Liste der erzwungenen Begriffe - List of forcing notions

In der Mathematik zwingt ist ein Verfahren zum Aufbau neue Modelle M [ G ] der Mengenlehre durch eine generische Teilmenge Zugabe G einem poset P auf ein Modell M . Der verwendete Poset P bestimmt, welche Aussagen im neuen Universum gelten (die 'Erweiterung'); um eine Interessenbekundung zu erzwingen erfordert daher die Konstruktion eines geeigneten P . Dieser Artikel listet einige der Posets P auf , die in dieser Konstruktion verwendet wurden.

Notation

P ist ein Poset mit der Reihenfolge <
V ist das Universum aller Mengen
M ist ein zählbares transitives Modell der Mengenlehre
G ist eine generische Teilmenge von P über M .

Definitionen

P erfüllt die abzählbare Kettenbedingung, wenn jede Antikette in P höchstens abzählbar ist. Dies impliziert, dass V und V [ G ] dieselben Kardinäle (und dieselben Kofinalitäten) haben.
Eine Teilmenge D von P heißt dicht, wenn es für jedes p ∈ P ein q ∈ D mit q ≤ p gibt .
Ein Filter auf P ist eine nicht leere Teilmenge F von P, so dass wenn p < q und p ∈ F dann q ∈ F ist und wenn p ∈ F und q ∈ F, dann gibt es einige r ∈ F mit r ≤ p und r ≤ q .
Eine Teilmenge G von P wird als generisch über M bezeichnet, wenn es sich um einen Filter handelt, der jede dichte Teilmenge von P in M erfüllt .

Amöbenzwingen

Das Erzwingen von Amöben erzwingt das Erzwingen mit der Amöbenreihenfolge und fügt einen Satz von zufälligen Reals für Takt 1 hinzu.

Cohen zwingt

Beim Cohen-Forcen (benannt nach Paul Cohen ) ist P die Menge von Funktionen aus einer endlichen Teilmenge von ω ₂ × ω bis {0,1} und p < q, wenn p ⊇ q .

Dieser Poset erfüllt die zählbare Kettenbedingung. Das Erzwingen mit diesem Poset fügt dem Modell ω ₂ verschiedene reelle Zahlen hinzu ; Dies war der Poset, den Cohen in seinem ursprünglichen Beweis für die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese verwendete.

Allgemeiner kann man ω ₂ durch einen beliebigen Kardinal κ ersetzen, also konstruiere ein Modell, bei dem das Kontinuum eine Größe von mindestens κ hat. Hier besteht die einzige Einschränkung darin, dass κ keine Cofinalität ω hat.

Grigorieff zwingt

Grigorieff-Forcen (nach Serge Grigorieff) zerstört einen freien Ultrafilter auf ω.

Hechler zwingt

Das Hechler-Forcen (nach Stephen Herman Hechler) wird verwendet, um zu zeigen, dass Martins Axiom impliziert, dass jede Familie mit weniger als c Funktionen von ω bis ω schließlich von einer solchen Funktion dominiert wird.

P ist die Menge von Paaren ( s , E ), wobei s eine endliche Folge natürlicher Zahlen ist (betrachtet als Funktionen von einer endlichen Ordinalzahl bis fin) und E eine endliche Teilmenge einer festen Menge G von Funktionen von bis ist. Das Element ( s , E ) ist stärker als ( t , F ), wenn t in s enthalten ist , F in E enthalten ist und wenn k im Bereich von s, aber nicht von t liegt, dann ist s ( k )> h ( k ) für alle h in F .

Jockusch-Soare zwingen

Das Erzwingen mit Klassen wurde von Robert Soare und Carl Jockusch erfunden , um unter anderem den Satz der niedrigen Basis zu beweisen . Hier ist P die Menge der nichtleeren Teilmengen von (d. h. die Mengen von Pfaden durch unendliche, berechenbare Teilbäume von ), geordnet nach Inklusion. $\Pi_{1}^{0}$ $\Pi_{1}^{0}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ omega}}$ $2^{<\omega}$

Iteriertes Forcen

Iteriertes Forcen mit endlichen Unterstützungen wurde von Solovay und Tennenbaum eingeführt , um die Konsistenz von Suslins Hypothese zu zeigen . Easton führte eine andere Art von iteriertem Forcen ein, um die möglichen Werte der Kontinuumsfunktion bei regulären Kardinälen zu bestimmen . Das iterierte Forcen mit zählbarer Unterstützung wurde von Laver in seinem Beweis für die Konsistenz von Borels Vermutung untersucht, Baumgartner , der das Axiom A-Forcen einführte, und Shelah , der das richtige Forcen einführte. Eine überarbeitete Iteration der zählbaren Unterstützung wurde von Shelah eingeführt , um halbwegs richtige Forcings wie Prikry-Forcing und Verallgemeinerungen, insbesondere einschließlich Namba-Forcing, zu handhaben.

Laver forcieren

Laver Forcing wurde von Laver verwendet, um zu zeigen, dass Borels Vermutung, dass alle starken Maß-Null-Sätze zählbar sind, mit ZFC übereinstimmt. (Borels Vermutung stimmt nicht mit der Kontinuumshypothese überein.)

P ist die Menge der Laver-Bäume, geordnet nach Einbeziehung.

Ein Laver-Baum p ist eine Teilmenge der endlichen Folgen natürlicher Zahlen, so dass

p ist ein Baum: p enthält eine beliebige Anfangssequenz eines Elements von p , die äquivalent angegeben ist, da p unter Anfangssegmenten geschlossen ist
p hat einen Schaft: eine maximale Knoten s ( p ) = s ∈ P , dass eine solche s ≤ t oder t ≤ s für alle t in p ,
Wenn t ∈ p und s ≤ t ist, dann hat t eine unendliche Anzahl von unmittelbaren Nachfolgern tn in p für n ∈ ω .

Wenn G für ( P , ≤) generisch ist , bestimmt das reelle { s ( p ): p ∈ G } , das als Laver-Real bezeichnet wird , G eindeutig .

Das Erzwingen von Laver erfüllt die Laver-Eigenschaft .

Abgabe kollabiert

Diese Posets werden verschiedene Kardinäle kollabieren lassen, mit anderen Worten, sie zwingen sie, kleinerer Kardinäle gleich groß zu sein.

Das Kollabieren eines Kardinals auf ω: P ist die Menge aller endlichen Folgen von Ordnungszahlen, die kleiner als ein gegebener Kardinal λ sind. Wenn λ unzählbar ist, kollabiert das Erzwingen mit diesem Poset λ auf ω.
Kollabieren eines Kardinals zu einem anderen: P ist die Menge aller Funktionen aus einer Teilmenge von κ mit einer Kardinalität von weniger als κ bis λ (für feste Kardinäle κ und λ). Das Erzwingen mit diesem Poset kollabiert λ bis zu κ.
Kollabieren der Abgabe: Wenn κ regelmäßig ist und λ nicht zugänglich ist, ist P die Menge der Funktionen p in Teilmengen von λ × κ mit einer Domäne von weniger als κ und p (α, ξ) <α für jedes (α, ξ) in die Domäne von p . Dieser Poset kollabiert alle Kardinäle kleiner als λ auf κ, behält aber λ als Nachfolger von κ bei.

Levy Collapse ist nach Azriel Levy benannt .

Magidor-Zwang

Unter vielen von Magidor entwickelten Forcierungsvorstellungen ist eine der bekanntesten eine Verallgemeinerung des Prikry-Forcierens, mit der die Kofinalität eines Kardinals in einen bestimmten kleineren regulären Kardinal geändert wird.

Mathias zwingt

Ein Element von P ist ein Paar, das aus einer endlichen Menge s natürlicher Zahlen und einer unendlichen Menge A natürlicher Zahlen besteht, so dass jedes Element von s kleiner als jedes Element von A ist . Die Reihenfolge ist definiert durch

( t , B ) ist stärker als ( s , A ) (( t , B ) <( s , A )), wenn s ein Anfangssegment von t ist , B eine Teilmenge von A ist und t in s ∪ A enthalten ist .

Mathias Forcing ist nach Adrian Mathias benannt .

Namba forciert

Das Namba-Forcen (nach Kanji Namba) wird verwendet, um die Cofinalität von ω ₂ in ω zu ändern , ohne ω ₁ zu kollabieren .

P ist die Menge aller Bäume (nichtleere abwärts abgeschlossene Teilmengen der Menge endlicher Folgen von Ordinalzahlen kleiner als ω ₂ ), die die Eigenschaft haben, dass jedes s in T eine Erweiterung in T hat, die unmittelbare Nachfolger hat. P ist nach Einschluss geordnet (dh Teilbäume sind stärkere Bedingungen). Der Schnittpunkt aller Bäume im generischen Filter definiert eine zählbare Sequenz, die in ω ₂ kofinal ist . ${\ displaystyle T \ subseteq \ omega _ {2} ^ {<\ omega}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$

Das Erzwingen von Namba ist die Teilmenge von P, so dass es einen Knoten gibt, unter dem die Reihenfolge linear ist und über dem jeder Knoten unmittelbare Nachfolger hat. ${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$

Magidor und Shelah haben bewiesen, dass, wenn CH gilt, ein generisches Objekt des Namba-Forcierens in der generischen Erweiterung von Namba 'nicht existiert und umgekehrt.

Prikry-Zwang

Im Prikry-Forcing (nach Karel Prikrý) ist P die Menge von Paaren ( s , A ), wobei s eine endliche Teilmenge eines festen messbaren Kardinals κ ist und A ein Element eines festen Normalmaßes D auf κ ist. Eine Bedingung ( s , A ) ist stärker als ( t , B ), wenn t ein Anfangssegment von s ist , A in B enthalten ist und s in t ∪ B enthalten ist . Dieser erzwungene Begriff kann verwendet werden, um zur Kofinalität von κ zu wechseln, während alle Kardinäle erhalten bleiben.

Produkt erzwingen

Das Erzwingen eines Produkts von Bedingungen ist eine Möglichkeit, alle Bedingungen gleichzeitig zu erzwingen.

Endliche Produkte : Wenn P und Q Posets sind, hat das Produkt Poset P × Q die Teilordnung, die durch ( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ ) definiert ist, wenn p ₁ ≤ p ₂ und q ₁ ≤ q ₂ .
Unendliche Produkte : Das Produkt einer Menge von Posets P _i , i ∈ I mit jeweils dem größten Element 1 ist die Menge der Funktionen p auf I mit p ( i ) ∈ P ( i ) und so, dass p ( i ) = 1 ist für alle bis auf eine endliche Anzahl von i . Die Ordnung ist gegeben durch p ≤ q , wenn p ( i ) ≤ q ( i ) für alle i .
Das Easton-Produkt (nach William Bigelow Easton) einer Menge von Posets P _i , i ∈ I , wobei I eine Menge von Kardinälen ist, ist die Menge von Funktionen p auf I mit p ( i ) ∈ P ( i ) und so dass für für jede reguläre Kardinalzahl γ ist die Anzahl der Elemente α von γ mit p (α) 1 kleiner als γ.

Radin forcieren

Das Radin-Forcen (nach Lon Berk Radin), eine technisch komplizierte Verallgemeinerung des Magidor-Forcierens, fügt einem regulären Kardinal λ eine geschlossene, unbegrenzte Teilmenge hinzu.

Wenn λ ein ausreichend großer Kardinal ist, hält das Forcen λ regelmäßig, messbar , superkompakt usw.

Zufälliges Erzwingen

P ist die Menge der Borel-Teilmengen von [0,1] mit positivem Maß, wobei p stärker als q heißt, wenn es in q enthalten ist . Die generische Menge G codiert dann ein "zufälliges Real": das eindeutige Real x _G in allen rationalen Intervallen [ r , s ] ^{V [ G ],} so dass [ r , s ] ^V in G ist . Dieses reelle ist "zufällig" in dem Sinne, dass, wenn X eine Teilmenge von [0, 1] ^V von Maß 1 ist, die in V liegt , x _G ∈ X ist .

Säcke zwingen

P ist die Menge aller perfekten Bäume, die in der Menge der endlichen {0, 1} Sequenzen enthalten sind. (Ein Baum T ist eine Menge endlicher Sequenzen, die alle Anfangssegmente seiner Elemente enthalten, und wird als perfekt bezeichnet, wenn für ein Element t von T ein Segment s vorhanden ist, das t erweitert, so dass sowohl s 0 als auch s 1 in T sind .) A. Baum p ist stärker als q, wenn p in q enthalten ist . Das Forcen mit perfekten Bäumen wurde von Gerald Enoch Sacks verwendet , um ein echtes a mit minimalem Grad an Konstruierbarkeit zu erzeugen .

Das Erzwingen von Säcken hat die Eigenschaft Sacks .

Einen schnellen Schläger schießen

Für S ist eine stationäre Teilmenge von wir eine geschlossene Folge von S und C ist eine geschlossene unbegrenzte Teilmenge von , geordnet nach iff end-extens und und . In , haben wir , dass eine geschlossene unbeschränkte Teilmenge von ist S fast in jedem Club Satz in enthaltenen V . bleibt erhalten. Diese Methode wurde von Ronald Jensen eingeführt, um die Konsistenz der Kontinuumshypothese und der Suslin-Hypothese zu zeigen . $\omega_{1}$ ${\ displaystyle P = \ {\ langle \ sigma, C \ rangle \, \ kolon \ sigma}$ $\omega_{1}\}$ ${\ displaystyle \ langle \ sigma ', C' \ rangle \ leq \ langle \ sigma, C \ rangle}$ ${\ displaystyle \ sigma '}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle C '\ subseteq C}$ $\sigma '\subseteq \sigma \cup C$ $V[G]$ ${\ displaystyle \ bigcup \ {\ sigma \, \ Doppelpunkt (\ existiert C) (\ langle \ sigma, C \ rangle \ in G) \}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Schießen eines Clubs mit zählbaren Bedingungen

Für S eine Teilmenge von stationären setzen wir P auf den Satz von geschlossenen zählbaren Sequenzen aus gleichen S . In haben wir, dass dies eine geschlossene, unbegrenzte Teilmenge von S ist und erhalten bleibt, und wenn CH gilt, bleiben alle Kardinäle erhalten. $\omega_{1}$ $V[G]$ $\bigcup G$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Einen Schläger unter endlichen Bedingungen schießen

Für S, eine stationäre Teilmenge von , setzen wir P gleich der Menge endlicher Mengen von Paaren abzählbarer Ordinalzahlen, so dass if und dann und , und wann immer und verschiedene Elemente von p sind, dann entweder oder . P ist durch umgekehrte Inklusion geordnet. In , haben wir , dass eine geschlossene unbeschränkte Teilmenge von ist S und alle Kardinäle erhalten bleiben. $\omega_{1}$ ${\ displaystyle p \ in P}$ ${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle \ in p}$ ${\ displaystyle \ alpha \ leq \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in S}$ ${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle}$ ${\displaystyle\langle\gamma,\delta\rangle}$ $\beta <\gamma$ ${\ displaystyle \ delta <\ alpha}$ $V[G]$ $\{\alpha\,\colon(\exists\beta)(\langle\alpha,\beta\rangle\in\bigcup G)\}$

Silberzwang

Silver Forcing (nach Jack Howard Silver ) ist die Menge all jener Teilfunktionen aus den natürlichen Zahlen in {0, 1}, deren Bereich kofinit ist; oder äquivalent die Menge aller Paare ( A , p ) , wobei A eine Teilmenge der natürlichen Zahlen mit unendlichem Komplement ist und p eine Funktion von A in eine feste 2-Elemente-Menge ist. Eine Bedingung q ist stärker als eine Bedingung p , wenn q erstreckt p .

Das Erzwingen von Silber erfüllt Fusion, die Sacks-Eigenschaft , und ist in Bezug auf Reals minimal (aber nicht minimal).

Vopěnka zwingen

Das Erzwingen von Vopěnka (nach Petr Vopěnka ) wird verwendet, um generisch eine Reihe von Ordnungszahlen zu hinzufügen . Definieren Sie zuerst als die Menge aller nicht leeren Teilmengen der Potenzmenge von , wobei nach Einschluss geordnet: iff . Jede Bedingung kann durch ein Tupel dargestellt werden, wobei für alle . Die Übersetzung zwischen und seine kleinste Darstellung ist und ist daher isomorph zu einem Poset (die Bedingungen sind die minimalen Darstellungen von Elementen von ). Dieser Poset ist der Vopenka-Antrieb für Teilmengen von . Definieren als der Satz aller Darstellungen für Elemente , so daß , dann ist Generischer und . ${\ displaystyle A}$ ${\color {blau}{\text{HOD}}}$ ${\ displaystyle P '}$ ${\text{OD}}$ ${\mathcal{P}}(\alpha)$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ alpha}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p \ subseteq q}$ ${\ displaystyle p \ in P '}$ ${\ displaystyle (\ beta, \ gamma, \ varphi)}$ ${\ displaystyle x \ in p \ Leftrightarrow V _ {\ beta} \ models \ varphi (\ gamma, x)}$ $x\subseteq\alpha$ $p$ ${\text{OD}}$ ${\ displaystyle P '}$ ${\ displaystyle P \ in {\ text {HOD}}}$ ${\ displaystyle P '}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle G_ {A}}$ ${\ displaystyle p \ in P '}$ $A\in p$ ${\ displaystyle G_ {A}}$ ${\text{HOD}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ text {HOD}} [G_ {A}]}$