Nicht messbarer Satz - Non-measurable set

In der Mathematik ist eine nicht messbare Menge eine Menge, der kein sinnvolles "Volumen" zugeordnet werden kann. Die mathematische Existenz solcher Mengen soll Aufschluss über die Begriffe Länge , Fläche und Volumen in der formalen Mengenlehre geben. In der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie besagt das Auswahlaxiom, dass nicht messbare Teilmengen von existieren.

Der Begriff einer nicht messbaren Menge ist seit seiner Einführung eine Quelle großer Kontroversen. Historisch gesehen führte dies Borel und Kolmogorov dazu, die Wahrscheinlichkeitstheorie über Mengen zu formulieren, die auf Messbarkeit beschränkt sind. Die messbaren Mengen auf der Linie sind iterierte zählbare Vereinigungen und Schnittmengen von Intervallen (sogenannte Borel-Mengen ) plus-minus- null-Mengen . Diese Mengen sind reich genug, um jede erdenkliche Definition einer Menge zu enthalten, die in der Standardmathematik auftaucht, aber sie erfordern viel Formalismus, um zu beweisen, dass Mengen messbar sind.

1970 konstruierte Robert M. Solovay das Solovay-Modell , das zeigt, dass es mit der Standardmengentheorie ohne unzählige Wahlmöglichkeiten konsistent ist, dass alle Teilmengen der reellen Zahlen messbar sind. Das Ergebnis von Solovay hängt jedoch von der Existenz eines unzugänglichen Kardinals ab , dessen Existenz und Konsistenz innerhalb der Standardmengentheorie nicht bewiesen werden kann.

Historische Bauwerke

Der erste Hinweis darauf, dass es ein Problem bei der Definition der Länge für eine beliebige Menge geben könnte, stammt aus dem Satz von Vitali .

Man würde erwarten, dass das Maß der Vereinigung zweier disjunkter Mengen die Summe der Maße der beiden Mengen ist. Ein Maß mit dieser natürlichen Eigenschaft heißt endlich additiv . Während ein endlich additives Maß für die meisten Flächenintuitionen ausreicht und analog zur Riemann-Integration ist , wird es für die Wahrscheinlichkeit als unzureichend angesehen , da konventionelle moderne Behandlungen von Ereignisfolgen oder Zufallsvariablen abzählbare Additivität erfordern .

In dieser Hinsicht ähnelt die Ebene der Linie; es gibt ein endlich additives Maß, das das Lebesgue-Maß erweitert und unter allen Isometrien invariant ist . Bei höheren Dimensionen wird das Bild schlechter. Das Hausdorff-Paradoxon und das Banach-Tarski-Paradoxon zeigen, dass eine dreidimensionale Kugel mit Radius 1 in 5 Teile zerlegt werden kann, die wieder zu zwei Kugeln mit Radius 1 zusammengesetzt werden können.

Beispiel

Betrachten Sie S , die Menge aller Punkte im Einheitskreis, und die Einwirkung auf S durch eine Gruppe G bestehend aus allen rationalen Drehungen (Drehungen um Winkel, die rationale Vielfache von sind). Hier ist G abzählbar (genauer gesagt ist G isomorph zu ), während S abzählbar ist. Daher zerfällt S in unzählbar viele Bahnen unter G . Unter Verwendung des Auswahlaxioms könnten wir einen einzelnen Punkt aus jeder Umlaufbahn auswählen und eine überzählige Teilmenge mit der Eigenschaft erhalten, dass alle Translationen (übersetzten Kopien) von X um G disjunkt von X und voneinander sind. Die Menge dieser Translationen zerlegt den Kreis in eine abzählbare Sammlung von disjunkten Mengen, die alle paarweise kongruent sind (durch rationale Drehungen). Die Menge X wird für jedes rotationsinvariante abzählbar additive Wahrscheinlichkeitsmaß auf S nicht messbar sein : Wenn X null Maß hat, würde abzählbare Additivität implizieren, dass der ganze Kreis null Maß hat. Wenn X ein positives Maß hat, würde die abzählbare Additivität zeigen, dass der Kreis unendliches Maß hat.

Einheitliche Definitionen von Maß und Wahrscheinlichkeit

Das Banach-Tarski-Paradoxon zeigt, dass es keine Möglichkeit gibt, Volumen in drei Dimensionen zu definieren, wenn nicht eines der folgenden vier Zugeständnisse gemacht wird:

  1. Das Volumen eines Satzes kann sich ändern, wenn er gedreht wird.
  2. Das Volumen der Vereinigung zweier disjunkter Mengen kann sich von der Summe ihrer Volumina unterscheiden.
  3. Einige Sets könnten als "nicht messbar" gekennzeichnet sein, und man müsste prüfen, ob ein Set "messbar" ist, bevor man über sein Volumen spricht.
  4. Die Axiome der ZFC ( Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit dem Axiom der Wahl) müssen möglicherweise geändert werden.

Die Standardmaßtheorie wählt die dritte Option. Man definiert eine Familie von messbaren Mengen, die sehr reichhaltig ist, und fast jede Menge, die in den meisten Zweigen der Mathematik explizit definiert wird, gehört zu dieser Familie. Es ist normalerweise sehr einfach zu beweisen, dass eine bestimmte Teilmenge der geometrischen Ebene messbar ist. Die Grundannahme ist, dass eine abzählbar unendliche Folge disjunkter Mengen die Summenformel erfüllt, eine Eigenschaft namens σ-Additivität .

1970 zeigte Solovay , dass die Existenz einer nicht messbaren Menge für das Lebesgue-Maß im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ohne ein zusätzliches Axiom (wie das Auswahlaxiom) nicht beweisbar ist, indem er zeigte, dass ( unter Annahme der Konsistenz eines unzugänglichen Kardinals ) gibt es ein Modell von ZF, das Solovay-Modell genannt wird , bei dem abzählbare Auswahl gilt, jede Menge Lebesgue-messbar ist und bei dem das vollständige Auswahlaxiom versagt.

Das Auswahlaxiom ist äquivalent zu einem fundamentalen Ergebnis der Punktmengentopologie , dem Satz von Tychonoff , sowie der Verbindung zweier fundamentaler Ergebnisse der Funktionalanalysis, dem Banach-Alaoglu-Theorem und dem Krein-Milman-Theorem . Es beeinflusst auch in hohem Maße das Studium unendlicher Gruppen sowie die Ring- und Ordnungstheorie (siehe Boolescher Primidealsatz ). Die Axiome der Determiniertheit und der abhängigen Wahl zusammen reichen jedoch für die meisten geometrischen Maßtheorien , Potentialtheorien , Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen aus , während alle Teilmengen der reellen Linie Lebesgue-messbar werden.

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

Literaturverzeichnis