Komplette Kategorie - Complete category
In der Mathematik ist eine vollständige Kategorie eine Kategorie, in der alle kleinen Grenzen existieren. Das heißt, eine Kategorie C ist abgeschlossen , wenn jedes Diagramm F : J → C (wobei J ist klein ) eine Grenze in hat C . Doppelt ist eine Cocomplete-Kategorie eine, in der alle kleinen Colimits existieren. Eine Bicomplete-Kategorie ist eine Kategorie, die sowohl vollständig als auch Cocomplete ist.
Die Existenz aller Grenzen (selbst wenn J eine richtige Klasse ist ) ist zu stark, um praktisch relevant zu sein. Jede Kategorie mit dieser Eigenschaft ist notwendigerweise eine dünne Kategorie : Für zwei beliebige Objekte kann es höchstens einen Morphismus von einem Objekt zum anderen geben.
Eine schwächere Form der Vollständigkeit ist die der endlichen Vollständigkeit. Eine Kategorie ist endlich vollständig, wenn alle endlichen Grenzen existieren (dh Grenzen von Diagrammen, die durch eine endliche Kategorie J indiziert sind ). Doppelt ist eine Kategorie endlich vollständig, wenn alle endlichen Grenzen vorhanden sind.
Theoreme
Aus dem Existenzsatz für Grenzen folgt, dass eine Kategorie genau dann vollständig ist, wenn sie Equalizer (aller Morphismuspaare) und alle (kleinen) Produkte aufweist . Da Equalizer aus Pullbacks und binären Produkten konstruiert werden können (betrachten Sie den Pullback von ( f , g ) entlang der Diagonale Δ), ist eine Kategorie genau dann vollständig, wenn sie Pullbacks und Produkte aufweist.
Dually, ist eine Kategorie cocomplete , wenn und nur wenn es hat coequalizers und alle (kleinen) Koprodukte , oder äquivalent Pushouts und Co - Produkte.
Endliche Vollständigkeit kann auf verschiedene Arten charakterisiert werden. Für eine Kategorie C sind alle gleichwertig:
- C ist endlich vollständig,
- C hat Equalizer und alle endlichen Produkte,
- C hat Equalizer, binäre Produkte und ein Terminalobjekt .
- C hat Pullbacks und ein Terminalobjekt.
Die doppelten Aussagen sind ebenfalls gleichwertig.
Eine kleine Kategorie C ist genau dann vollständig, wenn sie vollständig ist. Eine kleine vollständige Kategorie ist notwendigerweise dünn.
Eine Posetalkategorie hat vakuum alle Equalizer und Coequalizer, von wo aus sie (endlich) vollständig ist, wenn und nur wenn sie alle (endlichen) Produkte enthält, und doppelt für die Vollständigkeit. Ohne die Einschränkung der Endlichkeit wird eine Posetalkategorie mit allen Produkten automatisch und doppelt durch einen Satz über vollständige Gitter vervollständigt.
Beispiele und Nichtbeispiele
- Die folgenden Kategorien sind vollständig:
- Set , die Kategorie der Sets
- Oben die Kategorie der topologischen Räume
- Grp , die Kategorie der Gruppen
- Ab , die Kategorie der abelschen Gruppen
- Ring , die Kategorie der Ringe
- K -Vect , die Kategorie von Vektorräumen über einem Feld K.
- R- Mod , die Kategorie von Modulen über einen kommutativen Ring R.
- CmptH , die Kategorie aller kompakten Hausdorff-Räume
- Katze , die Kategorie aller kleinen Kategorien
- Whl , die Kategorie der Räder
- sSet , die Kategorie der einfachen Mengen
- Die folgenden Kategorien sind endlich vollständig und endlich vollständig, aber weder vollständig noch vollständig:
- Die Kategorie der endlichen Mengen
- Die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen
- Die Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume
- Jede ( vor ) abelsche Kategorie ist endlich vollständig und endlich vollständig.
- Die Kategorie der vollständigen Gitter ist vollständig, aber nicht vollständig.
- Die Kategorie der metrischen Räume , Met , ist endlich vollständig, enthält jedoch weder binäre Nebenprodukte noch unendliche Produkte.
- Die Kategorie der Felder , Feld , ist weder endlich vollständig noch endlich vollständig.
- Ein Poset , der als kleine Kategorie betrachtet wird, ist genau dann vollständig (und vollständig), wenn es sich um ein vollständiges Gitter handelt .
- Die teilweise geordnete Klasse aller Ordnungszahlen ist vollständig, aber nicht vollständig (da sie kein Terminalobjekt hat).
- Eine Gruppe, die als Kategorie mit einem einzelnen Objekt betrachtet wird, ist genau dann vollständig, wenn sie trivial ist . Eine nicht triviale Gruppe hat Pullbacks und Pushouts, jedoch keine Produkte, Nebenprodukte, Equalizer, Coequalizer, Terminalobjekte oder Anfangsobjekte.
Verweise
- ^ Abstrakte und konkrete Kategorien, Jiří Adámek, Horst Herrlich und George E. Strecker, Satz 12.7, Seite 213
- ^ Riehl, Emily (2014). Kategoriale Homotopietheorie . New York: Cambridge University Press. p. 32. ISBN 9781139960083. OCLC 881162803 .
Weiterführende Literatur
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstrakte und konkrete Kategorien (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
- Mac Lane, Saunders (1998). Kategorien für den Arbeitsmathematiker . Diplomtexte in Mathematik 5 ((2. Aufl.) Aufl.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.