Minkowski-Ungleichung - Minkowski inequality

In mathematischer Analyse , die Minkowski Ungleichheit fest , dass die L ^p Räume sind Vektorräume genormt . Sei S ein Maßraum , sei 1 ≤ p < ∞ und seien f und g Elemente von L ^p ( S ). Dann ist f + g in L ^p ( S ), und wir haben die Dreiecksungleichung

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

mit Gleichheit für 1 < p <∞ , wenn und nur wenn f und g positiv sind linear abhängig , das heißt, f = & lambda; g für einig & lgr; ≥ 0 oder g = 0 . Hier ist die Norm gegeben durch:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$

falls p < ∞, oder im Fall p = ∞ um das wesentliche Supremum

${\displaystyle \|f\|_{\infty}=\operatorname {ess\sup} _{x\in S}|f(x)|.}$

Die Minkowski-Ungleichung ist die Dreiecksungleichung in L ^p ( S ). Tatsächlich handelt es sich um einen Sonderfall der allgemeineren Tatsache

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup_{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}} +{\tfrac {1}{q}}=1}$

wobei leicht zu erkennen ist, dass die rechte Seite die Dreiecksungleichung erfüllt.

Wie die Höldersche Ungleichung kann die Minkowski-Ungleichung mit dem Zählmaß auf Folgen und Vektoren spezialisiert werden :

${\displaystyle {\biggl (}\sum_{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr)}^{1/p}\leq {\ biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1} ^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

für alle reellen (oder komplexen ) Zahlen x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n und wobei n die Kardinalität von S (die Anzahl der Elemente in S ) ist.

Die Ungleichung ist nach dem deutschen Mathematiker Hermann Minkowski benannt .

Beweis

Zuerst beweisen wir, dass f + g endliche p -Norm hat, falls f und g beides tun, was folgt durch

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$

Tatsächlich verwenden wir hier die Tatsache, dass über R ⁺ konvex ist (für p > 1 ) und so ist nach der Definition der Konvexität ${\displaystyle h(x)=x^{p}}$

${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}} |f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1} {2}}|g|^{p}.}$

Dies bedeutet, dass

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}= 2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$

Jetzt können wir mit Recht darüber sprechen . Ist sie null, dann gilt die Minkowski-Ungleichung. Wir gehen nun davon aus, dass dies nicht Null ist. Unter Verwendung der Dreiecksungleichung und dann der Hölderschen Ungleichung finden wir, dass ${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&= \int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g| ^{p-1}\,\mathrm{d}\mu\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d}\mu+\int |g| |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d}\mu\&\leq\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d}\mu\ rechts)^{\frac{1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{p}}\ rechts)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d}\mu\right) ^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Höldersche Ungleichung}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p} \right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{ausgerichtet}}}$

Wir erhalten die Minkowski-Ungleichung, indem wir beide Seiten mit multiplizieren

${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$

Integrale Ungleichung von Minkowski

Angenommen, ( S ₁ , μ ₁ ) und ( S ₂ , μ ₂ ) sind zwei σ -endliche Maßräume und F : S ₁ × S ₂ → R ist messbar. Dann lautet die integrale Ungleichung von Minkowski ( Stein 1970 , §A.1), ( Hardy, Littlewood & Pólya 1988 , Theorem 202) : harv error: no target: CITEREFHardyLittlewoodPólya1988 ( Hilfe )

${\displaystyle \left[\int_{S_{2}}\left|\int_{S_{1}}F(x,y)\,\mu_{1}(\textrm{d}x)\ rechts|^{p}\mu_{2}(\mathrm{d}y)\right]^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu_{2}(\mathrm{d}y)\right)^{\frac {1}{p}}\ mu_{1}(\mathrm{d}x),}$

mit offensichtlichen Modifikationen im Fall p = ∞ . Wenn p > 1 und beide Seiten endlich sind, dann gilt Gleichheit nur, wenn | F ( x , y ) | = φ ( x ) ψ ( y ) ae für einige nicht-negative messbare Funktionen φ und ψ .

Ist μ ₁ das Zählmaß auf einer Zweipunktmenge S ₁ = {1,2}, so liefert die Minkowski-Integralungleichung als Spezialfall die übliche Minkowski-Ungleichung: für die Setzung f _i ( y ) = F ( i , y ) für i = 1, 2 ergibt die ganzzahlige Ungleichung

${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y )\,\mu_{1}(\mathrm{d}x)\right|^{p}\mu_{2}(\mathrm{d}y)\right)^{\frac{1}{p }}\leq \int _{S_{1}}\left(\int_{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu_{2}(\mathrm {d } y)\right)^{\frac{1}{p}}\mu_{1}(\mathrm{d}x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2 }\|_{p}.}$

Diese Notation wurde verallgemeinert zu

${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}| f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p} }}$

für , mit . Unter Verwendung dieser Notation zeigt die Manipulation der Exponenten, dass wenn , dann . ${\displaystyle f:\mathbb{R} ^{m+n}\to E}$${\displaystyle {\mathcal{L}}_{p,q}(\mathbb{R}^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb{R} ^{m+n }}:\|f\|_{p,q}<\infty\}}$${\displaystyle p>q}$${\displaystyle \|f\|_{p,q}\leq \|f\|_{q,p}}$

Umgekehrte Ungleichung

Wenn die umgekehrte Ungleichung gilt: ${\displaystyle p<1}$

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

Wir brauchen weiterhin die Einschränkung, dass sowohl und nicht negativ sind, wie wir am Beispiel und sehen können : . ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=-1,g=1}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}}$

Die umgekehrte Ungleichung folgt aus dem gleichen Argument wie der Standard-Minkowski, verwendet jedoch, dass die Holder-Ungleichung auch in diesem Bereich umgekehrt wird. Siehe auch das Kapitel zu Minkowskis Ungleichung in.

Mit dem umgekehrten Minkowski können wir beweisen, dass Potenzmittel mit , wie der harmonische Mittelwert und der geometrische Mittelwert, konkav sind. ${\displaystyle p\leq 1}$

Verallgemeinerungen auf andere Funktionen

Die Minkowski-Ungleichung kann über die Potenzfunktion hinaus auf andere Funktionen verallgemeinert werden . Die verallgemeinerte Ungleichung hat die Form ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x^{p}}$

${\displaystyle \phi^{-1}(\sum_{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i}))\leq \phi^{-1}(\sum_ {i=1}^{n}\phi(x_{i}))+\phi^{-1}(\sum_{i=1}^{n}\phi(y_{i}))}$

Mulholland und andere haben verschiedene hinreichende Bedingungen gefunden. Zum Beispiel ist für einen Satz hinreichender Bedingungen aus Mulholland ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x\geq 0}$

1. ${\displaystyle \phi (x)}$ist stetig und steigt mit .${\displaystyle \phi (0)=0}$
2. ${\displaystyle \phi (x)}$ist eine konvexe Funktion von .${\displaystyle x}$
3. ${\displaystyle \log\phi(x)}$ist eine konvexe Funktion von .${\displaystyle\log(x)}$

Siehe auch

• Cauchy-Schwarz-Ungleichung
• Mahlers Ungleichung
• Höldersche Ungleichung

Verweise

• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1952). Ungleichheiten . Cambridge Mathematical Library (zweite Aufl.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
• Minkowski, H. (1953). "Geometrie der Zahlen". Chelsea. Cite Journal erfordert |journal=( Hilfe ).
• Stein, Elias (1970). „Singuläre Integrale und Differenzierbarkeitseigenschaften von Funktionen“. Princeton University Press. Cite Journal erfordert |journal=( Hilfe ).
• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Minkowski-Ungleichung" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Lohwater, Arthur J. (1982). "Einführung in Ungleichheiten" .