Additive Kategorie - Additive category

In der Mathematik , insbesondere in der Kategorietheorie , ist eine additive Kategorie eine preadditive Kategorie   C , die alle endlichen Nebenprodukte zulässt .

Definition

Eine Kategorie  C ist , wenn alle seine preadditive hom-Sets sind abelschen Gruppen und die Zusammensetzung von morphisms ist bilinear ; Mit anderen Worten, C ist gegenüber der monoidalen Kategorie der abelschen Gruppen angereichert .

In einer preadditive Kategorie jedes finitäre Produkt (einschließlich dem leeren Produkt, das heißt ein Endobjekt ) ist notwendigerweise ein Coprodukt (oder anfängliches Objekt in dem Fall eines leeren Diagramm) und daher ein biproduct , und umgekehrt jeder finitäre Coprodukt ist notwendigerweise ein Produkt (dies ist eine Folge der Definition, kein Teil davon).

Somit wird eine additive Kategorie äquivalent als eine preadditive Kategorie beschrieben, die alle Endprodukte zulässt, oder eine preadditive Kategorie, die alle endlichen Nebenprodukte zulässt.

Eine andere, aber äquivalente Art, eine additive Kategorie zu definieren, ist eine Kategorie (von der nicht angenommen wird, dass sie voraditiv ist), die ein Nullobjekt , endliche Nebenprodukte und endliche Produkte aufweist und die kanonische Abbildung vom Nebenprodukt zum Produkt

${\ displaystyle X \ coprod Y \ zu X \ prod Y}$

ist ein Isomorphismus. Dieser Isomorphismus kann verwendet werden, um eine kommutative Monoidstruktur auszustatten . Die letzte Voraussetzung ist, dass dies tatsächlich eine abelsche Gruppe ist. Im Gegensatz zu den oben genannten Definitionen benötigt diese Definition nicht die zusätzliche additive Gruppenstruktur in den Hom-Mengen als Datum, sondern als Eigenschaft. ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (X, Y)}$

Beachten Sie, dass das leere Biprodukt notwendigerweise ein Nullobjekt in der Kategorie ist und eine Kategorie, die alle endlichen Biprodukte zulässt, häufig als semiadditiv bezeichnet wird . Wie unten gezeigt , hat jede semiadditive Kategorie eine natürliche Addition, und so können wir alternativ eine additive Kategorie als eine semiadditive Kategorie mit der Eigenschaft definieren, dass jeder Morphismus eine additive Inverse hat.

Verallgemeinerung

Allgemein betrachtet man auch Zusatzstoff R -linear Kategorien für eine kommutative Ring R . Dies sind Kategorien, die gegenüber der monoidalen Kategorie von R- Modulen angereichert sind und alle endlichen Nebenprodukte zulassen.

Beispiele

Das ursprüngliche Beispiel einer additiven Kategorie ist die Kategorie der abelschen Gruppen   Ab . Das Nullobjekt ist die triviale Gruppe , die Addition von Morphismen wird punktweise angegeben , und Biprodukte werden durch direkte Summen angegeben .

Allgemeiner ist jede Modulkategorie über einem Ring   R additiv, und daher ist insbesondere die Kategorie von Vektorräumen über einem Feld   K additiv.

Die Algebra von Matrizen über einem Ring, die wie unten beschrieben als Kategorie betrachtet wird, ist ebenfalls additiv.

Interne Charakterisierung des Additionsgesetzes

Sei C eine semiadditive Kategorie, also eine Kategorie mit allen endlichen Nebenprodukten. Dann hat jede Hom-Menge eine Addition, die sie mit der Struktur eines abelschen Monoids ausstattet , so dass die Zusammensetzung der Morphismen bilinear ist.

Wenn C additiv ist, müssen außerdem die beiden Additionen an Hom-Sets übereinstimmen. Insbesondere ist eine semiadditive Kategorie genau dann additiv, wenn jeder Morphismus eine additive Inverse hat.

Dies zeigt, dass das Additionsgesetz für eine additive Kategorie innerhalb dieser Kategorie liegt.

Um das Additionsgesetz zu definieren, verwenden wir die Konvention, dass für ein Biprodukt p _k die Projektionsmorphismen und i _k die Injektionsmorphismen bezeichnet.

Wir beobachten zunächst, dass es für jedes Objekt  A a gibt

• diagonaler Morphismus ∆: A → A ⊕ A , der p _k  ∘ ∆ = 1 _A für k = 1, 2 und a erfüllt
• codiagonaler Morphismus ∇: A ⊕ A → A erfüllt ∇ ∘  i _k = 1 _A für k = 1, 2 .

Als nächstes existiert bei zwei Morphismen α _k : A → B ein eindeutiger Morphismus α ₁ ⊕ α ₂ : A ⊕ A → B ⊕ B, so dass p _l ∘ (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ i _k gleich α _{k ist,} wenn k = l und sonst 0.

Wir können daher α ₁ + α _{2 definieren}  : = ∇ ∘ (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ ∆ .

Dieser Zusatz ist sowohl kommutativ als auch assoziativ. Die Assoziativität kann unter Berücksichtigung der Zusammensetzung gesehen werden

${\ displaystyle A \ {\ xrightarrow {\ quad \ Delta \ quad}} \ A \ oplus A \ oplus A \ {\ xrightarrow {\ alpha _ {1} \, \ oplus \, \ alpha _ {2} \, \ oplus \, \ alpha _ {3}}} \ B \ oplus B \ oplus B \ {\ xrightarrow {\ quad \ nabla \ quad}} \ B}$

Wir haben α + 0 = α , wobei α ⊕ 0 = i ₁  ∘ α ∘  p _{1 verwendet wird} .

Es ist auch bilinear, wobei zum Beispiel verwendet wird, dass ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ und dass (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ (β ₁ ⊕ β ₂ ) = (α ₁ ∘ β ₁ ) α (α ₂ ∘) β ₂ ) .

Wir bemerken , dass für eine biproduct A ⊕ B haben wir i ₁  ∘  p ₁ + i ₂  ∘  p ₂ = 1 . Auf diese Weise können wir jeden Morphismus A ⊕ B → C ⊕ D als Matrix darstellen.

Matrixdarstellung von Morphismen

Bei gegebenen Objekten A ₁ , ...,  A _n und B ₁ , ...,  B _m in einer additiven Kategorie können wir Morphismen f darstellen : A ₁ ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ A _n → B ₁ ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ B. _m als m- by- n- Matrizen

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} f_ {11} & f_ {12} & \ cdots & f_ {1n} \\ f_ {21} & f_ {22} & \ cdots & f_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots \\ f_ {m1} & f_ {m2} & \ cdots & f_ {mn} \ end {pmatrix}}}$ wo ${\ displaystyle f_ {kl}: = p_ {k} \ circ f \ circ i_ {l} \ Doppelpunkt A_ {l} \ bis B_ {k}.}$

Unter Verwendung von ∑ _k i _k  ∘  p _k = 1 folgt, dass Addition und Zusammensetzung von Matrizen den üblichen Regeln für Matrixaddition und Matrixmultiplikation folgen .

Additive Kategorien können daher als der allgemeinste Kontext angesehen werden, in dem die Algebra der Matrizen sinnvoll ist.

Denken Sie daran, dass die Morphismen von einem einzelnen Objekt  A zu sich selbst den Endomorphismusring   End ( A ) bilden . Wenn wir die Bezeichnung n -fache Produkt von  A mit sich selbst von A ⁿ , dann morphisms von A ⁿ bis A ^m sind m -by- n Matrizen mit Einträgen aus dem  Ringende ( A ) .

Umgekehrt können wir bei jedem Ring   R eine Kategorie  Mat ( R ) bilden, indem wir Objekte A _{n nehmen,} die durch die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich Null ) indiziert sind, und die Hom-Menge der Morphismen von A _n bis A _m die Menge von sein lassen m- mal- n- Matrizen über  R , wobei die Zusammensetzung durch Matrixmultiplikation gegeben ist. Dann ist Mat ( R ) eine additive Kategorie und A _{n ist} gleich der n- fachen Potenz ( A ₁ ) ⁿ .

Diese Konstruktion sollte mit dem Ergebnis verglichen werden, dass ein Ring eine preadditive Kategorie mit nur einem Objekt ist, wie hier gezeigt .

Wenn wir das Objekt interpretieren A _n als linken Modul   R ⁿ , dann ist diese Matrix Kategorie wird eine Untergruppe der Gruppe der linken Module über  R .

Dies kann in dem speziellen Fall verwirrend sein, in dem m oder n Null ist, da wir normalerweise nicht an Matrizen mit 0 Zeilen oder 0 Spalten denken . Dieses Konzept ist jedoch sinnvoll: Solche Matrizen haben keine Einträge und werden daher vollständig von ihrer Größe bestimmt. Während diese Matrizen ziemlich entartet sind, müssen sie eingeschlossen werden, um eine additive Kategorie zu erhalten, da eine additive Kategorie ein Nullobjekt haben muss.

Das Nachdenken über solche Matrizen kann jedoch in einer Hinsicht nützlich sein: Sie unterstreichen die Tatsache, dass es bei allen Objekten A und B in einer additiven Kategorie genau einen Morphismus von A bis 0 gibt (genau wie es genau einen 0-mal-1 gibt Matrix mit Einträgen in Ende ( A ) ) und genau einem Morphismus von 0 nach B (genau wie es genau eine 1-mal-0-Matrix mit Einträgen in Ende ( B ) gibt ) - genau das bedeutet, dass 0 ist ein Nullobjekt . Darüber hinaus ist der Nullmorphismus von A nach B die Zusammensetzung dieser Morphismen, wie durch Multiplikation der entarteten Matrizen berechnet werden kann.

Additive Funktoren

Ein Funktor F : C → D zwischen preadditiven Kategorien ist additiv, wenn es sich um einen abelschen Gruppenhomomorphismus für jede Hom-Menge in  C handelt . Wenn die Kategorien additiv sind, ist ein Funktor genau dann additiv, wenn alle Biproduktdiagramme erhalten bleiben .

Das heißt, wenn B ein Biprodukt von  A ₁ , ...,  A _n in  C mit Projektionsmorphismen p _k und Injektionsmorphismen i _{j ist} , dann sollte F ( B ) ein Biprodukt von  F ( A ₁ ) sein, ... ,  F ( A _n ) in  D mit Projektionsmorphismen F ( p _j ) und Injektionsmorphismen F ( i _j ) .

Fast alle Funktoren, die zwischen additiven Kategorien untersucht wurden, sind additiv. Tatsächlich ist es ein Theorem, dass alle adjungierten Funktoren zwischen additiven Kategorien additive Funktoren sein müssen (siehe hier ), und die interessantesten Funktoren, die in der gesamten Kategorietheorie untersucht wurden, sind Adjunkte.

Verallgemeinerung

Wenn man Funktoren zwischen R- linearen additiven Kategorien betrachtet, beschränkt man sich normalerweise auf R- lineare Funktoren , so dass diese Funktoren bei jedem Hom-Set einen R- Modul-Homomorphismus ergeben.

Spezialfälle

• Eine präabelsche Kategorie ist eine additive Kategorie, in der jeder Morphismus einen Kernel und einen Kokernel hat .
• Eine abelsche Kategorie ist eine Pre-abelsche Kategorie , so dass jeder Monomorphismus und Epimorphismus ist Normal .

Viele häufig untersuchte additive Kategorien sind tatsächlich abelsche Kategorien; Zum Beispiel ist Ab eine abelsche Kategorie. Die freien abelschen Gruppen bieten ein Beispiel für eine Kategorie, die additiv, aber nicht abelisch ist.

Verweise

• Nicolae Popescu ; 1973; Abelsche Kategorien mit Anwendungen auf Ringe und Module ; Academic Press, Inc. (vergriffen) geht das alles sehr langsam durch