Lineare Funktion (Kalkül) - Linear function (calculus)

Diagramm der linearen Funktion: ${\ displaystyle y (x) = - x + 2}$

In der Analysis und verwandten Bereichen der Mathematik ist eine lineare Funktion von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen eine Funktion, deren Graph (in kartesischen Koordinaten ) eine Linie in der Ebene ist. Die charakteristische Eigenschaft linearer Funktionen besteht darin, dass beim Ändern der Eingangsvariablen die Änderung des Ausgangs proportional zur Änderung des Eingangs ist.

Lineare Funktionen beziehen sich auf lineare Gleichungen .

Eigenschaften

Eine lineare Funktion ist eine Polynomfunktion, bei der die Variable x höchstens einen Grad hat:

${\ displaystyle f (x) = ax + b}$ .

Eine solche Funktion wird als linear bezeichnet, da ihr Graph , die Menge aller Punkte in der kartesischen Ebene , eine Linie ist . Der Koeffizient a wird als Steigung der Funktion und der Linie bezeichnet (siehe unten). ${\ displaystyle (x, f (x))}$

Wenn die Steigung ist , ist dies eine konstante Funktion , die eine horizontale Linie definiert, die einige Autoren aus der Klasse der linearen Funktionen ausschließen. Mit dieser Definition wäre der Grad eines linearen Polynoms genau eins, und sein Graph wäre eine Linie, die weder vertikal noch horizontal ist. In diesem Artikel ist jedoch erforderlich, sodass konstante Funktionen als linear betrachtet werden. ${\ displaystyle a = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = b}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

Wenn dann, wird die lineare Funktion als homogen bezeichnet . Eine solche Funktion definiert eine Linie, die durch den Ursprung des Koordinatensystems, dh den Punkt, verläuft . In fortgeschrittenen mathematischen Texten bezeichnet der Begriff lineare Funktion häufig spezifisch homogene lineare Funktionen, während der Begriff affine Funktion für den allgemeinen Fall verwendet wird, der einschließt . ${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle (x, y) = (0,0)}$${\ displaystyle b \ neq 0}$

Die natürliche Domäne einer linearen Funktion , die Menge der zulässigen Eingabewerte für x , ist die gesamte Menge der reellen Zahlen . Man kann solche Funktionen auch mit x in einem beliebigen Feld betrachten , indem man die Koeffizienten a, b in diesem Feld nimmt. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}.}$

Der Graph ist eine nicht vertikale Linie mit genau einem Schnittpunkt mit der y- Achse, ihrem y- Schnittpunkt. Der y- Schnittpunktwert wird auch als Anfangswert von bezeichnet. Wenn der Graph eine nicht horizontale Linie mit genau einem Schnittpunkt mit dem ist x- Achse, der x- Achsenpunkt Der x- Achsenwert, den die Lösung der Gleichung ergibt, wird auch als Wurzel oder Null von bezeichnet ${\ displaystyle y = f (x) = ax + b}$${\ displaystyle (x, y) = (0, b).}$${\ displaystyle y = f (0) = b}$${\ displaystyle f (x).}$${\ displaystyle a \ neq 0,}$${\ displaystyle (x, y) = (- {\ tfrac {b} {a}}, 0).}$${\ displaystyle x = - {\ tfrac {b} {a}},}$${\ displaystyle f (x) = 0,}$${\ displaystyle f (x).}$

Steigung

Die Steigung einer Linie ist das Verhältnis zwischen einer Änderung von x (bezeichnet ) und der entsprechenden Änderung von y (bezeichnet) ${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta y}$

Die Steigung einer nicht vertikalen Linie ist eine Zahl, die misst, wie steil die Linie geneigt ist (Anstieg-Überlauf). Wenn die Linie der Graph der linearen Funktion ist , ist diese Steigung durch die Konstante a gegeben . ${\ displaystyle f (x) = ax + b}$

Die Steigung misst die konstante Änderungsrate der Änderung pro Einheit in x : Wenn die Eingabe x um eine Einheit erhöht wird, ändert sich die Ausgabe um eine Einheit: und allgemeiner für eine beliebige Zahl . Wenn die Steigung positiv ist, nimmt die Funktion zu; wenn , dann nimmt ab ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) + a}$${\ Anzeigestil f (x {+} \ Delta x) = f (x) + a \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle a <0}$${\ displaystyle f (x)}$

Im Kalkül misst die Ableitung einer allgemeinen Funktion ihre Änderungsrate. Eine lineare Funktion hat eine konstante Änderungsrate, die ihrer Steigung a entspricht , daher ist ihre Ableitung die konstante Funktion . ${\ displaystyle f (x) = ax + b}$${\ displaystyle f \, '(x) = a}$

Die Grundidee der Differentialrechnung besteht darin, dass jede glatte Funktion (nicht unbedingt linear) durch eine eindeutige lineare Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes eng angenähert werden kann. Die Ableitung ist die Steigung dieser linearen Funktion, und die Näherung ist: z . Der Graph der linearen Approximation ist die Tangentenlinie des Graphen am Punkt . Die abgeleitete Steigung variiert im Allgemeinen mit dem Punkt c . Lineare Funktionen können als die einzigen reellen Funktionen charakterisiert werden, deren Ableitung konstant ist: wenn für alle x , dann für . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x = c}$ ${\ displaystyle f \, '(c)}$${\ Anzeigestil f (x) \ ungefähr f \, '(c) (x {-} c) + f (c)}$${\ displaystyle x \ approx c}$${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle (c, f (c))}$${\ displaystyle f \, '(c)}$${\ displaystyle f \, '(x) = a}$${\ displaystyle f (x) = ax + b}$${\ displaystyle b = f (0)}$

Slope-Intercept-, Point-Slope- und Zweipunktformen

Eine gegebene lineare Funktion kann in mehrere Standardformeln geschrieben werden, die ihre verschiedenen Eigenschaften anzeigen. Das einfachste ist die Steigungsschnittform : ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = ax + b}$ ,

von wo aus man sofort die Steigung a und den Anfangswert sehen kann , der der y- Achsenabschnitt des Graphen ist . ${\ displaystyle f (0) = b}$${\ displaystyle y = f (x)}$

Bei gegebener Steigung a und einem bekannten Wert schreiben wir die Punkt-Steigungsform : ${\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$

${\ displaystyle f (x) = a (x {-} x_ {0}) + y_ {0}}$ .

In grafischer Hinsicht gibt dies der Linie mit Steigung einen Durchgang durch den Punkt . ${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

Die Zweipunktform beginnt mit zwei bekannten Werten und . Man berechnet die Steigung und fügt diese in die Punkt-Steigungsform ein: ${\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$${\ displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1}}$${\ displaystyle a = {\ tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}$

${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} (x {-} x_ {0} \!) + y_ {0 }}$ .

Sein Diagramm ist die eindeutige Linie, die durch die Punkte verläuft . Die Gleichung kann auch geschrieben werden, um die konstante Steigung hervorzuheben: ${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0} \!), (x_ {1}, y_ {1} \!)}$${\ displaystyle y = f (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} }}$ .

Beziehung zu linearen Gleichungen

Lineare Funktionen ergeben sich üblicherweise aus praktischen Problemen mit Variablen mit einer linearen Beziehung, dh dem Befolgen einer linearen Gleichung . Wenn man diese Gleichung für y lösen kann , erhält man ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle Axe + By = C}$${\ displaystyle B \ neq 0}$

${\ displaystyle y = - {\ tfrac {A} {B}} x + {\ tfrac {C} {B}} = ax + b,}$

wo wir bezeichnen und . Das heißt, man kann y als eine abhängige Variable (Ausgabe) betrachten, die aus der unabhängigen Variablen (Eingabe) x über eine lineare Funktion erhalten wird : . In der xy- Koordinatenebene bilden die möglichen Werte eine Linie, den Graphen der Funktion . Wenn in der ursprünglichen Gleichung, die sich ergebende Linie ist vertikal, und nicht geschrieben werden kann . ${\ displaystyle a = - {\ tfrac {A} {B}}}$${\ displaystyle b = {\ tfrac {C} {B}}}$${\ displaystyle y = f (x) = ax + b}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle B = 0}$${\ displaystyle x = {\ tfrac {C} {A}}}$${\ displaystyle y = f (x)}$

Die Merkmale des Diagramms können anhand der Variablen x und y interpretiert werden . Der y- Achsenabschnitt ist der Anfangswert bei . Die Steigung a misst die Änderungsrate des Ausgangs y pro Änderungseinheit des Eingangs x . Wenn Sie im Diagramm eine Einheit nach rechts bewegen ( x um 1 erhöhen ), wird der y- Wert um a erhöht : das heißt . Eine negative Steigung a zeigt eine Abnahme von y für jede Zunahme von x an . ${\ displaystyle y = f (x) = ax + b}$${\ displaystyle y = f (0) = b}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) + a}$

Zum Beispiel hat die lineare Funktion Steigung , y- Schnittpunkt und x- Schnittpunkt . ${\ displaystyle y = -2x + 4}$${\ displaystyle a = -2}$${\ displaystyle (0, b) = (0,4)}$${\ displaystyle (2,0)}$

Beispiel

Angenommen, Salami und Wurst kosten 6 € und 3 € pro Kilogramm, und wir möchten 12 € kaufen. Wie viel von jedem können wir kaufen? Wenn x Kilogramm Salami und y Kilogramm Wurst insgesamt 12 € kosten, dann sind 6 € x x + 3 € y = 12 €. Wenn Sie nach y auflösen , erhalten Sie wie oben die Punkt-Steigungs-Form . Das heißt, wenn wir zuerst die Menge an Salami x wählen , kann die Menge an Wurst als Funktion berechnet werden . Da Salami doppelt so viel kostet wie Wurst, verringert die Zugabe von einem Kilo Salami die Wurst um 2 Kilo: und die Steigung beträgt -2. Der y- Schnittpunkt entspricht dem Kauf von nur 4 kg Wurst; während der x- Schnittpunkt dem Kauf von nur 2 kg Salami entspricht. ${\ displaystyle y = -2x + 4}$${\ displaystyle y = f (x) = - 2x + 4}$${\ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) -2}$${\ displaystyle (x, y) = (0,4)}$${\ displaystyle (x, y) = (2,0)}$

Beachten Sie, dass die Grafik Punkte mit negativen Werten von x oder y enthält , die für die ursprünglichen Variablen keine Bedeutung haben (es sei denn, wir stellen uns vor, Fleisch an den Metzger zu verkaufen). Daher sollten wir unsere Funktion auf die Domäne beschränken . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq 2}$

Wir könnten auch y als unabhängige Variable wählen und x durch die inverse lineare Funktion berechnen : über der Domäne . ${\ displaystyle x = g (y) = - {\ tfrac {1} {2}} y + 2}$${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq 4}$

Beziehung zu anderen Funktionsklassen

Wenn der Koeffizient der Variablen nicht Null ist ( a ≠ 0 ), wird eine lineare Funktion durch ein Polynom vom Grad 1 (auch als lineares Polynom bezeichnet ) dargestellt, andernfalls ist es eine konstante Funktion - auch eine Polynomfunktion, aber von Null Grad .

Eine gerade Linie kann, wenn sie in einem anderen Koordinatensystem gezeichnet wird, andere Funktionen darstellen.

Beispielsweise kann es eine Exponentialfunktion darstellen, wenn seine Werte in der logarithmischen Skala ausgedrückt werden . Dies bedeutet, dass wenn log ( g ( x )) eine lineare Funktion von x ist , die Funktion g exponentiell ist. Bei linearen Funktionen wird durch Erhöhen der Eingabe um eine Einheit die Ausgabe um einen festen Betrag erhöht, der die Steigung des Funktionsgraphen darstellt. Bei Exponentialfunktionen erhöht das Erhöhen der Eingabe um eine Einheit die Ausgabe um ein festes Vielfaches, das als Basis der Exponentialfunktion bezeichnet wird.

Wenn sowohl Argumente als auch Werte einer Funktion in der logarithmischen Skala liegen (dh wenn log ( y ) eine lineare Funktion von log ( x ) ist ), repräsentiert die gerade Linie ein Potenzgesetz :

${\ displaystyle \ log _ {r} y = a \ log _ {r} x + b \ quad \ Rightarrow \ quad y = r ^ {b} \ cdot x ^ {a}}$

Archimedische Spirale durch die Polargleichung r definiert = ¹ / ₂ θ + 2

Andererseits ist der Graph einer linearen Funktion in Polarkoordinaten :

${\ displaystyle r = f (\ theta) = a \ theta + b}$

ist eine archimedische Spirale, wenn und ein Kreis anders. ${\ displaystyle a \ neq 0}$

Siehe auch

• Affine Map , eine Verallgemeinerung
• Arithmetische Progression , eine lineare Funktion des ganzzahligen Arguments

Anmerkungen

Verweise

• James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals , Ausgabe 7E, Brooks / Cole. ISBN   978-0-538-49790-9
• Swokowski, Earl W. (1983), Kalkül mit analytischer Geometrie (alternative Ausgabe), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN   0871503417

Externe Links

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf