funktion von bis , bei der es sich um die Menge aller Funktionen von bis handelt , als Currying bezeichnet . ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle f ^ {x}}$${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle f_ {y}}$${\ displaystyle f (\ cdot, y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$

Verallgemeinerungen

Die verschiedenen Funktionskonzepte können auch auf Binärfunktionen verallgemeinert werden. Zum Beispiel ist das obige Teilungsbeispiel surjektiv (oder auf ), weil jede rationale Zahl als Quotient aus einer ganzen Zahl und einer natürlichen Zahl ausgedrückt werden kann. Dieses Beispiel ist in jedem Eingang separat injektiv , da die Funktionen f ^x und f _y immer injektiv sind. Es ist jedoch nicht in beiden Variablen gleichzeitig injektiv, weil (zum Beispiel) f (2,4) = f (1,2).

Man kann auch partielle Binärfunktionen berücksichtigen , die nur für bestimmte Werte der Eingänge definiert werden können. Zum Beispiel kann das obige Teilungsbeispiel auch als eine partielle Binärfunktion von Z und N bis Q interpretiert werden , wobei N die Menge aller natürlichen Zahlen einschließlich Null ist. Diese Funktion ist jedoch undefiniert, wenn der zweite Eingang Null ist.

Eine binäre Operation ist eine binäre Funktion, bei der die Mengen X , Y und Z alle gleich sind. Binäre Operationen werden häufig verwendet, um algebraische Strukturen zu definieren .

In der linearen Algebra ist eine bilineare Transformation eine binäre Funktion, bei der die Mengen X , Y und Z alle Vektorräume sind und die abgeleiteten Funktionen f ^x und f _y alle lineare Transformationen sind . Eine bilineare Transformation kann wie jede Binärfunktion als Funktion von X × Y nach Z interpretiert werden , aber diese Funktion ist im Allgemeinen nicht linear. Die bilineare Transformation kann jedoch auch als einzelne lineare Transformation vom Tensorprodukt zu Z interpretiert werden . ${\ displaystyle X \ otimes Y}$

Verallgemeinerungen auf ternäre und andere Funktionen

Das Konzept der binären Funktion verallgemeinert sich auf die ternäre (oder 3-arige ) Funktion , die quaternäre (oder 4-arige ) Funktion oder allgemeiner auf die n-arische Funktion für jede natürliche Zahl n . Eine 0-fache Funktion für Z wird einfach durch ein Element von Z gegeben . Man kann auch eine A-ary-Funktion definieren, wobei A eine beliebige Menge ist ; Für jedes Element von A gibt es einen Eingang .

Kategorietheorie

In der Kategorie Theorie , n - ary Funktionen verallgemeinern zu n in einem ary morphisms multicategory . Die Interpretation eines n -ary-Morphismus als gewöhnlicher Morphismus, dessen Domäne eine Art Produkt der Domänen des ursprünglichen n -ary-Morphismus ist, wird in einer monoidalen Kategorie funktionieren . Die Konstruktion der abgeleiteten Morphismen einer Variablen funktioniert in einer geschlossenen monoidalen Kategorie . Die Kategorie der Mengen ist monoid geschlossen, aber auch die Kategorie der Vektorräume, was den obigen Begriff der bilinearen Transformation ergibt.

Verweise