Würfel verdoppeln - Doubling the cube

Ein Einheitswürfel (Seite = 1) und ein Würfel mit dem doppelten Volumen (Seite = 3 √ 2 = 1.2599210498948732… OEIS :  A002580 ).

Das Verdoppeln des Würfels , auch als Delian-Problem bekannt , ist ein altes geometrisches Problem. Angesichts der Kante eines Würfels , erfordert das Problem , das den Aufbau der zweiten Kante eines Würfels , dessen Volumen ist das Doppelte derjenigen des ersten. Wie bei den damit verbundenen Problemen der Quadratur des Kreises und der Dreiteilung des Winkels ist heute bekannt, dass das Verdoppeln des Würfels nur mit einem Zirkel und einem Lineal unmöglich ist , aber schon in der Antike waren Lösungen bekannt, die andere Werkzeuge verwendeten.

Die Ägypter , Inder und insbesondere die Griechen waren sich des Problems bewusst und machten viele vergebliche Versuche, das ihrer Meinung nach hartnäckige, aber lösbare Problem zu lösen. Die Nichtexistenz einer Kompass-und-Gerade-Lösung wurde jedoch 1837 von Pierre Wantzel endgültig bewiesen .

Algebraisch ausgedrückt erfordert die Verdopplung eines Einheitswürfels die Konstruktion eines Liniensegments der Länge x , wobei x 3 = 2 ; mit anderen Worten, x = 3 √ 2 , die Kubikwurzel von zwei . Dies liegt daran , ein Würfel mit der Seitenlänge 1 ein Volumen hat 1 3 = 1 , und einen Würfel aus dem doppelten Volumen (ein Volumen von 2) eine Seitenlänge der Kubikwurzel von 2. Die Unmöglichkeit , den Würfel daher zu verdoppeln ist entspricht der Aussage, dass 3 √ 2 keine konstruierbare Zahl ist . Dies ist eine Folge der Tatsache , dass die Koordinaten eines neuen Punktes durch einen Kompass und Lineal konstruiert sind Wurzeln der Polynome über das Feld durch die Koordinaten der vorherigen Punkte erzeugt wird , von nicht mehr Grad als ein quadratischen . Dies impliziert, dass der Grad der durch einen konstruierbaren Punkt erzeugten Felderweiterung eine Potenz von 2 sein muss. Die von 3 √ 2 erzeugte Felderweiterung hat jedoch den Grad 3.

Nachweis der Unmöglichkeit

Wir beginnen mit dem Einheitsliniensegment, das durch die Punkte (0,0) und (1,0) in der Ebene definiert wird . Wir müssen ein Liniensegment konstruieren, das durch zwei Punkte definiert ist, die durch einen Abstand von 3 √ 2 getrennt sind . Es ist leicht zu zeigen, dass Zirkel- und Linealkonstruktionen es erlauben würden, ein solches Liniensegment frei zu bewegen, um den Ursprung zu berühren , parallel zum Einheitsliniensegment - also können wir äquivalent die Aufgabe betrachten, ein Liniensegment von (0,0) bis zu konstruieren ( 3 √ 2 , 0), die den Punkt beinhaltet die Konstruktion ( 3 √ 2 , 0).

Entsprechend ermöglichen uns die Werkzeuge eines Zirkels und eines Lineals, Kreise zu erstellen , die auf einem zuvor definierten Punkt zentriert sind und durch einen anderen verlaufen, sowie Linien zu erstellen, die durch zwei zuvor definierte Punkte verlaufen. Jeder neu definierte Punkt entsteht entweder als Schnittpunkt zweier solcher Kreise, als Schnittpunkt eines Kreises und einer Geraden oder als Schnittpunkt zweier Geraden. Eine Übung der elementaren analytischen Geometrie zeigt, dass in allen drei Fällen sowohl die x- als auch die y- Koordinaten des neu definierten Punktes ein Polynom höchsten Grades als ein Quadrat mit Koeffizienten erfüllen , die Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen beinhalten die Koordinaten der zuvor definierten Punkte (und rationalen Zahlen). In abstrakterer Terminologie umformuliert, haben die neuen x- und y- Koordinaten minimale Polynome vom Grad höchstens 2 über dem Unterfeld von ℝ, das durch die vorherigen Koordinaten erzeugt wurde. Daher ist der Grad der Felderweiterung , der jeder neuen Koordinate entspricht, 2 oder 1.

Bei einer gegebenen Koordinate eines beliebigen konstruierten Punktes können wir also induktiv rückwärts durch die x- und y- Koordinaten der Punkte in der Reihenfolge gehen, in der sie definiert wurden, bis wir das ursprüngliche Paar von Punkten (0,0) und (1, 0). Da jedes Feld Verlängerungsgrad 2 oder 1 hat, und als die Felderweiterung über q der Koordinaten des ursprünglichen Punktepaares eindeutig vom Grad 1, folgt aus dem Turm der Regel , dass der Grad der Felderweiterung über q von jeder Koordinaten eines konstruierten Punktes ist eine Potenz von 2 .

Nun, p ( x ) = x 3 - 2 = 0 ist leicht zu erkennen , nicht reduzierbare über ℤ - jeglich Faktorisierung eines bedeuten würde linearen Faktor ( x - k ) für einig k ∈ z , und so k a sein muss Wurzel von p ( x ) ; aber auch k muss 2 teilen, d. h. k = 1, 2, −1 oder −2 , und keine davon sind Wurzeln von p ( x ) . Durch Gaußschen Lemma , p ( x ) ist auch über irreduziblen q , und ist somit ein minimales Polynom über q für 3 √ 2 . Die Körpererweiterung ℚ( 3 √ 2 ):ℚ hat also den Grad 3. Aber dies ist keine Potenz von 2, also ist 3 √ 2 nicht die Koordinate eines konstruierbaren Punktes und somit ein Liniensegment von 3 √ 2 kann nicht konstruiert werden und der Würfel kann nicht verdoppelt werden.

Geschichte

Das Problem verdankt seinen Namen einer Geschichte über die Bürger von Delos , die das Orakel von Delphi konsultierten, um zu lernen, wie man eine von Apollo gesandte Plage besiegen kann . Laut Plutarch waren es die Bürger von Delos , die das Orakel von Delphi konsultierten , um eine Lösung für ihre damaligen innenpolitischen Probleme zu suchen, die die Beziehungen zwischen den Bürgern intensiviert hatten. Das Orakel antwortete, dass sie die Größe des Altars zu Apollo verdoppeln müssten, der ein regulärer Würfel war. Die Antwort erschien den Delianern fremd, und sie konsultierten Platon , der das Orakel als das mathematische Problem der Verdoppelung des Volumens eines gegebenen Würfels interpretieren konnte und damit das Orakel als den Rat Apollos für die Bürger von Delos erklärte , sich selbst zu beschäftigen mit dem Studium der Geometrie und Mathematik, um ihre Leidenschaften zu beruhigen.

Laut Plutarch übergab Plato das Problem an Eudoxus und Archytas und Menaechmus , die das Problem mit mechanischen Mitteln lösten und von Platon einen Tadel dafür erhielten, dass er das Problem nicht mit reiner Geometrie löste . Dies mag der Grund sein, warum das Problem in den 350er Jahren v. Chr. vom Autor des pseudoplatonischen Sisyphos (388e) als noch ungelöst bezeichnet wird. Eine andere Version der Geschichte ( von Eutocius von Ascalon Eratosthenes zugeschrieben ) sagt jedoch, dass alle drei Lösungen fanden, aber sie waren zu abstrakt, um von praktischem Wert zu sein.

Eine bedeutende Entwicklung bei der Suche nach einer Lösung des Problems war die Entdeckung von Hippokrates von Chios, dass dies äquivalent dazu ist, zwei mittlere Proportionen zwischen einem Liniensegment und einem anderen mit der doppelten Länge zu finden. In moderner Notation bedeutet dies, dass bei gegebenen Segmenten der Längen a und 2 a die Verdoppelung des Würfels äquivalent dazu ist, Segmente der Längen r und s zu finden, so dass

Das bedeutet wiederum, dass

Aber Pierre Wantzel bewies 1837, dass die Kubikwurzel von 2 nicht konstruierbar ist ; das heißt, es kann nicht mit Lineal und Zirkel konstruiert werden .

Lösungen mit anderen Mitteln als Zirkel und Lineal

Die ursprüngliche Lösung von Menaechmus beinhaltet den Schnittpunkt zweier konischer Kurven. Andere kompliziertere Methoden, den Würfel zu verdoppeln , beinhalten Neusis , die Cissoid von Diokles , die Conchoide von Nikomedes oder die Philo-Linie . Pandrosion , eine wahrscheinlich weibliche Mathematikerin des antiken Griechenlands, fand eine numerisch genaue Näherungslösung unter Verwendung von Ebenen in drei Dimensionen, wurde jedoch von Pappus von Alexandria heftig kritisiert, weil er keinen richtigen mathematischen Beweis lieferte . Archytas löste das Problem im 4. Jahrhundert v. Chr. durch geometrische Konstruktion in drei Dimensionen, indem er einen bestimmten Punkt als Schnittpunkt dreier Rotationsflächen festlegte.

Falsche Behauptungen, den Würfel mit Zirkel und Lineal zu verdoppeln, sind in der mathematischen Kurbelliteratur ( Pseudomathematik ) reichlich vorhanden .

Origami kann auch verwendet werden, um die Kubikwurzel von zwei durch Falten von Papier zu konstruieren .

Verwenden eines markierten Lineals

Verdoppelung der cube.svg

Es gibt eine einfache Neusis-Konstruktion, bei der ein markiertes Lineal für eine Länge verwendet wird, die die Kubikwurzel einer 2-fachen anderen Länge ist.

  1. Markieren Sie ein Lineal mit der angegebenen Länge; dies wird schließlich GH sein.
  2. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der gegebenen Länge als Seite.
  3. Erweitere AB wieder um den gleichen Betrag zu D.
  4. Verlängern Sie die Linie BC, die die Linie CE bildet.
  5. Verlängern Sie die Linie DC und bilden Sie die Linie CF
  6. Platzieren Sie das markierte Lineal so, dass es durch A geht und ein Ende G der markierten Länge auf den Strahl CF fällt und das andere Ende der markierten Länge H auf den Strahl CE fällt. Somit ist GH die angegebene Länge.

Dann ist AG die gegebene Länge mal 3 √ 2 .

In der Musiktheorie

In der Musiktheorie ist ein natürliches Analogon der Verdopplung die Oktave (ein musikalisches Intervall, das durch die Verdoppelung der Frequenz eines Tons verursacht wird), und ein natürliches Analogon eines Würfels teilt die Oktave in drei Teile mit jeweils demselben Intervall . In diesem Sinne wird das Problem der Kubusverdopplung durch die große Terz in gleichschwebender Stimmung gelöst . Dies ist ein musikalisches Intervall, das genau ein Drittel einer Oktave beträgt. Es multipliziert die Frequenz eines Tons mit 2 4 ⁄ 12 = 2 1 ⁄ 3 = 3 √ 2 , der Seitenlänge des Delian-Würfels.

Anmerkungen

Verweise

Externe Links