Einfacher Ring - Simple ring

In der abstrakten Algebra , einem Zweig der Mathematik , ist ein einfacher Ring ein Nicht-Null- Ring , der außer dem Nullideal und sich selbst kein zweiseitiges Ideal hat. Insbesondere ist ein kommutativer Ring genau dann ein einfacher Ring, wenn er ein Körper ist .

Das Zentrum eines einfachen Rings ist notwendigerweise ein Körper. Daraus folgt, dass ein einfacher Ring eine assoziative Algebra über diesem Körper ist. Also, einfacher Algebra und einfacher Ring sind Synonym.

Mehrere Referenzen (z. B. Lang (2002) oder Bourbaki (2012)) verlangen zusätzlich, dass ein einfacher Ring links- oder rechtsartinisch (oder äquivalent halbeinfach ) ist. Unter einer solchen Terminologie wird ein Nicht-Null-Ring ohne nicht-triviale zweiseitige Ideale als quasi-einfach bezeichnet .

Ringe, die einfach als Ringe, aber kein einfacher Modul über sich selbst sind, existieren: Ein vollständiger Matrixring über einem Körper hat keine nichttrivialen Ideale (da jedes Ideal von M n ( R ) die Form M n ( I ) hat mit I ein Ideal von R ), hat aber nichttriviale linke Ideale (zum Beispiel die Matrizenmengen, die einige feste Nullspalten haben).

Nach dem Artin-Wedderburn-Theorem ist jeder einfache Ring, der links oder rechts Artinian ist, ein Matrixring über einem Teilungsring . Insbesondere sind die einzigen einfachen Ringe, die einen endlichdimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen darstellen, Ringe von Matrizen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder den Quaternionen .

Ein Beispiel für einen einfachen Ring, der kein Matrixring über einem Teilungsring ist, ist die Weyl-Algebra .

Charakterisierung

Ein Ring ist eine einfache Algebra, wenn er keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale enthält .

Ein unmittelbares Beispiel für einfache Algebren sind Divisionsalgebren , bei denen jedes Element ungleich Null eine multiplikative Inverse hat, zum Beispiel die reelle Algebra von Quaternionen . Außerdem kann man zeigen, dass die Algebra von n × n Matrizen mit Einträgen in einem Divisionsring einfach ist. Tatsächlich charakterisiert dies alle endlichdimensionalen einfachen Algebren bis auf Isomorphie , dh jede einfache Algebra, die über ihrem Zentrum endlichdimensional ist, ist isomorph zu einer Matrixalgebra über einem Teilungsring. Dies wurde 1907 von Joseph Wedderburn in seiner Doktorarbeit über hyperkomplexe Zahlen bewiesen , die in den Proceedings of the London Mathematical Society erschienen ist . Wedderburns Dissertation klassifiziert einfache und halbeinfache Algebren . Einfache Algebren sind Bausteine ​​halbeinfacher Algebren: Jede endlichdimensionale halbeinfache Algebra ist ein kartesisches Produkt im Sinne von Algebren einfacher Algebren.

Wedderburns Ergebnis wurde später im Artin-Wedderburn-Theorem auf halbeinfache Ringe verallgemeinert .

Beispiele

Sei R der Körper der reellen Zahlen, C der Körper der komplexen Zahlen und H die Quaternionen .

Satz von Wedderburn

Hauptartikel: Artin-Wedderburn-Theorem

Der Satz von Wedderburn charakterisiert einfache Ringe mit einer Einheit und einem minimalen linken Ideal. (Die linke Artinsche Bedingung ist eine Verallgemeinerung der zweiten Annahme.) Sie besagt nämlich, dass jeder solche Ring bis auf Isomorphie ein Ring von n × n Matrizen über einem Teilungsring ist.

Sei D ein Divisionsring und M n ( D ) der Ring von Matrizen mit Einträgen in D . Es ist nicht schwer zu zeigen, dass jedes linke Ideal in M n ( D ) die folgende Form hat:

{ M ∈ M n ( D ) | die n 1 , ..., n k -ten Spalten von M haben null Einträge},

für einige feste { n 1 , ..., n k } {1, ..., n }. Ein minimales Ideal in M n ( D ) hat also die Form

{ M ∈ M n ( D ) | alle außer den k- ten Spalten haben null Einträge},

für ein gegebenes k . Mit anderen Worten, wenn I ein minimales linkes Ideal ist, dann ist I = M n ( D ) e , wobei e die idempotente Matrix mit 1 im ( k , k ) -Eintrag und Null an anderer Stelle ist. Außerdem ist D isomorph zu e M n ( D ) e . Das linke Ideal I kann als rechter Modul über e M n ( D ) e betrachtet werden , und der Ring M n ( D ) ist eindeutig isomorph zur Algebra der Homomorphismen auf diesem Modul.

Das obige Beispiel legt das folgende Lemma nahe:

Lemma. A ist ein Ring mit der Identität 1 und ein idempotentes Element e mit AeA = A . Sei I das linke ideale Ae , das als rechter Modul über eAe betrachtet wird . Dann ist A isomorph zur Algebra der Homomorphismen auf I , bezeichnet mit Hom ( I ).

Beweis: Wir definieren die "linke reguläre Darstellung" Φ : A → Hom ( I ) durch Φ( a ) m = am für m ∈ I . Φ ist injektiv, denn wenn a ⋅ I = aAe = 0 , dann ist aA = aAeA = 0 , was impliziert, dass a = a ⋅ 1 = 0 ist .

Für die Surjektivität sei T ∈ Hom ( I ) . Da AeA = A , kann die Einheit 1 als 1 = Σ a i eb i ausgedrückt werden . So

T ( m ) = T (1 ⋅ m ) = T (Σ a i eb i m ) = Σ T ( a i eeb i m ) = Σ T ( a i e ) eb i m = [Σ T ( a i e ) eb i ] m .

Da der Ausdruck [Σ T ( a i e ) eb i ] nicht von m abhängt , ist Φ surjektiv. Dies beweist das Lemma.

Der Satz von Wedderburn folgt ohne weiteres aus dem Lemma.

Satz ( Wedderburn ). Ist A ein einfacher Ring mit Einheit 1 und einem minimalen linken Ideal I , dann ist A isomorph zum Ring von n × n Matrizen über einem Divisionsring.

Man muss einfach die Annahmen des Lemma halten , zu überprüfen, dh findet eine Idempotent e , so dass ich = Ae , und dann zeigen , dass EAE ein Teilungsring ist. Die Annahme A = AeA folgt daraus, dass A einfach ist.

Siehe auch

Verweise

  • AA Albert , Struktur der Algebren , Kolloquiumsveröffentlichungen 24 , American Mathematical Society , 2003, ISBN  0-8218-1024-3 . S.37.
  • Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
  • Henderson, DW (1965). „Ein kurzer Beweis des Satzes von Wedderburn“. Amer. Mathematik. Monatlich . 72 : 385–386. doi : 10.2307/2313499 .
  • Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 978-0-387-95325-0, HERR  1838439
  • Lang, Serge (2002), Algebra (3. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
  • Jacobson, Nathan (1989), Grundlegende Algebra II (2. Aufl.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5