Lokal integrierbare Funktion - Locally integrable function

In der Mathematik ist eine lokal integrierbare Funktion (manchmal auch lokal summierbare Funktion genannt ) eine Funktion, die auf jeder kompakten Teilmenge ihres Definitionsbereichs integrierbar ist (also endlich ist) . Die Bedeutung solcher Funktionen liegt in der Tatsache, dass ihr Funktionsraum L ^p -Räumen ähnlich ist , ihre Mitglieder jedoch keine Wachstumsbeschränkung für ihr Verhalten am Rand ihres Gebiets (im Unendlichen, wenn das Gebiet unbeschränkt ist) erfüllen müssen: mit anderen Worten, lokal integrierbare Funktionen können an der Domänengrenze beliebig schnell wachsen, sind aber dennoch ähnlich wie gewöhnliche integrierbare Funktionen handhabbar.

Definition

Standarddefinition

Definition 1 . Sei Ω eine offene Menge im euklidischen Raum ℝ ⁿ und f  : Ω → ℂ eine Lebesgue- messbare Funktion . Wenn f auf Ω so ist, dass

${\displaystyle \int_{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

dh seine Lebesguesche Integral ist endlich auf allen kompakten Teilmengen K von Ω , dann f genannt wird lokal integrierbar . Die Menge all dieser Funktionen wird mit L _1,loc (Ω) bezeichnet :

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc}}(\Omega)={\bigl\{}f:\Omega\to\mathbb{C} {\text{ meßbar}}\,{\big |}\ ,f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{kompakt}}{\bigr\}},}$

wobei bezeichnet die Beschränkung von f auf die Menge K . ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$

Die klassische Definition einer lokal integrierbaren Funktion beinhaltet nur maßtheoretische und topologische Konzepte und lässt sich abstrakt auf komplexwertige Funktionen auf einem topologischen Maßraum ( X , Σ, μ ) übertragen : da jedoch die häufigste Anwendung solcher Funktionen ist zur Verteilungstheorie über euklidische Räume behandeln alle Definitionen in diesem und den folgenden Abschnitten explizit nur diesen wichtigen Fall.

Eine alternative Definition

Definition 2 . Sei Ω eine offene Menge im euklidischen Raum ℝ ⁿ . Dann ist eine Funktion f  : Ω → ℂ so dass

${\displaystyle \int _{\Omega}|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

für jede Testfunktion φ ∈ C ∞
c (Ω) heißt lokal integrierbar , und die Menge solcher Funktionen wird mit L _1,loc (Ω) bezeichnet . Hier C ∞
c (Ω) bezeichnet die Menge aller unendlich differenzierbaren Funktionen φ  : Ω → ℝ mit kompaktem Träger , der in Ω enthalten ist .

Diese Definition hat ihre Wurzeln in dem Ansatz der Maß- und Integrationstheorie, der auf dem Konzept des stetigen linearen Funktionals auf einem topologischen Vektorraum basiert , das von der Nicolas-Bourbaki- Schule entwickelt wurde und auch von Strichartz (2003) und von Maz'ya . übernommen wurde & Shaposhnikova (2009 , S. 34). Diese "verteilungstheoretische" Definition entspricht der Standarddefinition, wie das folgende Lemma beweist:

Lemma 1 . Eine gegebene Funktion f  : Ω → ℂ ist nach Definition 1 genau dann lokal integrierbar, wenn sie nach Definition 2 lokal integrierbar ist , dh

${\displaystyle \int_{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty\quad \forall\,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad\int_{\Omega}|f\varphi |\,\mathrm{d} x<+\infty\quad\forall\,\varphi\in C_{\mathrm{c}}^{\infty}( \Omega).}$

Beweis von Lemma 1

Wenn Teil : Sei φ ∈ C ∞
c (Ω) eine Testfunktion sein. Es wird begrenzt durch seine Supremumsnorm || & phgr; || _∞ , messbar und hat einen kompakten Träger , nennen wir ihn K . Somit

${\displaystyle \int _{\Omega}|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq\ |\varphi\|_{\infty}\int_{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty}$

nach Definition 1 .

Nur wenn Teil : Sei K eine kompakte Teilmenge der offenen Menge Ω . Wir konstruieren zunächst eine Testfunktion φ _K ∈ C ∞
c (Ω) was die Indikatorfunktion χ _K von K majorisiert . Der übliche Sollabstand zwischen K und dem Rand ∂Ω ist strikt größer als Null, dh

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial\Omega)>0,}$

daher ist es möglich , eine wählen reelle Zahl δ so dass Δ> 2 δ > 0 (wenn ∂Ω ist die leere Menge, nimmt Δ = ∞ ). Seien K _δ und K _{2 δ} die abgeschlossene δ -Nachbarschaft bzw. 2 δ -Nachbarschaft von K . Sie sind ebenfalls kompakt und erfüllen

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial\Omega )=\Delta -\delta >\delta >0 .}$

Verwenden Sie nun Faltung , um die Funktion φ _K zu definieren  : Ω → ℝ by

${\displaystyle \varphi_{K}(x)={\chi_{K_{\delta}}\ast \varphi_{\delta}(x)}=\int_{\mathbb{R}^{n }}\chi_{K_{\delta}}(y)\,\varphi_{\delta}(xy)\,\mathrm {d}y,}$

wobei φ _δ ein Mollifier ist, der unter Verwendung des positiven symmetrischen Standard konstruiert wurde . Offensichtlich ist φ _K nicht negativ in dem Sinne, dass φ _K ≥ 0 , unendlich differenzierbar, und sein Träger in K _{2 δ enthalten ist} , insbesondere ist es eine Testfunktion. Da φ _K ( x ) = 1 für alle x ∈ K gilt , gilt χ _K ≤ φ _K .

Sei f eine lokal integrierbare Funktion gemäß Definition 2 . Dann

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega}|f|\chi_{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _ {\Omega}|f|\varphi_{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Da dies für jede kompakte Teilmenge K von Ω gilt , ist die Funktion f gemäß Definition 1 lokal integrierbar . □

Verallgemeinerung: lokal p -integrierbare Funktionen

Definition 3 . Sei Ω eine offene Menge im euklidischen Raum ℝ ⁿ und f  : Ω → ℂ eine Lebesgue-messbare Funktion. Wenn für ein gegebenes p mit 1 ≤ p ≤ +∞ gilt , erfüllt f

${\displaystyle \int_{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

dh es gehört zu L _p ( K ) für alle kompakten Mengen K von Ω , dann f genannt wird lokal p - integrierbar oder auch p - lokal integrierbar . Die Menge aller dieser Funktionen wird mit L _{p ,loc} (Ω) bezeichnet :

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc}}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C} {\text{messbar}}\left|\f|_{K} \in L_{p}(K),\\forall\,K\Teilmenge \Omega,K{\text{kompakt}}\right.\right\}.}$

Eine alternative Definition, die der für lokal integrierbare Funktionen völlig analog ist, kann auch für lokal p -integrierbare Funktionen angegeben werden: Sie kann auch äquivalent zu der in diesem Abschnitt bewiesen werden. Trotz ihrer offensichtlichen höheren Allgemeinheit lokal p -integrierbaren Funktionen bilden eine Untergruppe von lokal integrierbaren Funktionen für jeden p , so dass 1 < p ≤ + ∞ .

Notation

Abgesehen von den verschiedenen Glyphen , die für den Großbuchstaben "L" verwendet werden können, gibt es wenige Varianten für die Notation der Menge der lokal integrierbaren Funktionen

• ${\displaystyle L_{\mathrm {loc}}^{p}(\Omega),}$übernommen von ( Hörmander 1990 , S. 37), ( Strichartz 2003 , S. 12–13) und ( Vladimirov 2002 , S. 3).
• ${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc}}(\Omega),}$übernommen von ( Maz'ya & Poborchi 1997 , S. 4) und Maz'ya & Shaposhnikova (2009 , S. 44).
• ${\displaystyle L_{p}(\Omega,\mathrm{loc}),}$übernommen von ( Maz'ja 1985 , S. 6) und ( Maz'ya 2011 , S. 2).

Eigenschaften

L _{p ,loc} ist ein vollständiger metrischer Raum für alle p ≥ 1

Satz 1 . L _{p ,loc} ist ein vollständiger metrisierbarer Raum : Seine Topologie kann durch die folgende Metrik erzeugt werden :

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert uv\Vert_{p,\omega _{ k}}}{1+\Vert uv\Vert_{p,\omega_{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc}}(\Omega),}$

wobei { ω _k } _{k ≥1} eine Familie von nicht leeren offenen Mengen ist, so dass

• ω _k ⊂⊂ ω _{k + 1} , was bedeutetdass ω _k wird in streng enthalten ω _{k + 1} , dh es ist ein Satz in der Gruppe von höheren Index enthielt streng kompakten Verschluss aufweist.
• ∪ _k ω _k = Ω .
• ${\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert_{p,\omega_{k}}}\to \mathbb{R} ^{+}}$, k ∈ ℕ ist eine indizierte Familie von Seminormen , definiert als

${\displaystyle {\Vert u\Vert_{p,\omega_{k}}}=\left(\int_{\omega_{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad\forall\,u\in L_{p,\mathrm {loc}}(\Omega).}$

In Referenzen ( Gilbarg & Trudinger 1998 , S. 147) , ( Maz'ya & Poborchi 1997 , S. 5 ), ( Maz'ja 1985 , S. 6) und ( Maz'ya 2011 , S. 2) wird dieser Satz angegeben, aber nicht formal bewiesen: ein vollständiger Beweis für ein allgemeineres Ergebnis, das es einschließt, findet sich in ( Meise & Vogt 1997 , S. 40). harv error: no target: CITEREFGilbargTrudinger1998 ( Hilfe )

L _p ist ein Unterraum von L _1,loc für alle p ≥ 1

Satz 2 . Jede Funktion f, die zu L _p (Ω) gehört , 1 ≤ p ≤ +∞ , wobei Ω eine offene Teilmenge von ℝ ^{n ist} , ist lokal integrierbar.

Beweis . Der Fall p = 1 ist trivial, daher wird in der Folge des Beweises angenommen, dass 1 < p ≤ +∞ . Betrachten Sie die charakteristische Funktion χ _K einer kompakten Teilmenge K von Ω : dann gilt für p ≤ +∞ ,

${\displaystyle \left|{\int_{\Omega}|\chi_{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\ int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

wo

• q eine positive Zahl ist, so dass 1 / p + 1 / q = 1 für einen gegebenen 1 ≤ p ≤ + ∞
• | K | ist das Lebesgue-Maß der kompakten Menge K

Dann für jede f zu gehören , L _p (Ω) durch Hölder Ungleichung , das Produkt fχ _K ist integrierbaren dh gehört L ₁ (Ω) und

${\displaystyle {\int_{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int_{\Omega}|f\chi_{K}|\,\mathrm {d} x}\ leq \left|{\int_{\Omega}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int_{K}\mathrm { d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

deshalb

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc}}(\Omega).}$

Beachten Sie, dass, da die folgende Ungleichung gilt

${\displaystyle {\int_{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int_{\Omega}|f\chi_{K}|\,\mathrm {d} x}\ leq \left|{\int_{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int_{K}\mathrm {d } x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

der Satz gilt auch für Funktionen f, die nur zum Raum der lokal p-integrierbaren Funktionen gehören, daher impliziert der Satz auch das folgende Ergebnis.

Folgerung 1 . Jede Funktion in , ist lokal integrierbar, dh gehört zu . ${\displaystyle f}$${\displaystyle L_{p,loc}(\Omega)}$${\displaystyle 1<p\leq\infty}$${\displaystyle L_{1,loc}(\Omega)}$

Hinweis: Wenn eine offene Teilmenge davon auch beschränkt ist, dann hat man die Standard-Inklusion, die angesichts der obigen Inklusion sinnvoll ist . Aber die erste dieser Aussagen ist nicht wahr, wenn sie nicht beschränkt ist; dann gilt das immer noch für alle , aber nicht das . Um dies zu sehen, betrachtet man typischerweise die Funktion , die in, aber nicht in für eine endliche steht . ${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle L_{p}(\Omega)\subset L_{1}(\Omega)}$${\displaystyle L_{1}(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle L_{p}(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L_{p}(\Omega)\subset L_{1}(\Omega)}$${\displaystyle u(x)=1}$${\displaystyle L_{\infty}(\mathbb{R}^{n})}$${\displaystyle L_{p}(\mathbb{R}^{n})}$${\displaystyle p}$

L _1,loc ist der Raum der Dichten absolut stetiger Maße

Satz 3 . Eine Funktion f ist die Dichte eines absolut stetigen Maßes genau dann, wenn . ${\displaystyle f\in L_{1,loc}}$

Den Beweis für dieses Ergebnis skizziert ( Schwartz 1998 , S. 18). In einer Umformulierung seiner Aussage behauptet dieser Satz, dass jede lokal integrierbare Funktion ein absolut stetiges Maß definiert und umgekehrt, dass jedes absolut stetige Maß eine lokal integrierbare Funktion definiert: Dies ist auch im Rahmen der abstrakten Maßtheorie die Form des wichtigen Radon-Nikodym-Theorems von Stanisław Saks in seiner Abhandlung.

Beispiele

• Die auf der reellen Geraden definierte konstante Funktion 1 ist lokal integrierbar, aber nicht global integrierbar, da die reelle Gerade ein unendliches Maß hat. Allgemeiner gesagt sind Konstanten , stetige Funktionen und integrierbare Funktionen lokal integrierbar.
• Die Funktion für x ∈ (0, 1) ist lokal, aber nicht global integrierbar auf (0, 1). Sie ist lokal integrierbar, da jede kompakte Menge K ⊆ (0, 1) einen positiven Abstand von 0 hat und f daher auf K beschränkt ist. Dieses Beispiel untermauert die ursprüngliche Behauptung, dass lokal integrierbare Funktionen keine Wachstumsbedingungen in der Nähe des Randes in . erfordern begrenzte Domänen.${\displaystyle f(x)=1/x}$
• Die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in\mathbb{R}}$

ist in x = 0 nicht lokal integrierbar : es ist in der Tat nahe diesem Punkt lokal integrierbar, da sein Integral über jede kompakte Menge ohne sie endlich ist. Formal 1/ x ∈ L _1,loc (ℝ \ 0): Diese Funktion lässt sich jedoch auf eine Verteilung im Ganzen ℝ als Cauchy-Hauptwert erweitern .

• Das obige Beispiel wirft eine Frage auf : Ist jede Funktion , die in lokal integrierbar ist & OHgr; ⊊ r zugeben , eine Erweiterung auf den gesamten r als Distribution? Die Antwort ist negativ und ein Gegenbeispiel liefert die folgende Funktion:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}}$

definiert keine Verteilung auf ℝ.

• Das folgende Beispiel, ähnlich dem vorhergehenden, ist eine zu L _1,loc (ℝ \ 0) gehörende Funktion, die als elementares Gegenbeispiel bei der Anwendung der Verteilungstheorie auf Differentialoperatoren mit unregelmäßigen singulären Koeffizienten dient :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/ x^{2}}&x<0,\end{cases}}}$

wobei k ₁ und k ₂ sind komplexe Konstanten , ist eine allgemeine Lösung der folgenden elementaren nicht Fuchsian Differentialgleichung erster Ordnung

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}$

Sie definiert wiederum keine Verteilung im Ganzen ℝ, wenn k ₁ oder k ₂ nicht Null sind: Die einzige Verteilungsgloballösung einer solchen Gleichung ist daher die Nullverteilung, und dies zeigt, wie in diesem Zweig der Differentialgleichungstheorie , kann nicht erwartet werden, dass die Methoden der Verteilungstheorie in anderen Zweigen derselben Theorie, insbesondere in der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, den gleichen Erfolg haben.

Anwendungen

Lokal integrierbare Funktionen spielen eine herausragende Rolle in der Verteilungstheorie und kommen bei der Definition verschiedener Klassen von Funktionen und Funktionsräumen vor , wie Funktionen der beschränkten Variation . Darüber hinaus tauchen sie im Radon-Nikodym-Theorem auf, indem sie den absolut stetigen Teil jedes Maßes charakterisieren.

Siehe auch

• Kompaktset
• Verteilung (Mathematik)
• Dichtesatz von Lebesgue
• Ableitungssatz von Lebesgue
• Lebesgue-Integral
• LP-Raum

Anmerkungen

Verweise

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• Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des distributions , Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (in französischer Sprache), Nr. IX–X (Nouvelle ed.), Paris: Hermann Éditeurs, pp. xiii+420, ISBN 2-7056-5551-4, HERR  0209834 , Zbl  0149.09501.
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Externe Links

• Rowland, Todd. "Lokal integrierbar" . MathWorld .
• Vinogradova, IA (2001) [1994], "Locally integrable function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

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